波函数与波动方程

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1、 第二章 波函数与波动方程 第二章 目 录 2.1 波粒两象性32.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年）几率诠释几率波42.3 波函数的性质，态叠加原理5（1）波函数的性质5（2）位置和位能的平均值8（3）动量平均值9（4）态叠加原理122.4含时间的薛定谔方程（Schrodingers equation）15(1) Schrodingers equation的建立15(2) 对Schrodinger equation的讨论172.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题23(1) 不含时间的薛定谔方程23（2） 定态242.6 测不准关系25（1）某些例子25（2）某些实验27（3）测

2、不准关系是波一粒两象性的必然成果28（4）能量时间测不准关系28（5）某些应用举例29 第二章 波函数与波动方程 既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 典型物理观点必须被修改。重要体现：a. 波粒两象性 （粒子） （波） （Planck假设）Einstein关系 （，） （de Broglie假设） de Broglie关系 具有拟定动量的自由粒子被一平面波所描述 b. 物理量取值不一定是持续的辐射体辐射的能量取值 氢原子的能量 由于平常粒子的波长，因此观测不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子，因此在原子线度下也许显示出波动性。而在宏观测量尺度下，

3、几乎也不显示波动性。将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在典型物理学中看来是不也许的，因典型粒子 典型波原子性（整体性） 实在物理量的空间分布轨道 干涉，衍射这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用典型粒子，也不能用典型波，固然也不能用典型粒子和典型波来描述。2.1 波粒两象性想像一种实验事实：a每次接受到的是一种电子，即电子确是以一种整体浮现；b电子数的强度，但，；c电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一种电子，但足够长的时间后，也有同样成果。因此，我们可得到下面的结论：a. 不能觉得，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接受到的是一种个电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有

4、同样的现象）；b. 不能想像，电子通过时，能像典型电子（有轨道）那样来描述（因）；c. 不能觉得衍射也许是通过缝后，电子互相作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。总之，电子（量子粒子）不能看作典型粒子，也不能用典型波来描述（典型波是物理量在空间分布。如按典型波描述，目前应是电子密度分布，这固然不是。）。但是，这种干涉现象在典型中也有类似表达，如水波通过二个缝后，在接受器上的强度分布为， 。我们是如何解释这干 涉现象呢？通过缝时， 水波以描述通过缝时，水波以描述 通过，时， 则以描述 强度 ， （，） 即为干涉项。 电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接受到的电

5、子多少。这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用函数来描述（它们一般应是复函数） ， （）称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），也就是说，接受器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方来表征。空间若有两个波，强度则应由波函数的模的平方来描述。但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，电子是一种个浮现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样浮现。2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年）几率诠释几率波真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是1926年被Max Born提出的。如电子用一波函数来描述，则 从上面分析可以看到，在范畴内，接受到电子多少是

6、与的大小有关； 当发射电子稀疏到一定限度时，接受器上接受到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接受到的电子数分布为。这表白，电子出目前接受器上的各个位置是具有一定的几率的。当足够多的电子被接受后。在接受器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接受器上是一种个的，但分布又类似波，即几率波）。 是电子出目前附近的几率密度（如果）由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不同的。它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小，而它仅是刻划粒子在空间的几率分布，即 是描述一种电子的几率振幅。Max Born（1926年）给出了波函数的几率解释。玻恩几率解释：如果在

7、时刻，对以波函数描述的粒子进行位置测量，测得的成果可以是不同的；而在社区域中发现该粒子的几率为 （由于是几率， ）。阐明两点： 不是对物理量的波动描述。它故意义的是，在于代表在体积元中发现粒子的几率，因此它不代表物理实体，仅是一几率波； 粒子是由波函数来描述，但波函数并不能告诉你，时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位置也许在，也许在，而在中发现粒子的几率为。也就是说在某处越大，则在时刻测量发现粒子在该处的机会越多。（这表白，我们讲的是预言到什么，但我们不能说出测量的成果）。我们如何来理解这一点呢？因如果对一种体系去测量发现粒子也许就处在，只测得一种值。但可想像有诸多诸多同样的体系，对体系同步进行

