构造对偶式的八种途径

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1、构造对偶式的八种途径在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。一. 和差对偶对于表达式u(x)v(x)，我们可构造表达式u(x)干v(x)作为它的对偶关系式。例1若08；，且3sin8+4cos8=5,求tanB的值。Jcos=；解析：构造对偶式：3sinT-4cosr-ym3sint4cosr-5小则g，得,3sin-4cos-y再由sin+cos?e=1得：y=一.tan=。54点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。例2已知

2、：a，b，c，d肴R，且a?+b?+c?+d之41,444444一求证：(a+b)+(a+c)+(a+d)+(b+c)+(b+d)+(c+d)壬6。解：设M=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4,构造对偶式N=(ab)4(ac)4(ad)4(bc)4(b-d)4(cd)4则有：MN4444222222222222=6(abcd2ab2ac2ad2bc2bd2cd)2.2.2.22=6(abcd)6又N芝0,故M壬6,即原不等式成立。例3解方程：x那么(1)2+(2)2得：2x2+42=*100+a2),(3)8x2Vx2-8x21=10解：构造对偶

3、式：Jx2+8x+21-Jx2-8x+21=a，再由原方程联立可解得：10a小.x8x21=,(1)“2。x2-8x21=A(2)(1)2(2)2得：16x=10a,即a=，5代入(3)中得：2x2+42=1(100+竺*2),225整理得：_9x2=4,解得：x=10。253二. 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例4若x,y,z(0,1),求证:11-xy-3。解：设M11-xy构造对偶式：N=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x),贝U1111MN=(1-xy)(1-yz)(1-zx)1-xy1-yz1-zx1-yz_222=6而N

4、=3，故M芝3，即_3。111-xy1-yz1-zx例5设a1,a2,a3,|,an为互不相等的正整数,十a2a3an111求证：a+歹十孑十IH+p芝1十日+甘11】十一。解：设m=a罢专川,癸，构造对偶式:n=23na1a2an则MN=(a1)(罢上)山(罢I)，111司2a2nan23n1 1,.,1又a1,a2,a3,|,an为互不相等的正整数，所以N玄1+十一|+，因此3nM-111川1。23n点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。例6已知对任意x正(吃0)u(0,+*)总有f(x)+2f(】)+x=0,求函数

5、y=f(x)的解析x式。解析：因f(x)+2f(1)+x=0x用1替代上式中的x,构造对偶式：f(1)+2f(x)=0xxx由X2得:f(x)x_4f(1)_2=0xx2x-2x故f(x)=。3x三. 共轴对偶共轴对偶是反映利用共轴根式或共轴复数来构造对偶式的方法。例7已知zc，解方程：zz-3iz=13i。解析：由zz3iz=1+3i构造对偶式：z，z+3iz=13i由得z=-z-2,代入得(z+1)(z+1-3i)=0,故z=-1或z=-1+3i。z-1例8右zmc，已知z=1且z孝士1,证明：为纯虚数。z1.-z1一.z1z1z1解：设M=、1，贝UM=(、1)=气1，构造对偶式：N=%

6、z-1z-1_2贝UM+N=+=0(因为z，z=|z=1)z1z1z1I,又#0(因为z#1)z1z-1，为纯虚数。z1例9已知：aA0,bA0，且a+b=1,求证：J2a+1+J2b+1V2龙。证明：设1=J2a+1+J2b+1，构造对偶式：N=J2a+1-2b+1222-M冬MN=4(ab)4=8M22,即原不等式成立。四. 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。例1。求和：S=1C：+2C：+3C；+4C：+HI+nCnk_nk*_0解析：观察和式联想到Cn=Cn一,04k去n,nN，故首先在和式右边添上一项0Cn,则S=0C?十1C1+2C2十HI

