2022新版高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中华人民共和国大学生数学建模竞赛竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（波及电话、电子邮件、网上征询等）与队外任何人（波及指引教师）研究、讨论与赛题有关问题。我们懂得，抄袭别人成果是违背竞赛规则，如果引用别人成果或其她公开资料（波及网上查到资料），必要按照规定参照文献表述方式在正文引用处和参照文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛公正、公平性。如有违背竞赛规则行为，我们将受到严肃解决。我们参赛选用题号是（从A/B/C/D中选用一项填写）： B 我们参赛报名号为（如果赛区设立报名号话）： 所属学校（请填

2、写完整全名）： 海军航空工程学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指引教师或指引教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 年 8月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅迈进行编号）：免费自行车交通系统服务网点布局规划摘要:本文通过建立综合评价准则，对既有网点和自行车布局进行了排序与评价，并根据此准则对网点和自行车分布进行了合理优化。一方面，综合分析

3、影响网点和自行车布局有关因素，概括起来分为人口流量、人口密度、人均自行车占有率以及网点互相距离四个因素。针对问题一，将这四个因素作为评价指标，并对四个指标进行规范化解决，化为无量纲数，然后根据各指标重要限度，赋给相应权值，各指标加权后求和得到最后综合评价指标，计算求得既有网点和自行车分布最佳是14号网点。针对问题二，在问题一评价准则基本上，我们采用逐渐筛选措施。一方面对题中所给区域进行了分块解决，将整块区域提成240块小方格区域，对于每个方格内在任意位置设立自行车网点都是等效，并且每一种方格内最多可以设立一种自行车网点。除去既有17个网点数，这样问题就等效为余下223个小方格区域中再筛选出83

4、个方格作为自行车新增网点。第一步筛选根据网点设立所需客观条件，去掉不能设立自行车网点方格，第二步对剩余方格区域作进一步筛选，建立了以总评价准则为目旳函数非线性规划模型，求得新增83个网点合理分布。对于问题三，由于需要考虑到网点建设成本和资金限制，本文分析了约束条件变化状况，对约束条件进行了修改，采用非线性规划模型进行求解。求解时，一方面根据资金约束条件，计算出所有也许网点数和自行车总数，并把这些量当作已知量来解决，网点数最大为220个。为了进一步简化问题，对求得网点数作出筛选，去掉过小和过大，只考虑在个范畴内状况，这样计算量可以有效减少。核心字：权重；综合评价；分块解决；非线性规划1 问题提出

5、随着经济不断发展，都市居民人均拥有汽车辆也越来越多，从而导致了交通、环境等问题，为理解决这种问题，市政部门通过建立公共自行车（免费单车）交通系统。这种便民利民实事工程以本着“随租随用，用后速还，信用保证，限时免费，连租连免，通租通还，损坏补偿，便民安全”原则，维护租用双方合法权益，保证都市市公共自行车（免费单车）交通系统正常运营，以便市民及中外游客出行。某城区既有人口15 万，地区面积约22.9平方公里(长4.68公里，高4.89公里)，含两座小山和一种湖泊。已知该城区规划中地铁站有5个，预测高峰时间人流量在4000-5000人/站，别旳时间1000人/站。大型社区有两个，社区C有1.4万人，

6、社区C有2.8万人，别旳地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以觉得人口是均衡分布。大型超市有三个，预测高峰时间人流量在3000人/座，别旳时间1000人/座。为了最大也许以便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：上午在社区周边网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点车辆数较多。十字路口人流量一般较大。网点之间距离一般控制在300米1000米之间。目前该地区既有17个网点，600辆免费自行车，记录车辆数如附表1所示。我们需要解决如下问题1. 设定一种评价原则来衡量既有网点与车辆分布状况。2. 在规划中要在图中增长到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每

7、个网点车辆数，才干使在你评价指标下达到最优。3. 但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一种网点需5000元，投入一辆自行车成本约300元，现但愿尽量实现重要居民区网点平均间距500米公共交通体系，并最大限度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并拟定每个网点车辆数。2 模型假设（1）研究区域封闭，即假设不会有其她区域自行车流入，本区域自行车也不会流出；（2）公共自行车不会有被偷、损坏等意外状况发生；（4）每个使用自行车人使用自行车几率是同样；（5）除了超市、交通枢纽人口集中地区，其她地区人口流量相似。3 符号阐明为论述以便，商定符号如下：第个网点周边人口密度；：第个网