8、完全相似的测量，测得的成果发现次 次 次 当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相似的体系中，同步测量，那发现粒子在处的几率为 我们将会看到，体系的波函数给出了体系所有信息（也许范畴），它给出体系一种完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言也许测得那些能量值（即几率不等于）和测得该能量值的几率；等等）。正由于如此，我们可以说波函数描述了体系所处的量子状态，或称状态。以描述体系，就称体系处在态，或称为体系的态函数。2.3 波函数的性质，态叠加原理既然体系状态的波函数给出了体系所有也许得到的信息，那么它有什么共同性质呢？（1）波函数的性质A. 归一化条件：为时刻，发现粒子在中的几率

9、。但测量时，总是要发现粒子的。因此，在整个空间中，发现粒子的几率之和应为。因此，一种真正的实在的波函数，应当有 若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。应当注意，只有当波函数归一化后，才干说是几率。否则在区域中，发现粒子的几率为 若 则归一化的波函数为 （可差一相因子，为实数）这时才代表在区域中发现粒子的几率。例： 因此，归一化的波函数为而在 中的几率为 在中的几率为 在中的几率为 固然，也可计算中的几率显然，重要的是相对几率。和的相对几率分布是完全相似的，是描述同一量子状态（这与典型波有很大不同）。因此差一常数因子的波函数是完全等价的。 虽然归一化了，仍可有一相因子的差别（为实数）。有时

10、为理解决问题的以便，或抱负化时，我们有时也用某些不能归一化的波函数，如平面波，等。事实上，这也是一大类波函数（本征值持续所相应的波函数），我们将在后来讨论。B波函数的自然条件：一般而言，波函数必须持续，有界，单值。 持续：由于有粒子处在中的几率解释，因此在 和处几率固然应当相等，因此在任何条件下应持续； 有界：我们讲有界是指有界，虽然是在某些孤立奇点（对于）也能不违背波函数这一性质。只要在涉及它的社区域中的几率有界，事实上就是波函数平方可积。例如：，那只要在社区域（附近）有界即可。因此规定 不快于，即时，若的渐近形式为，则规定 。对于一维 。当，有界对于二维 。 当， 有界 而对，那趋于0应快

11、于 单值：事实上仅需单值，即单值，我们将在背面讨论。 在位势有限大小的间断处，波函数导数仍持续 这将在第三章中证明。C多粒子体系波函数的形式个粒子体系的波函数为 ，共有个自由度。是描述粒子处在粒子 处在的几率。应当注意，说粒子处在等等并不确切。现指个粒子是不同粒子。而粒子处在的几率为 同样，在整个空间中找到这些粒子的几率应为。因此，物质粒子的波动性本质上是与典型波不同样的。典型波是指描述某种实在的物理量在三维空间中的波动现象，而物质粒子波函数一般是在多维空间（位形空间）中的几率波。（2）位置和位能的平均值既然波函数能给出体系的一切也许的信息，它能预言得到某也许值的几率，那它应当能给出物理量的记

12、录平均值。这显然是应当做得到的，但如何给出，则需要研究。A位置平均值设：是归一化波函数。 由于测得值在的几率为 从平均值的定义，则的平均值应表为 B位能平均值（假设位能表达中不依赖动量） 初看起来，动量，能量和角动量等等，平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按上述表达给出呢？ 原则上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的（）。但波长是描述波在空间变化的快慢，一般而言，一种波函数由诸多不同波长的平面波叠加而成。在某一点（）处，其波长不是一种，而是有诸多不同大小的波长，即在（）处，并没有拟定的值，从而可仿上述平均值来表达。那么究竟如何表达动量平均值呢？（3）动量平均值既然

