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1、实验一：有限差分法研究静电场边值问题实验报告人： 年级和班级： 学号：1. 实验用软件工具： Matlab2. 实验原理：电磁场课本P36-381) 差分方程2) 差分方程组的解简单迭代法高斯-赛德尔迭代法逐次超松弛法3. 实验步骤：1）简单迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt1e-5) k=k+1; maxt=0;for i=2
2、:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1)/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end endendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis(0,41,0,21,0,100)subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis(-1,42,-1,25)plot(1,1,hx,hx,1,1,hy+1,hy+1,1,1,r)text(hx/2,0.3,0V,fontsize,11);te
3、xt(hx/2-0.5,hy+0.5,100V,fontsize,11);text(-0.5,hy/2,0V,fontsize,11);text(hx+0.3,hy/2,0V,fontsize,11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：1401次2）高斯-赛德尔迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=ones(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt1e-5) k=k+1; ma
4、xt=0;for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end endendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis(0,41,0,21,0,100)subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis(-1,42,-1,25)plot(1,1,hx,hx,1,1,hy+1,hy+1,1,1,r)text(hx/2,0.3,0V,fon
5、tsize,11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,100V,fontsize,11);text(-0.5,hy/2,0V,fontsize,11);text(hx+0.3,hy/2,0V,fontsize,11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：740次3）逐次超松弛法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=input(please
6、 input the value of alpha(alpha=1 & alpha1e-5) k=k+1; maxt=0;for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*alpha/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end endendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis(0,41,0,21,0,100)subplot(1,2,2),contour(v2,15
7、)hold onaxis(-1,42,-1,25)plot(1,1,hx,hx,1,1,hy+1,hy+1,1,1,r)text(hx/2,0.3,0V,fontsize,11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,100V,fontsize,11);text(-0.5,hy/2,0V,fontsize,11);text(hx+0.3,hy/2,0V,fontsize,11);hold off当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数alpha1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.9迭代次数742616509417336263197133801614）画三维曲面图
8、和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时）程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=1.8;k=0;while(maxt1e-5) k=k+1; maxt=0;for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*alpha/4;
9、 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end endendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis(0,41,0,21,0,100)subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis(-1,42,-1,25)plot(1,1,hx,hx,1,1,hy+1,hy+1,1,1,r)text(hx/2,0.3,0V,fontsize,11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,100V,fontsize,11);text(-0.5,hy/2,0V,fontsize,11);te
10、xt(hx+0.3,hy/2,0V,fontsize,11);hold off贴图：4实验结论（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。（2）从各个方法的迭代次数可以看出：在给定相同的最大允许误差W的条件下，简单迭代法使用的次数最多，为1401次；高斯赛德尔迭代法可以明显减少迭代次数，其迭代次数为740次；如果应用逐次超松弛法，则迭代次数与加速收敛因子有关，且在加速收敛因子选取合适值时，可以使迭代次数相对于其它迭代方法更加显著减少。如在加速收敛因子为1.8时，其迭代次数尽为80次。（3）在以后应用迭代法解决边值问题时，应最好选用逐次超松弛法，且在使用时，应注意选取合适的加速收敛因子的值。
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