8、点周边人口流量；：第个网点人均自行车占有率；：第个网点逼近度；：第个网点第项指标；：第个网点综合评价原则；：第项指标权重；：第个网点到别旳网点距离最小值；：第个网点到第个网点距离，其中；：第个网点自行车数量；：第个网点周边人口数量；：第个方格区域分派自行车数量；：0-1整型变量。4 问题分析自行车服务网点拟定重要根据其所产生社会效益，即要尽量满足人们使用需求，因而自行车网点设立需要对影响自行车需求因素进行分析，概括起来可分为四个方面，即人口流量、人口密度、自行车人均占有率以及网点互相距离。对既有网点和自行车布局进行评价，可以以这四个因素作为评价指标。对于问题一，通过对题目分析我们懂得解决这些问

9、题核心是要建立一种免费自行车交通系统服务网点综合评价模型。目前国内外综合评价措施有数十种之多，波及模糊数学措施、系统工程措施、技术经济措施等等。这些评价措施各有其特点，但大体上可分为两类，其重要区别在拟定权重措施上。本题采用措施是主观赋权，采用综合征询评分拟定权重，然后将数据规范化解决得到无量纲数据再进行综合评价。对于本题，在评价之前必要要解决两个问题，一是量化评价原则，找出影响网点布局重要因素然后进行量化等其她解决；二是权重拟定，根据调查成果对不同评价原则给出相应权重，这个过程主观成分比较大，但会在背面成果中进行修正。对于问题二，需要把已有网点增长到100个同步需要增长3600辆车，为了不盲

10、目寻找多增长83个点，通过转换思路，我们先在图上拟定有限个也许成为网点点，然后通过筛选得到需要网点。通过将地图按照一定规则划分，得到有限个也许建立网点社区域，然后对该区域评价原则进行综合评价从而最后找出需要网点位置。对于问题三，由于市政资金存在限制，对于自行车网点选用就需要在满足位置恰当基本上还要考虑资金状况。因而，在问题二建立模型基本上，通过增长资金这一约束条件解决网点选用问题。5 模型建立与求解5.1 问题一求解要评价既有网点与自行车车辆分布状况，由题目给出已知条件知，需要从网点选址状况和自行车数量分派合理性两方面进行分析。网点选址好坏取决于网点以便限度，因而网点布局重要根据网点周边人口分

11、布状况，波及人口密度和人口流量。此外考虑到人们借车、还车以便以及效益最大化，各网点之间距离应保持在恰当范畴。为了制定合理评价准则，需要综合分析以上各因素，即人口密度、人口流量、网点互相距离以及网点自行车数量。5.1.1 人口密度分布题中所给区域，人口分布不均，不仅地形比较复杂，存在高山、湖泊以及河流，人口密度受地形因素影响较大，并且社区类别对人口密度也产生影响。对于大型社区而言，人口相对集中，人口密度大。为了计算以便，不考虑人口在高山、湖泊以及河流区域分布，其她地区除大型社区外人口分布是均匀。大型社区和人口密度其中分别体现该大型社区和人口数量，分别体现大型社区和面积。其她地区（除山地、湖泊和河

12、流区域外）人口密度。其中为该区域内总人口，为该区域总面积。运用软件图像解决命令对面积进行计算，求得所给区域两个大型社区和，面积分别为和，面积合计为，两座高山和所有水域总面积为。该区域总面积为，大型社区和人口数分别为1.4万和2.8万。则大型社区和人口密度和（单位为万人每平方公里）分别为其她地区（除山地、湖泊和河流区域外）人口密度为设体现第个网点附近人口密度，值与网点所处位置有关，当网点位于大型社区时，该网点处人口密度即为该社区人口密度，当网点位于除山地、湖泊别旳地区，人口密度为一定值。人口密度在该区域内总分布状况为5.1.2 网点互相距离网点之间互相距离也是评价网点布局好坏一种很重要原则。出于

13、最大限度服务人们目，建设网点时应根据有限时间内免费租赁，随处借还原则。在题目规定中，网点之间互相距离大概为，这就能保证在较短时间内免费使用自行车骑行到附近此外相邻网点，而网点之间距离越小，居民就可以更加以便选用目网点，使得目网点尽量接近目地而避免了多走冤枉路状况。根据以上分析，网点之间最佳距离应控制在之间，在该范畴前提下，网点互相距离越小对于人们来说越以便。定义任意两网点和之间距离为，以体现网点到别旳网点距离最小值，考虑到其她评价指标影响效果是越大越好，为了与其她因素保持一致，我们定义最小距离倒数表征网点与到她网点逼近限度，作为评价一种指标。由于超过范畴，网点布局即觉得不够合理，对于互相距离存