13、不能像位置那样求动量平均值，那如何计算呢？根据de Broglie关系，具有一定动量和能量的自由粒子，其波长，频率，即以一平面波来描述 （系数是为了使它们归一化到） ， 因此，描述体系是单色平面波时，则粒子具有的动量是完全拟定的，因而平均值就是拟定的值。一般而言，描述粒子是由一波包来实现（局限于空间某一区域，因此是由许多平面波叠加而成），即动量有一分布，可由实验来定。一束具有动量的电子束垂直入射到抛光的镍金属晶体上（即戴维逊和盖末实验），在方向上有强的电子束出射（若）。假设，动量取分立值，有二个动量值和的电子束同步入射。由于和相应不同，因此经镍晶体表面散射的角度是不同的，而满足 ， 当比较远时

14、，两束电子分开，因此分别收集到动量为，的电子束（在，方向）。这时镍晶体好似一谱分离器，你可觉得在方向上接受到的电子以 平面波来描述；在方向上接受到的电子以平面波来描述。因此，在远处接受到动量为的电子数目 收集到动量为的电子数目 。（而这反映入射到镍晶体表面前电子动量为和的数目多少）因此，散射后，整个空间的波函数的描述应为（在远处，方向相应，动量的电子） 事实上，镍晶体就是一制备仪器，制备一种体系的状态是以这一波函数来描述。这才是描述散射后，一种电子的波函数。而动量为的电子几率为 ，动量为的电子几率为 。因此，对于处在状态的电子，其动量平均值应表为 我们可将这一思想（对分立值的状况所做的阐明）推

15、广到更一般状况：电子也许具有多种大小和方向的动量。若描述该电子的波函数为，则有 （可以证明，若，则，这表白是时刻，动量为的几率密度振幅。）因此，相应的 此类似于 根据上式的逆变换 则 这表白，如果不用直接措施求动量平均值，而用去求，则需要引进算符来替代（变量）进行计算，我们称为粒子的动量算符。对于粒子处在状态（已归一化），则其动量的平均值为 因此，在量子力学中的描述和典型力学中的描述是有本质差别的。量子力学中物理量（力学量）的描述是用算符来描述。在微观粒子行为的量子力学描述中，引入的算符，相应于典型的位置和动量变量。然而这些算符不等于典型变量。由上述推理： 求动能平均值（），可表为 因此动量

16、即 球坐标 柱坐标 角动量 （原则上为） 于是角动量平方 这看上去与典型动能在形式上相似，但有实质的不同。因这是算符形式。此外，就而言，典型为径向动量，但目前就不同了。 （这在背面将讨论） 此外 （4）态叠加原理若体系由来描述，则（已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。若粒子处在态中，则测量动量的取值仅为，而不在之间取值。对于大量粒子，仿佛一部分电子处在态，另一部分电子处在态。 但你不能指定某一种电子只处在态或只处在态。即对一种电子而言，它也许处在态（即动量为），也也许处在态（即动量为），即有一定几率处在态，有一定几率处在态。由这启发建立量子力学最基本原理之一： A. 态叠加原理如果是体系

17、的一种也许态，也是体系的一种也许态，则是体系的也许态，并称为和态的线性叠加态。阐明二点： 对体系测量力学量时，测得值为，使你觉得体系（在未测之前）也许处在态上，则称是体系的一也许态；如测得值为，使你觉得也为体系的一可处的态。因此，体系处的也许态为 ； 如体系处在，那测量力学量的测得值，也许为或，而不也许为其她值。而测得和的几率分别。态叠加原理与否对的，是以导出的成果与否对的为根据。B讨论（与典型比较） 典型觉得：自身叠加将产生一种新的态这是由于空间各处的强度增大到本来的4倍。而量子力学觉得，根据态叠加原理，这两个态是同样的。在和中测量力学量都只有一种值，而空间的几率分布与在空间各点之间的相对几

18、率是同样的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一常数并不变化或产生新的态。 典型振动可到处为，即没有振动。但量子力学中则没有的态，因或一不为零的常数。 若，典型觉得是一种新的波动态，即以来描述物理量在空间的波动，不能说物理量也许作波动，或者也许作波动。但对量子力学来说，体系也许处在态，也也许处在态。但不会处在 态（）。因测量力学量所得的测量值是不会为的。应当强调指出，有时在解决物理问题时，常常对函数展开， 。对典型物理学来说，这仅是一种数学解决，如富里叶分解。这仅表白有多种波相干，但并不能说，振荡发生在某一频率上。但量子力学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量

