效用、损失和风险

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1、第三章效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk)本章主要参考文献：60 , 56 , 86 , 87 , 92 , 129 , 156 , 169 , 183 , 18431效用的定义和公理系统一、引言为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定一一以概率表示；后果价值待定：以效用度量。1. 无形后果，非数字量（如信誉、威信、出门带伞问题的后果）需以数值度量；2. 即使是数值量（例如货币）表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100 元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这

2、是钱的边缘价值问题。1000元0例二：2500 元上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人认为打赌不如礼品，即0.51000元优于0.5-2500元*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述（表达）后果的实际价值，以便 反映决策的人偏好次序（preference order）的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养， 心理和生理（身体）状态有关。*除风险偏好之外，还时间偏好。i,折扣率 ii,其他而效用（Utility ）就是偏好的量化，是数（实值函数）.Daniel Bernoulli 在1738年指出：若一个人面临从给定行动

3、集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行 动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能 后果的偏好的期望值最高的行动。二、效用的定义1. 符号i, AB(即 APB)读作 A 优于 B : (Prefer(ed) A to B)AB(即ARB) A不劣于BAB(即AIB) A无差别于B (Indifference)ii, 展望(prospect):可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合P=( p , c ;；p , c ;p , c ) 11i in n既考虑各种后果(consequence)又考虑了各种后果的概率(probability

4、or likelihood)分布所有P的集合记作Piii, 抽奖(lottery)与确定当量1.0C2-C11-p若 C1 (p, C2 ; (1 - p), C3 )则称 确定性后果C1为抽奖(3p,C2 ; (1 -p),C3 )的确定当量2. 效用的定义(A)在集合P上的实值函数u ,若p1,七次,p1p 2则称u为效用函数上的优先关系iff u( p )u( p )一致，即三、效用存在性公理理性行为公理Von Neumann-Morenstern, 1994 169,公理1连通性(Connectivity)又称可比性p , p eR 贝p p or p p or p p 1212122

5、1,公理 2 传递性(Transitivity)p , p , p eP,若 p p , p p贝U p p123122313公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)若 p , p , p eP, p p 且 0 ap 则 a p +(1-a) p p p +(1-P) p 121212即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。公理4连续性公理-偏好的有界性若p1p2p3则存在 0a1, 0p1, ap使 a p +(1-a) pp P p +(1-。) p13213由ap +(1-a) pp可知p不是无穷劣，即u(p )-813233由p 。p +(1-。) p可知

6、p不是无穷优，即U( p ) u( p .)ii, u(a, p ; 1-a, p )= au( p ) +(1-a)u( p )iii, 对满足上述条件的u , u必有u (p ) =bu ( p )+c ,其中b, c e R1, b 0121 i2 i则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii. u(a, pi若 p eP ;人i 20 , i=1,2,.m;p , )= au( p ) +(1-a)u( p ) =1；则 u( 人 i pi )=推广到一般,i=1i=1人 i u( pi)四、基数效用与序数效用(Cardinal & Ordinal Utility)基数：实数：1

7、 , 2 , 3,n序数：第一，二，.，4 , 3 , 2 , 1区别：1. 基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布)，是实数;序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数2. 基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, nb+c;其中 b, c e R1, b 0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一)，原序数列可变换为16,9,4,1;或 8,6,4,2,或 10,7,6,1 等.序数效用的存在性公理1. 连通性(可比)2. 传递性3. 对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 3.1)3.2效用函数的构

8、造一、离散型的概率分布后果元素有限各后果效用设定的步骤NM法由公理4:若p p A p ，则可找到0aC3 q ,求a(0a1),使C3 aC2 +(1-a) C贝u( q)=u(a C2+(1-a) C1)= au( C2 )+(1-a)u( q)第三步：若 C4 Y C1,求a(0a1),使 C1 a C2 +(1-a) C4则 u( C1 )=u(a C2+(1-a) C4)=au( C2 )+(1-a)u( C4)u( C4)=a/(a-1)第四步：若 C5A C2,求a(0a C3 C4 C1一、u( C1 )=0, u( C2)=1二、q 0.7 C2+0.3 C1三、C 0.4

9、C +0.6 C 校验 设C0.4 C +0.6 C重复二、三、若u (C3)不变u (C4 )=0.5则通过校验.二、连续型后果集 当C为连续变量时,u（c）是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线8小时/日处效率最高（效用/小时）例2.见讲义P31之例注意：效用的唯一性（在正线性变换下唯一）使效用的值域为整个实轴，而不必限于0,13.3风险与效用一、效用函数包含的内容1. 对风险的态度风险厌恶(Risk Aversion)风险中立(Risk Neutralness)风险追求(Risk Proneness)即有冒险倾向以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)2.

10、对后果的偏好强度钱的边缘价值设某人现有积蓄为0增加800地的作用(价值)与有了 800元后再加1200 元相等，则此人的财富的价值函数是凹函数。若他认为800元(0.5,0； 0.5,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中 立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。3. 效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。二、可测价值函数确定性后果偏好强度的量化定义：在后果空间X上的实值函数v ,对3, x, y,庆X有i, 3xyz 当且仅当 u(3)-u(x)2u(y)-u(z),且ii, v对正线性变换是唯一确定的。则称u为可测价值函数说明：i ,3xyz表示3,x之间偏好

11、强度之差超过y,z之间偏好强度之差，ii,由定义之ii ,可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映DMer的风险态度。iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好 强度.三、相对风险态度设 效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。1. 风险的局部测度1 0 u在x处凹，风险厌恶r(x)=-u”(x)/u(x)= 0 u在x处线性，风险中立0在x处有递减的边缘价值m(x)=-v”(x)/v(x)=0在x处有不变的边缘价值0在x处有递增的边缘价值3. 真正的(相对)风险态度的定义若m(x) 0时u(x)通常是凹的 递减的边缘价值风险

12、厌恶x0与x0的形状不同，负债较多有追求风险的倾向.2. 钱的效用曲线的构成设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等)i, NM 法(见3.2)利用 x a x +(1-a) xii, 修正的NM法利用 x 0.5 x +0.5 x例： 设 u(0)=0),u(1000)=1有 300 0.5+0.5u(300)=0.5又 125 0.5+0.5u(125)=0.25550 0.5+0.5u(550)=0.75由 0 0.5+0.5设 a=-250则 u(-250)=-u(500)=-0.72-250 0.5+0.5原因：i,价值函数是S型ii, 在一定范围内相对风险

13、态度不变iii, 负债到一定程度以上有冒险倾向3.4损失、风险和贝叶斯风险一、损失函数L有些文献采用损失函数进行分析vu(c)=u(0,a)l(e,a) -u(9,a)则损失函数与效用作用相同 为了使损失值非负，可取l(9,a)= Sup Sup u(0,a)-u(0,a)0G0 aeA二、风险函数自然状态集0参数空间行动集 观察值集 决策规则i(e,s(x)f (x ie)dx 或 i(e,s(x)p (x ie)决策空间X-测度空间6:xa , 5 gA , 为策略空间损失 i（e,a）=i（e,s（x） 由于X是随机变量，对给定的e,采用决策规则。时定义风险函数R（e,s）= ex i（e,s（x）三、贝叶斯风险r（n,6）EnR（e,6）含义：e的先验分布为n,决策规则为。时风险函数的期望值叫贝叶斯风险 即：r(n,6)= E兀 R(。,。)i(e,s(x)f (x ie)dx n(e)ae=J JV-03 xgX或 乙乙 i(e,6(x)p (x ie)n(e)0e0 x gX