7、+nC构造对偶式：S=nC：+(n_1)C；+(n2)C2HI+0C即亦为：S=0C；+1C；+2C：+|+nC；由+得：nC：+nC：+川+nC；-+nC；0_1nJ_n0_1n_J_n、-2S=nCnnCnnCn一,nCn=n(Cn，Cn,ICn，Cn)2S=n2nS=nn点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例11正项等比数列an中，T=qa2矣，川，an,S=a1+a2+a3+|+an试用s,t表111示oaa2an解析：传统解法都用a，q表示s,t及Q,然后通过a和q找到s,t,Q的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在

8、用等比数列求和公式时还要讨论q=1和q。1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。由题意知：t=aa2，a3加，an构造倒序对偶式：T=anan4ana1n由X得：T2=(&an)(a2Qn)411-(ane)=(a1)2，即T=(a角)再来看:a1a2构造倒序对偶式:anan4a即+得:-112Q=()aan()山(Ja2an-2an-)a即2Q=Jn.山.匚1。aiana2an2an司由等比数列性质可知，右边的分母均为a1，an,故(ai-an)(a2anQ山(ana)2Q=a-3n2SS即2Q=

9、4,.Q=q-aianaanTnS2又aan=Tn定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。例12已知函数f(x)=1x2,1,1,1,。f()+f(-)+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(4),4则，=解析：f(x)-f(!)x1x2(】)2x1(-)2x-0=12221x21x2发现定值：f(x)f(】)=1。x那么S=,1,1,1,f)门渤f(3)f(1)f(2)f(3)f(4)432111构造对偶式：S=f(4)f(3)f(2)f(1)f)f(g)f(.由+得:八.1.1.1.1 2S=f().f(4)f()f(3)f()f(2)2f(1

10、)43211f(2)f(1)f(3)f)f(4).f)342S=7,即S=o2奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。1 35口削-11例13求证：_X_K_HHIJ。2n2n1_、一1352n1解：设M=xxx川，构造对偶式:2462n由于-2：4，H，V52n2n2n1,因此MN,从而M23-22一1H7_,66一55-43n-13n3n13n23n-13n3-MMNP(25)(36电)(4-里)143n-2253n-1363n3n-23n-1=3n1M33n1故原不等式成立。七.轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。例15求

11、证：对任意实数a.1,b1，都有一虫一+上一8不等式成立。b-1a1证明:2设M=b-1a-1b2构造对偶式N=b-12a1.a2-b2b2-a2(ab)(a-b)2一N=+=0即MN1111_而N=b1a14(b-1)(aT)422=8,b-1a-1b-1a-1M芝N28，即M占8。当且仅当a=b=2时等号成立。例16设a,b,cwR+,求证:工工abbcca2证明：设m=+-+-，构造对偶式：N=业一+一?一十三一abbccaabbcca2,2,2222abbccaabbccaK1abc=N2222abcabc+abbcca2八.互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对

12、偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。例17已知X。,三，解方程：cos-2sin50sin30sin30=-一-sin507MN=2sin501M-N=-sin502xcos22xcos23x=12解析：若令M=cos2x+cos22x+cos23x，构造对偶式：N=sin2x+sin22x+sin23x贝U：M+N=32M-N=cos2xcos4xcos6x=2cosxcos3x2cos3x-1=2cos3x(cosxcos3x)1=4cosxcos2xcos3x1M-N=4cosxcos2xcos3x-11一由+碍：cosxcos2xcos3x=、(2M-2)，又M=1cosx

13、cos2xcos3x=0cosx=0或cos2x=0或cos3x=0,x0,2JJJTx=一或x=一或x=。6422f2例18求sin10cos40sin10cos40的值。解析：令M=sin210cos240sin10cos40，构造对偶式：N=cos210+sin240cos10sin40,则MN=2sin10cosl。cos10sin4。=2sin50*fAf.AM-N=-cos20、cos80sin10cos40-cos10sin40点评：这是一道比较典型的三角求值题。通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜。在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能提高解题速度，而且能收到以简驭繁，简缩思维，拓宽思路的功效，同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，对于激发学生学习数学的兴趣也是大有裨益。2462n.2n1