19、，也许测得值仅为的值，其几率，即系数不仅仅是展开系数，而是正比于取值的几率振幅。 它反映了一种非常重要的性质，而这在典型物理学中是很难被接受的。我们懂得一种动量为的自由粒子是以一种平面波描述；动量为的自由粒子是以平面波 描述。如体系（一种自由粒子）也许处在这两个态，则表白体系所处的态为，可是这个态没有拟定的动量（当你预言动量的测量值时）。但也是描述自由粒子的也许态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为 而 至于具体状态，那应由一定的条件来定。因此，量子力学容许体系处在这样一种态中，在这个态中，某些物理量没有拟定值（而从典型物理学看只能有一定值）。具有拟定动量的自由粒子是以平面波来描述。但你

20、不能说具有拟定动量的自由粒子就是处在平面波这个状态，这要看你所要观测的物理量。事实上，人们熟知的 而在中测量角动量和角动量分量的测得值为，。这表白，这一自由粒子有一定几率处在态上，其几率为。此外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数，（如，给定）。对于，这时完全被，所决定。 完全可替代来描述该态（后来要讨论）， ，因此，重要的是和。 态叠加原理的直接后果是规定波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。 例1. 高斯波包（The Gaussian wave packet） 一种质量为的自由粒子，其为高斯分布 求：相应的粒子波包 因此，高斯分布的富氏变换成另一种高斯分布这是一种，位置在区域（位置几率明

21、显不为），而动量在区域（动量几率明显不为区域）2.4含时间的薛定谔方程（Schrodingers equation）(1) Schrodingers equation的建立 应当指出，薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的对的性是靠由它所推出的成果及预言的对的性来证明的。有拟定动量的自由粒子：根据de Broglie关系和Einstein关系 （）它应相应于一种de Broglies波 由这波函数可得 但这不是普遍合用的方程（因具有一特殊参量）。因 而若 则 但从另一方面 在这方程中无特殊参量，它不仅对有拟定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。 而 这一微分方程决定了

22、体系状态随时间的演化。将上述状况推广，对于质量为的粒子，在位势中运动时，则 因此，描述这一粒子运动的波函数应满足最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian 则 被称为含时间的Schrodingers equation。但应注意，同一力学量的典型表达，可得不同的量子力学表达： 因此，典型力学的力学量，变为量子力学的力学量表达（即量子化），即算符时，应注意和对典型力学是同样的，但对量子力学而言是不同的。因此规定： 在直角坐标中表达分量，再代入算符表达； 对于形式为与线性函数的物理量，则取 （为实）； 如果是矢量，则直角坐标下的分量表达，然后再作 替代，再换为其他坐标。 如果 ，则 (2) 对S

23、chrodinger equation的讨论A量子力学的初值问题：当体系在时刻的状态为时，后来任何时刻的波函数就完全由S,eq，所决定（因对是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，即决定状态的演化。因此，在量子力学中的因果律是对波函数的拟定。它不像典型力学那样是拟定轨道或力学量的测得值，而是决定状态的演化。如，即与时间无关，则时刻的解可表为（如时为） 如何从波函数来拟定期刻波函数？例如 自由粒子 时刻，已知为由于是自由粒子，在时，它必是的叠加态即 当给定，则 也就是，当给定，则由定出。我们知时刻自由粒子的态是由叠加而成，叠加系数为（已拟定） 而 下一节中再进一步讨论。 从另一角度讨论，对于自由

