高一数学必修一函数的单调性与最值

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1、 函数的单调性与最值函数的单调性与最值高一数学组yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-11.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：随x的增大，y的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1)f(x)=x 从左至右图象上升还是下降 _?在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _(2)f(x)=在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 2x函数单调性的定义 1增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的

2、某个区间D内的任意两个自变量 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是增函数12,x x12xx12()()f xf x思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义 减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是减函数12,x x12xx12()()f xf x注意：1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 .12,x x2函数的单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x

3、)的单调区间：例1.如图是定义在区间-5,5 上的函数 ，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？()yf x解：函数 的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中 在区间-5,-2),1,3)上是减函数，在区间-2,1),3,5 上是增函数。()yf x()yf x例2 证明函数 在区间 上是减函数。xxf1)(),0(3判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且 ；作差 ；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 的正负）；判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）1

4、2xx12()()f xf x12()()f xf x 请你归纳利用定义判断函数的单调性的步骤。3判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且 ；作差 ；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 的正负）；判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）12xx12()()f xf x12()()f xf x课本第38页 练习1、2、3、4题 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 判断课本第39

5、页 习题1.3(A组)第1234题例3.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。kpV分析：按题意，只要证明函数 在区间(0,+)上是减函数即可。kpV证明：根据单调性的定义，设 是定义域(0,+)上的任意两个实数，且 ，则12,V V12VV21121212()().VVkkp Vp VkVVVV12,(0,)V V 12,0V V 由 ，得 ；210VV12VV由 ，得 ；所以，函数 是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。,(0,)kpVV12()().p Vp V即：12()()0,p Vp V又

6、 k0，于是函数的最值函数的最值思考思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义吗？最大值的定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的 ，（2）存在那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）.)(,00MxfIx使得MxfIx)(,都有例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？187.149.4)(2ttth 解：作出函数 的图象，显然，

7、函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。2()4.914.718.h ttt 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m。由二次函数的知识，对于函数 我们有：2()4.914.718.h ttt 当 时，函数有最大值14.71.52(4.9)t 24(4.9)18 14.729.4(4.9)h 例4.求函数 在区间 2,6 上的最大值和最小值。21yx课本第38页 练习1、5题 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 判断课本第45页 习题1.3(A组)第34 5 题