(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数

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1、2.3.1 2.3.1 拉氏变换定义拉氏变换定义 对于函数对于函数 满足，满足，（1 1）当当t0t0t0时，时，在每个有限区间上是分段连续的。在每个有限区间上是分段连续的。（2 2）其中其中 是正实数，即是正实数，即 为指数级的；为指数级的；则则 的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作:拉氏变换拉氏变换(Laplace Transfomer)作用：将微分作用：将微分方程转换为代数方程，使求解大大简化，拉氏变换方程转换为代数方程，使求解大大简化，拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系统的传递函数。础上

2、，进一步得到系统的传递函数。06-7-20控制系统系统的动态数学模型22.3 2.3 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换)(tx0)(tx)(tx0)(dtetxt)(tx)(tx06-7-20控制系统系统的动态数学模型30)()()(dtetxtxLsXst 为原函数；为原函数；为象函数。为象函数。)(1 t)(sX2.3.2 2.3.2 简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换1 1 单位阶跃函数单位阶跃函数)(tx0,10,0)(1ttt00111()1()ststLtt edtess 2 2 指数函数指数函数1()atet式中，式中，s s是复变数；是复变数；js)Re(s06-7-20控制

3、系统系统的动态数学模型401()1()atatstL etet edtaseasdtetastas110)(0)(根据欧拉公式：根据欧拉公式：和余弦函数和余弦函数sin1()ttcos1()tt3 3 正弦函数正弦函数sincosjejsincosjejjeejj2sin2cosjjee06-7-20控制系统系统的动态数学模型5sin1()1()2jtjteeLttLtj22111()2 jsjsjscos1()1()2jtjteeLttLt22)11(21ssjsjs4 4 幂函数幂函数1()ntt01001)(dttesnetsdtettLnststnstnn101nstnntLsndte

4、tsntL06-7-20控制系统系统的动态数学模型62.3.3 2.3.3 拉氏变换的性质拉氏变换的性质)()()()(2121sbXsXatbxtxaL1 1 叠加定理（线性定理）叠加定理（线性定理）若若)()(11sXtxL)()(22sXtxL则则2 2 微分定理微分定理 ()()(0)dx tLsX sxdt0nstL1)(1 1n21stL2n32)(1 stL1!nnsntL06-7-20控制系统系统的动态数学模型7推论：推论：12()()(0)(0)nnnnndLx ts X ssxsxdt(2)(1)(0)(0)nns xx)0()0()()(222xsxsXsdttxdL二阶

5、导数的拉氏变换二阶导数的拉氏变换（2 2）在零初始条件下）在零初始条件下 )()(sXstxdtdLnnn3 3 积分定理积分定理 1()(0)()X sxLxt dtss式中式中dttxtx)()(106-7-20控制系统系统的动态数学模型8推论：推论：（1）121()(0)(0)()()nnnnX sxxLx t dtsss(1)2(0)(0)nnxxss（2 2）在零初始条件）在零初始条件下下 nnssXdttxL)()(4 4 衰减定理衰减定理 )()(asXtxeLat5 5 延时定理延时定理 ()1()()asL x tataeX s(时域中的延时定理时域中的延时定理)(复域中的延

6、时定理复域中的延时定理)06-7-20控制系统系统的动态数学模型9tx(t)x(t)ta例例1 1：求如下图函数的拉氏变换。：求如下图函数的拉氏变换。120()()()1()1()f tf tf tEtEtt00()(1)t st sEEELfteessstttf(t)0t0t=EEE)(1tf)(2tf+06-7-20控制系统系统的动态数学模型10例例2 2：单位脉冲函数的数学表达式可以表示为：单位脉冲函数的数学表达式可以表示为：t0 0 t0 1)(0000lim0tttttt及01t00ttix解：解：试求其象函数。试求其象函数。)t-1(t-1(t)t1lim t)t-1(t-t1(t

7、)lim)(000000000tttes1-s1 t1lim t)t-1(t-t1(t)lim)(000t-000000stttL1 )-)(t!21t-(1-1 t1lim200000ssst注意：指数函数的展开注意：指数函数的展开nxxnxxe!1!2112x06-7-20控制系统系统的动态数学模型117 7 终值定理终值定理 )(lim)(lim0ssXtxst8 8 时间比例尺改变的象函数时间比例尺改变的象函数 )()(asaXatxL9 9 的象函数的象函数 )(ttxdssdXttxL)()(注意注意:运用终值定理的前提运用终值定理的前提 是存在的。是存在的。)(limtxt6 6