24、粒子，直接运用 例：自由粒子在时处在态 可以证明 粒子处在的几率密度为 发现粒子重要在区域中。令 讨论： a. 波包的扩展如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟）一种物体在时，它位于，（有一宽度）, 而平均动量为。在时刻，其包络线中心位于 。 因此，包络极大处的速度 称为群速度，即群速度等于粒子速度。从相位看，如 相位为 相位为 , 因此，相速度 你也可以计算原则偏差，即发现粒子的重要区域在（）。 因此，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。设：当，包波已扩散很大，因此似乎与典型粒子无任何相似之处 （后来讨论其物理意义） 因此，这样一种显示典型粒子的 波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展，使

25、得你在 时，就认不得典型粒子了。上图即为高斯波包的传播 这一讨论和结论，对任何其他形状的波包都相似。a. 波包扩展的时间量级在实际生活中，对一宏观粒子，我们历来没有看见它会扩展，以至好似消失 人：， 因此，人活秒长的时间，还算像人样。 （当，才扩散得很大） 但 年秒 对于经年仍还可以，这即年=亿年。因此，量子现象你是看不到的。 尘粒： 克， 即经秒年亿年，尘粒仍保持“典型粒子“图象。 电子（原子中） 公斤， 米 秒 而在波尔的氢原子中，电子绕质子一周所花的时间 秒。由这看出，电子在原子中不也许以波包形式描述。此外，求波函数随时间的演化，也可这样来做。时刻的波函数，可由时刻的波函数完全拟定。由于

26、S. eq. 是线性的，因而解可以被叠加。因此，不同步刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，必须满足齐次的微分方程。即可表为称为Green函数，或称传播子。懂得了Green函数，就懂得态随时间的演化。如时刻，粒子处在，即由上式得 这就是格林函数的含义。（时刻，粒子处在，则时刻，处发现粒子的几率密度振幅即为）由薛定谔方程我们可直接给出 例：自由粒子的格林函数 根据 这即自由粒子的Green函数 B粒子数守恒在非相对论的状况下，实物粒子既不产生也不湮灭，因此在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即 这即规定，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。 由 从而得 。若V为实函

27、数（保证体系是稳定的，能量为实）对整个空间积分，得 对于真实粒子，运动于有限范畴内，波函数应平方可积（平方可积条件规定，应快于），于是 证得 这即表白，一旦波函数在某时刻已归一化，则任何时刻都是归一化的。当波函数未归一化时，那 ，而与无关。这正是物理上的规定。若非实，则。因此当，则体系不稳定而衰变掉。当，则其他粒子衰变为该粒子。由上可见，若取 则 称为几率流密度矢。上述表达，即为几率守恒的微分形式，形式上与流体力学的持续方程同样，但是有很大的实质差别。如对空间某一体积积分，则有 这表白，单位时间内，体积中，发现粒子的总几率增长是等于从该体积表面（S面）流入该区域的几率，也就是说，在某区域中的几

28、率减少，则另一区域中的几率增长，全空间几率不变。一维状况 几率流密度矢是到处持续的。由 当 则 持续因此，虽然在特定状况下，波函数导数可不持续，但仍是到处持续。C. 多粒子体系的薛定谔方程设：体系有个粒子，质量分别为，所处的位势为，互相作用为，则 这时S. eg.为 这也看出与典型不同样。不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即在多维位形空间中的。2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题当位势与时间无关，即。(1) 不含时间的薛定谔方程由于H与t无关，可简朴地用分离变数法求特解。令 于是 =常数由于它与任何t或都保持相等，因此它们必等于一种与t，无关的常数。于是有 。我们有 。因此，当H与t无关

29、时，含时间的薛定谔方程的特解为： 其中 。该方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称能量本征方程。A. 在上述方程中，E事实上是体系的能量。由于在典型力学中，粒子在一种与t无关的位势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力学中，相应波函数随时间变化为，因此相应的事实上是体系的能量。从平面波看，它随时间变化就是。B. 一般而言，上述方程对任何E值均有非零解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定规定（自然条件），以及某些特殊的边界规定（ 无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的解就只有某些E值。由这而自然地获得能量的分立值（而测量值只能是这方程有非零解所相应的值）。C. 根据态叠加原理，

