余弦定理及三角形面积公式

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1、第七节 正弦定理和余弦定理高考动向：高考动向：1.掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三 角形度量问题；角形度量问题；2.能够运用正，余弦定理等知识和方法解决一些简单能够运用正，余弦定理等知识和方法解决一些简单 的实际问题的实际问题.高考链接：高考链接：1.选择，填空题：选择，填空题：(2016,4,国国I),(2016,15,国国II),(2016,9,国国III),(2014,16,国国I)(2013,4,国国II),(2011,11,国国),(2010,16,国国)2.解答题：解答题：(2015,17,国国I),(2015,17,国国II

2、),(2014,17,国国II),(2012,17,国国)教学目标：教学目标：1.理解，掌握正，余弦定理及三角形面积公式；理解，掌握正，余弦定理及三角形面积公式；2.运用正，余弦定理及三角形面积公式解决：运用正，余弦定理及三角形面积公式解决：(1)简单的三角形边，角及面积问题；简单的三角形边，角及面积问题；(2)三角形的综合性问题。三角形的综合性问题。一、知识回顾：一、知识回顾：1.正弦定理：正弦定理：(R为三角形的外接圆半径为三角形的外接圆半径)2sinsinsinabcRABC变形变形：(1)(2):sin:sin:sina b cABC2 sin,2 sin,2 sin.aRAbRBcR

3、C2.余弦余弦定理：定理：变形变形：2222cos,abcbcA2222cos,bacacB2222cos.cababC222cos;2bcaAbc222cos;2acbBac222cos.2abcCab一、知识回顾：一、知识回顾：3.三角形的面积公式：三角形的面积公式：111sinsinsin222SbcAacBabC相关结论：相关结论：(1)(2)(3)任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(4);ABC;abABsin()sin,cos()cos,ABCABC sin()cos,cos()sin.2222ABCABC二、典例精讲：二、典例

4、精讲：1.正弦定理应用 例1.(2015 安徽)在 中，则 ABC6,75,45,ooABAB_.AC 解：75,45,ooAB60.oC由正弦定理，,sinsinABACCB26sin22.sin32ABBACC已知两角一边，求其他边，角变式训练：(1).在 中，则(2).在锐角 中，若 则 ABC6,3,60,oabBcos_.A,sinsinabAB由正弦定理，sin6sin602sin,32oaBAb45,135()ooA或舍2cos.2AABC2 sin3,aBb_.A由正弦定理，得 2sinsin3sin,ABBsin0,B 3sin,2A0,2A.3A1.正弦定理应用 规律方法：

5、(1).已知两角及一边，求其他的边，角；(AAS)(2).已知两边及一边所对角，求其他边，角；(SSA)(3).已知边角关系式，利用边角互化，求解边，角.二、典例精讲：二、典例精讲：2.余弦定理应用 例2.(2016 全国I)的内角 的对边分别为 若 且 则 ABC,A B C,a b c5,a 2,c 2cos,3A()b.2A.3B.2C.3D解：由余弦定理，2222cos,abcbcA即22544,3bb 23830,bb13()3b 或-舍方程思想巩固训练：(1).(2015 广东)设 的内角 的对边分别为 若 且 则 ABC,A B C,a b c2,a 2 3,c 3cos,2A,

6、bc()b.3A.2 2B.2C.3D(2).(2013 全国I)已知锐角 的内角 的对边分别为 且 则ABC,A B C,a b c223coscos20,AA7,6,ac()b.10A.9B.8C.5DCD2.余弦定理应用 规律方法：(1).直接法：a.已知两边及夹角，求第三边；(SAS)b.已知三边，求角.(SSS)(2).间接法：已知两边及一边所对角，利用方程思想求解 第三边.二、典例精讲：二、典例精讲：3.三角形的面积公式应用 例3.(2011 全国)中，则 的面积为_.ABC120,7,5,oBACABABC解：由余弦定理，2222cos,ACABBCAB BCB2149252 5

