二次函数的图象和性质5

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1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xy1 说出二次函数 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性2 它是由y=-4x2怎样平移得到的1)2(42xy32212xxy1 不画图象，直接说出 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性2 不画图象，直接说出 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性1422xxy1求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最值 （1）（2）（3）2 抛物线如何 平移得到222xxy8422xxyxxy8225422xxy22xy 我们来画我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画的图象，并讨论一般地怎样画二次函数二次函数 的图象的图象20yaxbxc a216212y

2、xx我们知道，像我们知道，像 这样的函数，容易确定相应抛物线的这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（顶点为（h,k)，二次函数，二次函数 也能化成这样的形式吗？也能化成这样的形式吗？khxay2216212xxy接下来，利用图象的对称性列表（请填表）接下来，利用图象的对称性列表（请填表）x345678933.557.53.557.5216212xxyxyO510510配方可得配方可得由此可知，抛物线由此可知，抛物线 的顶点是的顶点是（6，3），对称轴，对称轴是直线是直线 x=6216212xxy36212x216212xxy216212xxyw怎样直接作出怎样直接作出函数函数y=3xy=3x

3、2 2-6x+5-6x+5的图象的图象?函数y=ax+bx+c的图象 w我们知道我们知道,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象,通过平移抛物线通过平移抛物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象.w1.1.配方配方:5632xxy35232xx提取二次项系数3511232xx配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方32132x整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.2132x化简:去掉中括号老师提示老师提示:配方后的表达配方后的表达式通常称为式通常称为配配方式方式或或顶点式顶点式直接画函数y=ax

4、+bx+c的图象w4.4.画对称轴画对称轴,描点描点,连线连线:作出二次函数作出二次函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2+2+2的图象的图象 w2.2.根据配方式根据配方式(顶点式顶点式)确定开口方向确定开口方向,对称轴对称轴,顶点坐标顶点坐标.x-2-101234 2132 xyw3.3.列表列表:根据对称性根据对称性,选取适当值列表计算选取适当值列表计算.292914145 52 25 514142929wa=30,a=30,开口向上开口向上;对称轴对称轴:直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2).?5632xxyX=1(1,2)w例例.求次函数求次函数y=

5、ax+bx+c的对的对称轴和顶点坐标称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 w一般地一般地,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方法我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标推导出它的对称轴和顶点坐标.w1.1.配方配方:cbxaxy2acxabxa2提取二次项系数acababxabxa22222配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方222442abacabxa整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.44222abacabxa化简:去掉中括号老师提示老师提示:这个结果通常这个结果通常称为求称为求顶点坐顶点坐标公式标公式.44222ab

6、acabxay顶点坐标公式?因此因此,二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.2:abx它的对称轴是直线.44,22abacab它的顶点是.44222abacabxay1写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标当写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标当x为何值时为何值时y的的值最小（大）？值最小（大）？xxy232xxy228822xxy34212xxy（4）（3）（2）（1）练习练习解解:(1)a=3 0抛物线开口向上抛物线开口向上212 33x 顶2214 33y 顶11,33顶点坐标为13x 对称轴1133xy 最小值当时，-解解:a=1 0

7、抛物线开口向下抛物线开口向下2121x 顶22141y 顶1,1顶点坐标为1x 对称轴11xy 最大值当时，xxy22（2）解解:a=2 0抛物线开口向上抛物线开口向上442 0.5x 顶24 0.5 3454 0.5y 顶4,5顶点坐标为4x 对称轴45xy最小值当时，-34212xxy（4）请你总结函数请你总结函数函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质 w想一想想一想,函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c和和y=axy=ax2 2的图象之间的关系是什么？的图象之间的关系是什么？二次二次函数函数y=ay=ax x2 2+b+

8、bx+cx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称在对称轴右侧轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右平移向右平移;当当 0时时向上平移向上平移;当当 0时时,向下平移向下平移)得到的得到的.驶向胜利的彼

9、岸小结 拓展回味无穷二次二次函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)与与=ax的关系的关系abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac442结束寄语探索是数学的生命线探索是数学的生命线.1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.;5.12xy;142.22xxy;263.32xxy;21.4xxy.933.5xxyw如图如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角按照图中的直角坐标系坐标系,左面的一条抛物线可以用左面的一条抛物线可以用y=0.0225xy=0.0225

10、x+0.9x+10+0.9x+10表表示示,而且左右两条抛物线关于而且左右两条抛物线关于y y轴对称轴对称 w钢缆的最低点到桥面的距离是多少？钢缆的最低点到桥面的距离是多少？w两条钢缆最低点之间的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？w你是怎样计算的？与同伴交流你是怎样计算的？与同伴交流.函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的应用的应用Y/m x/m 桥面 -5 0 510109.00225.02xxy109.00225.02xxy.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流的？与同伴交流.可以将函数

11、可以将函数y=0.0225xy=0.0225x2 2+0.9x+10+0.9x+10配方配方,求得顶点坐标求得顶点坐标,从从而获得而获得钢缆的最低点到桥面的距离钢缆的最低点到桥面的距离;94000400225.02xx940002020400225.0222xx9400200225.02x.1200225.02x.1,20是这条抛物线的顶点坐标Y/m x/m 桥面 -5 0 510109.00225.02xxy由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流？与同伴

12、交流.w想一想想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?109.00225.02xxy.1200225.02x:右边的钢缆的表达式为.1200225.02xy.1,20:,其顶点坐标为因此.402020m距离为两条钢缆最低点之间的,轴对称且左右两条钢缆关于yY/m x/m 桥面 -5 0 510109.00225.02xxy.109.00225.02xxy即.109.00225.02xxyw你还有其它方法吗？与同伴交流你还有其它方法吗？与同伴交流.w直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离 109.00225.02xxy.10225.049.0100225.044422abac:44,222得由顶点坐标公式abacab,200225.029.02ab.1,20是这条抛物线的顶点坐标.1,20:,为右边抛物线的顶点坐标同理.402020m距离为两条钢缆最低点之间的Y/m x/m 桥面 -5 0 510109.00225.02xxy.109.00225.02xxy由此可知钢缆的最低点由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是到桥面的距离是1m。