30、是含时间的薛定谔方程的一种特解，也就是，是该体系的一种也许态，因此普遍的也许态一定可表为一般称（其中 ）为定态波函数。应当注意，对体系可按多种定态波函数展开来表达。但只有按自身的定态波函数展开时，系数C才与t无关。否则与t有关。（2） 定态A. 定态定义：具有拟定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数 （其中 ）描述的态称为定态。在2.4节中，我们已指出，当与t无关时（即），态随时间演化的规律为 。若tt0时处在定态，即t0时波函数为 则 这正是我们所给出的。B. 定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关。1体系在初始时刻（t0）处在一定能量本征态，则在后来任何时刻，体系都处在这一

31、本征态上，即。它随时间的变化仅表目前因子上。2体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。 因此 这表白，在任何地方，都无几率源，空间的几率密度分布不变。3几率流密度矢，不随时间变化。因此与t无关。4任何不含t的力学量在该态的平均值不随时间变化。5任何不显含t的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。根据态叠加原理，若对体系测量力学量的值，如可取a1, a2，那么体系的也许态必为 （因讨论的力学量与t无关，因此与t无关。而在态中测量力学量，其测得值仅为ai。而测得ai的几率正比于。现体系处在定态，显然与t无关, =。这正表白，对处在定态中的体系，测量取也许值的几率不变。2.

32、6 测不准关系由于粒子应由态函数来描述，因此，就不能像典型那样以每时刻 ，来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一种值）。但与否仍能像典型那样在处发现粒子具有动量呢？W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同步，不也许预言它的位置比更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似， 。这称为Heisenberg测不准关系。应当注意：这是实验的成果，固然也是波一粒两象性的成果；自然也是波函数几率解和态叠加原理的成果。我们将从几种方面来论述它。（1）某些例子A. 具有拟定动量（一维运动）的自由粒子，

33、是以 来描述，其几率密度 因此，对任何x处的相对几率都相似。也就是说，发现粒子在xixi+dx区域中的几率都相似。因此，x的不精确度为 ，但=0，因此不违背测不准关系。B如一种自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述 设：k很小，变化很缓慢，可近似取为. 因此， 这是具有一定形状沿x方向传播的波包。在x0，t0时，位相为 在x，t时，位相也为 ，因此，位相传播速度 ，称为相速度。同步我们可以看到，波包（可觉得几率振幅最大处）的平均值在移动。而极大值位置为 ，因此它移动的速度 即粒子的速度，称为群速度。这个波包扩展度的区域不是任意小，即 于是有 。因此要波包仅限于空间一定区域，相应P

34、x的扩展度不也许任意小；当Px的扩展度一定期，那波包的扩展度也不也许任意小。应当指出，我们在展开时，只取前二项，当二级项涉及时，即 不为零时，波包将随时间而扩大（这并不代表粒子消失，而是它的几率在较大的范畴内明显不为零）（2）某些实验A位置测量：一束电子平行地沿x方向入射，通过窄缝a，从而测出y方向的位置。由于通过窄缝，这时电子的位置（在y方向）有一不拟定度，而人们觉得=0，因此违背测不准关系。但事实上，通过缝后，在不同位置接受到的电子数的多少显示出干涉图象（电子数的大小），这一单缝干涉的第一极小为 即通过单缝后，电子在y方向的动量不再为0，而为。因此，当测量y的位置越精确（即a越小），那动量

35、在y方向越不精确，它们的精确度至少要满足（事实上，这是一制备一种电子在某状态下，波包宽为a，而不是平面波（宽为无穷）。显然，这不是仪器的精度问题，而是电子具有波动性，以波函数来描述。因此通过窄缝，有干涉。但它又是几率波。电子动量有一定几率密度在 中的某一值，因此它是波一粒两象性的后果。B用显微镜测量电子的位置：一束具有拟定动量Px的电子沿x轴运动，用显微镜观测被电子散射的光束来测量电子的位置。但显微镜的分辩率为（即电子位置的精度） 。这是由于成的像是一衍射斑点，有一定大小，被观测电子的位置有一不拟定度。因此越小，我们可以测得电子位置越精确，而我们还觉得，觉得违背了测不准原理。但事实上，光子是一