14、在不不小于300米和不不不小于1000米网点，通过给最小距离取一种较大值，使得为一种较小常值，计算时取。通过计算，可以得到网点之间互相距离如下表1。表1 网点到别旳网点逼近状况网点逼近量网点逼近量10.001000100.00192220.001000110.00378630.001000120.00142040.002777130.00189350.002777140.00130260.001329150.00189370.001302160.00102480.001922170.00100090.0010005.1.3 人均自行车占有率服务网点自行车配备数量应当根据自行车需求量来拟定，对于

15、布置在地铁站、社区和超市这些人口比较集中区域网点，自行车数量应当多分派，总之要尽量满足网点周边人们对于自行车需求。在不考虑网点容量与成本前提下，网点自行车数量越多越好。我们用人均自行车占有率来表征该网点自行车分布状况，人均占有率越高,自行车数量越多，表白该网点自行车数量能最大限度满足人们需求。由于网点是向所有人开放，自行车人均占有率难以作出精确计算。为此我们对问题进行了简化，假定网点存在一定服务范畴，对于该范畴内居民，网点将提供服务，不在此范畴内不做考虑。同步在服务范畴设立上，以300米为半径划定一种圆形区域，人均占有率计算只波及该区域内人口分布状况。图1 网点服务区域各网点服务范畴面积为。由

16、于在该圆形区域内，也许存在社区和其她地区共存在现象，而两者人口密度是不同样，需要加以区别计算。设分别体现该圆形区域内大型社区、大型社区以及别旳地区面积，分别相应于三者人口密度。则该网点所在服务范畴内人口数量为网点自行车数量,在不同步间段内值是不同。对于大型社区附近网点，自行车数量上午和下午都维持在一种相对稳定值，而其她各网点数量都存在较大波动。因而取上午和下午两个时间段自行车数量均值作为各网点自行车数量终值，即 其中、分别体现网点上午和下午自行车数量。则对于网点，人均自行车占有率为。 5.1.4 人口流量分布人口流量分布集中在交通枢纽和超市等地点，并且呈现随时间变化特点。一般而言，在上下班高峰

17、时间，地铁站、十字路口等交通枢纽人流量会浮现激增，而超市人流量在节假日达到峰值。根据所给数据可知，地铁站和超市在高峰时间和别旳时间内人流量存在较大差值。考虑到人流量这种变化，分别对超市和地铁站高峰时间和别旳时间人流量加权，得到一种总流量值。网点周边超市和地铁站个数会对人流量产生影响，超市和地铁站数越多，网点附近人口流量越大。仍取300米为半径圆形区域作为网点服务区域，计算时只考察该圆形区域内超市和地铁站数目，当多种网点区域发生重叠时，觉得人流量平均分派，以均值作为各网点人流量值。网点附近人口流量为其中、分别体现网点附近超市和地铁站高峰时间和别旳时间人流量；和分别为高峰人流量权值系数和别旳时间人

18、流量权值系数，两者满足，计算时取；和分别体现网点圆形区域内超市和地铁站数目。5.1.5 评价准则建立该区域既有自行车服务网点有17个，这些网点即为评价对象。评价指标有四个，即人口流量、人口密度、人均自行车占有率以及网点到到其她网点逼近度。记体现第个网点第项指标，则四个指标构成矩阵为。采用评价中向量规范化措施对各指标进行规划化解决，求得规范指标矩阵。可以建立以人口密度、人口流量、人均占有率以及逼近度四个因素为评价指标多目旳评价准则。设规范化指标矩阵，则 根据已知条件，四个指标中各指标对网点和车辆分布状况所起作用大小难以拟定，因而人为地对每个指标赋予一种权值，权值大小反映该指标对决策影响限度。设评

19、价指标权重向量为，各指标加权后求和得值涉及了人口密度、人口流量、网点逼近度以及人均占有率四方面成分，其大小可以作为衡量各网点评价原则。对于值较大，该网点布局和自行车数量分派相对合理，反之，网点和自行车分布状况需要改善，可以考虑对相应网点进行重新选址或对该网点自行车数量加以调节。不管是网点选址，还是自行车数量配备，核心是能否为人们提供便利，满足人们对于自行车需求。然而不同人对于自行车需求是不同样，对于上下班、出行这某些人来说，使用自行车也许性大，即对自行车需求量大。因而自行车配备数量一方面应当考虑流动人口数量，即人口流量大小，我们拟定权重向量为。5.1.5综合评价结论通过对各因素分析，可以求得每