7、(),2BCBC 即25240.BCBC38()BC或舍11315 3sin5 3.2224SAB BCB 二、典例精讲：二、典例精讲：4.综合应用 例4.(2012 全国I)已知 分别为 三个内角 的对边，且 (1)求 (2)若 的面积为 求 ABC,a b c,A B C3 sincos.caCcA;A2,aABC3,.b c解：(1)由正弦定理，得3 sincos,caCcAsin3sinsinsincos.CACCAsin0,C 3sincos1AA2sin()1,6A1sin().62A0,A,.663AA二、典例精讲：二、典例精讲：4.综合应用 例4.(2012 全国I)已知 分别

8、为 三个内角 的对边，且 (1)求 (2)若 的面积为 求 ABC,a b c,A B C3 sincos.caCcA;A2,aABC3,.b c解：(2)1sin3,2SbcA4bc由余弦定理，2222cos,abcbcA22142 4,2bc 即 228,bc由，得 2.bc能力提升：(1).(2015 福建)设锐角 的面积为 且 则 (2).在 中，角 的对边分别为 ，且满足 (i)求角 的大小；(ii)若 试判断 的形状,并说明理由.ABC10 3,5,8,ABAC_.BC ABC,a b c,A B C(2)coscos0.bcAaCA3 33,4ABCaSABC能力提升：ABC10

9、 3,5,8,ABAC_.BC(1).(2015 福建)设锐角 的面积为 且 则解：由面积公式 则 1sin,2SABACA15 8sin10 3,2A 3sin,2A 0,2A又=3A，由余弦定理，2222cos25644049,BCABACABACA7.BC能力提升：(2).在 中，角 的对边分别为 ，且满足 (i)求角 的大小；(ii)若 试判断 的形状,并说明理由.ABC,a b c,A B CA3 33,4ABCaSABC解：(i)由正弦定理,得 2sincossincossincos0,BACAAC2sincossin()sin.BAACB1sin0,cos.2BA0,.3AA(2

10、)coscos0.bcAaC能力提升：(2).在 中，角 的对边分别为 ，且满足 (i)求角 的大小；(ii)若 试判断 的形状,并说明理由.ABC,a b c,A B CA3 33,4ABCaSABC(2)coscos0.bcAaC(i)法二：由余弦定理,得 222222(2)0.22bcaabcbcabcab222,bcabc2222cos,bcabcA又1cos,2A0,.3AA13sin.24ABCSbcAbc(2)coscos0.bcAaC能力提升：(2).在 中，角 的对边分别为 ，且满足 (i)求角 的大小；(ii)若 试判断 的形状,并说明理由.ABC,a b c,A B CA

11、3 33,4ABCaSABC解：(ii)由面积公式 又 3 3,4ABCS3.bc由余弦定理 2222cos,abcbcA22=6.bc由 22=6,3,3,bcbcbc,abcABC为等边三角形.1.利用正(余)弦定理进行边角转化，得到边(或)角的关系式.2.对于面积公式 一般是已知哪一个角，就使用哪一个公式.2.与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行 边和角的转化.规律方法：111sinsinsin222SbcAacBabC，三、课堂总结：三、课堂总结：1.理解，掌握正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式；2.掌握，并能运用正弦定理和余弦定理的几种不同的应用方法；3.加强正弦定理

12、、余弦定理和面积公式之间的联系，能够进行 简单的综合运用.四、作业布置：四、作业布置：1.(2016,全国II)的内角 的对边分别为 ，若 则 ABC,A B C,a b c4cos,5A5cos,1,13Ca_.b 2.(2013 全国II)的内角 的对边分别为 ，已知 则 的面积为()ABC,A B C,4C2,b,6B,a b cABC.2 32A.31B.2 32C.31D四、作业布置：四、作业布置：3.(2015,全国I)已知 分别为 中内角 的对边，(1)若 求 (2)设 且 求 的面积.,a b cABC,A B C2sin2sinsin.BAC,abcos;B90,oB 2,a ABC4.已知 分别是 的内角 所对的边，且 (1)若 的面积等于 ,求 (2)若 求求 的值的值.,a b cABC,A B C2,.3cCABC3,;a bsinsin()2sin2,CBAAA谢谢指导！