36、种个达到屏上（量子力学觉得）它是从之间某一角度进入的，但不知是那一角度进入的。因此散射光子的动量在x方向上有一不拟定度Px，而这不拟定度也使被反冲的电子在x方向上有同样的不拟定度（而不是Px0），即 。因此，当你测量得知电子在x方向上位置的不拟定度为时，则电子在x方向上的动量并不拟定，而必然有一不拟定度。你越想精确，测量电子位置（越小），那电子的动量的拟定度越差（）。（3）测不准关系是波一粒两象性的必然成果测不准关系是波一粒两象性的必然成果,也就是微观粒子用波函数描述及态叠加态原理的必然成果。由于物质粒子的波粒两象性的实验事实，规定对物质粒子用波函数来描述，且规定对波函数进行几率解释，并有叠加

37、性。 对一种物质粒子用来描述（任一波函数），它总可以表为。由Fourier逆变换有 从Fourier变换理论知：的扩展范畴（即故意义的区域）和它们富氏变换所扩展的范畴不能同步任意小。如的重要区域（即扩展范畴）为，的重要区域（即扩展范畴）为。那总是不小于数量级为1的数，即 。这里仅是数学，是富氏变换性质给出的。但是，由于目前是描述物质粒子的几率波，是几率密度。的重要范畴，即测量x最也许取值的范畴，也就是测量粒子位置的不拟定的范畴（这是由于几率解释的成果）。 目前是t时刻，动量的几率密度。它的重要范畴，即测量k最也许取值的范畴，这是由态叠加原理给出的物理含意。因此，由几率解释态叠加原理给出了Fou

38、rier变换理论用在量子力学波函数时，的物理含意。因此，是波函数（几率波）描述的必然成果。应当指出，有人觉得或理解测不准关系是人们对微观客体测量时，由于不可拟定的作用的后果导致的。这种见解是值得商榷的。它不是测量不准的问题，而是自身的内涵。（4）能量时间测不准关系A能量时间测不准关系：在狭义相对论中，都看作四度矢，因此有测不准关系，即推测也应有。前面已简介，当固定t时，有。现固定x，有 。而根据Fourier变换理论，如有一扩展度，那t就有一扩展度，且 B能量时间测不准关系的物理含意1在空间固定处，发现体系如有一不拟定的时间间隔为t（即在这一间隔中的任一时刻，发现体系的几率密度都很大），那该体

39、系的能量必有一扩展度E（即体系处在这一能量范畴中的某一能量的几率密度都很大），且有.例如：若一种自由粒子的波包宽，它通过所需时间，因此，在间隔内，均有也许在处发现粒子。由。因此，这一自由粒子波包的能量并不是取拟定值，而是有一扩展度2体系几率分布发生大的变化需时间t，那体系的能量不拟定度为，使。例1：定态：其几率分布不随时间变，因此要使这一分布发生变化，则规定，因此（即具有拟定能量）。例2：若体系的波函数为因此几率分布在和之间振荡，振荡周期。 ， 。因此体系几率分布发生明显变化的时间间隔 ， 即 。3若体系能量有一不拟定度E，体系保持不变的平均时间不不不小于例：不稳定体系的能级有一定宽度， 因此，平均寿命 。（5）某些应用举例测不准关系可用作某些问题的数量级的估计A类氢离子的基态能量估计：设：类氢离子的电子轨道半径为r（在一平面中），因此，不拟定度。因此， 于是， 。由 . 因此， B. 考虑重力下粒子的“静止” 现作一简朴的估计: 典型“基态”是静止的。而量子粒子其位置有一不 拟定度，动量也有一不拟定度。因此，。 ， 。因此，对于典型物理学，则觉得 。而对于量子粒子则为. 尘粒：, ; ii. 电子： 测不准关系是对两个物理量同步测量成果也许值的最佳区域（或不拟定度）关系的约束，它不是测量的影响。