20、个网点四个指标值，进一步做规划化解决，得到规范指标矩阵。如表2所示。表2 规范化后各个网点评价指标 人口密度人口流量人均占有率网点互相距离10.4681640.2857140.1699750.016520.4681640.2857140.1456930.016530.1241360.1428570.3663090.016540.1241360.1428570.2747310.045850.1241360.1428570.2747310.045860.1241360.2857140.2747310.021970.425040.2857140.1337290.021580.1241360.2857

21、140.2747310.031790.1241360.1428570.2747310.0165100.1241360.4285710.2747310.0317110.1241360.1428570.2747310.0624120.1241360.2857140.2747310.0234130.1241360.1428570.1831540.0312140.425040.2857140.1337290.0215150.1241360.1428570.1831540.0312160.1241360.2857140.1831540.0169170.1241360.1428570.2747310.01

22、65对规范化评价指标加权解决后，求得到各网点最后评价成果如表3所示。表3 评价名次网点综合评价值排序网点综合评级值排序10.07514100.1120220.07485110.05021130.023914120.0706840.015315130.00571750.050210140.1221160.045913150.04861270.07076160.0692980.07067170.0800390.0153165.2 问题二求解自行车服务网点选址是一种复杂问题，如何在为人们提供最大便利基本上，合理对网点加以布局，可以减少不必要网点，有效节省成本。根据评价指标，网点布局由四个因素决定，其

23、中人口流量起重要作用，因而实际选址时，一般考虑将网点选在交通枢纽、超市等人口流量大地区。但是考虑到尽量使更多人受益，应当恰当增长网点数量，使网点分布趋于均匀。网点选址可以通过对某个地点自行车需求量和所处地理状况进行调查，来拟定适本地点。在上述数据未知条件下，难以精确求得网点最佳布置点。在这个问题解决上，我们将问题分为抱负化和实际化，所谓抱负化就是假设该区域内任何地方均可建立自行车网点，而实际化则是考虑实际生活中，由于各类建筑以及高山、湖泊等限制，使得该区域一某些地方不能建网点。因而可以根据这种措施，不断去掉不能建立自行车网点区域，然后在满足条件地点根据评价准则求得最优网点布局位置。5.2.1

24、区域分块解决将题中所给区域反映到平面二维坐标系中，区域中每一种点都相应一种坐标值。运用网格线将该区域划分为一种个社区域，使得整个区域被一种网格覆盖。该网格由240个小方格构成，在选用网点布局时，觉得布置在每个小格子内所有网点都是等效，同步考虑到网点之间距离应当保持在内，因此每个格子内只能设立一种自行车服务点，但位置不受限制。为了计算以便，我们假设自行车网点都设在方格中心位置。除去既有17个网点，这样问题转化为在剩余223个社区域中再筛选83个最佳区域问题。一方面运用抱负化和实际化措施，对240个社区域进行第一步筛选，筛选措施应遵循如下几点：1.由于高山、湖泊地区不考虑人口分布，自行车网点不也许

25、设在这些区域，对于方格内存在高山和湖泊，将这些社区域排除。2.考虑到自行车使用应具有道路条件，根据所给地图，将方格内没有标记道路，去掉相应区域。3.方格内已经设立网点区域，不做反复考虑，也就是只需再找出83个社区域。根据上述措施对223个方格进行筛选后，还剩余131个方格 ，对这些点按顺序进行标号。5.2.2 非线性规划模型建立在第一步筛选后，需要在剩余网格中进一步选出83个方格作为自行车网点设立点。通过对问题一求解，已经建立了一种总评价准则，我们以此做为目旳函数建立一种线性规划模型对自行车网点布局进行求解。设第一步筛选后还剩余方格数为，每个方格均有也许设立自行车网点，以体现每个方格分派自行车

26、数量，每个方格面积，第个方格内自行车人均占有率为其中体现该方格区域内人口密度。网点逼近度根据问题一中定义，以该点到其她点最短距离倒数体现。人口流量拟定将方格区别为两类，一类为方格内存在超市和地铁站，另一类则不存在。对于存在超市和地铁站方格，为类方格，该方格内人口流量根据区域内超市和地铁站流量拟定。 方格内不存在超市和地铁站为类方格,该区域内人口流量视为定值，则人口流量分布状况为。人口密度分布不同地区存在差别，根据问题一分析，各方格区域内人口密度为问题一建立综合评价函数为其中分别体现网点人口流量、人口密度、人均自行车占有率以及网点逼近度四个指标规范化后值，体现第个指标权重。则对于第个方格，综合评

27、价函数为引入一种01变量体现各方格内网点设立状况，对于方格内设立自行车网点取值1，没有设立网点取值0。综合以上分析，得到该数学规划问题目旳函数根据题中所给规定，可以分析得到该非线性规划问题满足如下约束条件。（1）筛选出方格数目等于增长自行车网点数量83，即（2）各方格分派自行车数量和与自行车总数相等，即（3）对于选中方格，任意两个之间距离应不不小于1000米。设体现第方格和第个方格之间距离。则需满足其中为一种充足大常数，计算时可取。建立如下非线性规划模型5.2.3 模型求解运用软件可以求得0-1整型变量和自行车分派数量值，体现方格被选用作为设立自行车网点。根据前文假设，自行网点设立在方格中心位

28、置，考虑到实际状况下，方格中心位置由于建筑物等因素限制，不适合建立自行车网点，为此在已被选中方格区域中，对自行车网点位置进行恰当调节，让自行车网点尽量接近地铁站、十字路口这些交通枢纽分布。最后得到新增83个网点分布状况见图1所示。图1 100个网点分布状况 由上图可知，新增83个网点后，该区域内网点分布比较均匀，基本上已经构成了一种覆盖所有地区自行车服务网络，既充足考虑了交通枢纽、超市和社区人口集中地点自行车需求量大实际，又兼顾了人口分布相对较少地区对自行车使用需要，布局更加合理。表4 新增83个网点自行车分布状况如下表所示。网点数量网点数量网点数量网点数量网点数量18733606340803

29、211312393345964398228114125863558653985241188196736566636862411981963756673687241208216643526836882412182265454969369020122823655046703610316123824645146713210416124825635246723210516125826635643733210616129427615743743210716130428615842753210816131429615943763210912132430616043773211012134531616142

30、783211112326162397932112125.3问题三求解免费自行车交通系统服务网点最后目是服务人民大众，为了更好实现这个目，都市管理者会考虑到增长网点数目和每一种网点自行车数量，这样会满足不同居民不同需求。但是管理者同样会面对一种问题，那就是在增长网点数目和自行车数量同步投资金额也会同步增长。在本题中，市政能提供资金为110万元，建设一种网点需要金额为5000元，投入一辆自行车成本为300元。在投资金额一定前提下，网点数目与自行车数目是此消彼长，因而在两者之间必要谋求一种平衡，在尽量满足站点之间距离恰当状况下同步站点可以提供足够使用自行车。根据题中规定，需要建立重要居民区网点平均间

31、距500米公共交通体系，在第二问思路基本上，将整个大区域划提成若干社区域，每一种社区域大小为 ,由于整个区域规模为，因而可以划分为90个社区域，对这90个社区域标号。在这90个社区域内筛选可行区域运用非线性规划模型作进一步筛选，即可选出最佳网点数目和网点位置。由于有资金成本限制，需要对模型约束条件作出调节。（1）建设网点数需要不多于筛选出网点数（2）总资金为110万元，资金约束为 （1）其中和分别体现建设总网点数和总自行车数，两者满足如下关系（3）重要居民网点平均间距应保持在500米左右。由于重新设定方格大小为区域，只需满足已选中方格相邻分布即可达到规定。当两个方格成对角分布时，网点间距为米，

32、此时恰能保证平均距离为500米。因而平均距离约束为综上可以建立如下线性规划模型 由于自行车和网点数目都为整数，两者又满足资金约束条件，因而可以通过（1）式求得所有满足条件网点数以及相应自行车数总量。这样网点数目和自行车总数都为已知量，为进一步简化计算，还可以对过少网点数和过多网点数加以剔除，对这种状况不做考虑。在资金为110万前提下，最多可设立网点数为220个，取可以有效减少计算量。6 模型评价本文通过对事实状况考察，在拟定合理评价指标基本上建立一种评价模型，对已有网点进行评价并且对将要建设网点进行预测，其效果是客观。本文长处在于对旳选用评价原则，在此基本上通过对客观事实考察得到权值，最后计算成果令人满意。此外，本文亮点是对整个区域分块解决，将不也许建设网点区域剔除，在剩余有限网点中选用最后成果，这样可以大大减少计算量。在解决问题过程中，很少采用晦涩难懂公式，绝大多数公式都是通过推导得到，文章构造循序递进，内容浅显易懂。本文缺陷在于对于权值选用仍然带有主观成分，这也许对成果导致影响。参照文献1韩中庚，数学建模措施及其应用，北京：高等教导出版社，。2全国大学生建模竞赛组委会，大学生数学建模理论与实践，长沙：湖南教导出版社，。3姜启源，数学模型，北京：高等教导出版社，1996年。