8、 初值定理初值定理 0lim()lim()tsx tsXs 例例3 3：求：求 的拉氏变换。的拉氏变换。()1()Lfatbatb()1()()1()bbL f atbatbL f a ta taa1()bsasFeaa解：解：06-7-20控制系统系统的动态数学模型1212 12 卷积分的象函数卷积分的象函数 )()()()(sYsXtytxLtdytxtytx0)()()()()()(tytx的的卷积分的数学表示为：卷积分的数学表示为：ttxtydtyxtytx0)()()()()()(11 11 周期函数的象函数周期函数的象函数 )()(txTtxdtetxetxLstTsT0)(11)

9、(10 10 的拉氏变换的拉氏变换 ttx)(dssXttxLs)()(06-7-20控制系统系统的动态数学模型132.3.4 2.3.4 拉氏反变换拉氏反变换jajastdsesXjtx)(21)()()(1sXLtx简写为：简写为：例例4 4 求求52)(2ssssX拉氏反变换。拉氏反变换。22222)1(14)1(52)(ssssssssX解：解：22122(1)2s11()()(cos 2sin 2)1()2tx tLX settt拉氏反变换拉氏反变换定义：定义：06-7-20控制系统系统的动态数学模型14)()()()(1111110mnasasasbsbsbsbsAsBsXnnnn

10、mmmm 一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：1.1.只含不同单极点的情况只含不同单极点的情况)()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsX 0)(sB得零点：得零点：mzzz,21nnpsapsapsa 2211kpskkpssAsBa)()()(是是ka)(sX在在kps点的留数。点的留数。0)(sA得极点：得极点：nppp,2106-7-20控制系统系统的动态数学模型15例例5 5 试求试求233)(2ssssX拉氏反变换。拉氏反变换。21233)(212sasassssX解：解：11()(1)2saXss

11、 22()(2)1saX ss 2()(2)1()ttx teet06-7-20控制系统系统的动态数学模型16jsjsjsjssAsBasa)()()(212.2.含有共扼复数极点时含有共扼复数极点时)()()()(1111110mnasasasbsbsbsbsAsBsXnnnnmmmm )()()(31110nmmmmpspsjsjsbsbsbsb (220)nnpsapsajsjsasa3321)(令（令（2 22121）式两边实部与虚部分别相等，即可求得）式两边实部与虚部分别相等，即可求得 和和js133psjs2nnps(221)1a2a3ana至与单极点的算法一样。与单极点的算法一样

12、。06-7-20控制系统系统的动态数学模型17例例 6 6 试求试求sssssX231)(拉氏反变换拉氏反变换 。解：解：sassasasssssX32212311)(03s23212123212)1)(jsjsasasssXdcssasa221可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其拉氏反变换然后求其拉氏反变换。的极点的极点()X s23212,1js13121322221sjsjsa sas 06-7-20控制系统系统的动态数学模型1832222133()111232()113()()22sssX sssssssss222213()31223

13、1313()()()()2222ssss则：则：12333()(sincos)11()322tx tettt 11a02a30()1saX s s令两边实部与虚部分别相等，得：令两边实部与虚部分别相等，得：121313()2222jaja06-7-20控制系统系统的动态数学模型19含有共扼复数根时，也可直接采用第一种不同极点的情况，含有共扼复数根时，也可直接采用第一种不同极点的情况，注意此时的注意此时的 和和 是共扼复数，只需求出一个即可。是共扼复数，只需求出一个即可。ka1ka解：解：sajsajsasssssX32123232123211)(113221313()()2226sjaX ss

14、jj 显然：显然：63212ja30()1saX s s例例7 7 求求sssssX231)(拉氏反变换拉氏反变换06-7-20控制系统系统的动态数学模型20sjsjjsjsssssX123216321232163211)(231313()()22221313()()()11()2626jtjtxtjejet 12333(sincos)11()322tettt 此处，应用欧拉公式：此处，应用欧拉公式：sincosjej06-7-20控制系统系统的动态数学模型213.3.含有多重极点时含有多重极点时)()()()()()()(111111111nnrrjrjrrrrrpsapsapsapsaps

15、apsasX 1)()()(1psrrpssAsBa1)()()(11psrrpssAsBdsda1)()()(!11psrjjjrpssAsBdsdja1)()()()!1(11111psrrrpssAsBdsdra其余各极点的留数确定方法与上同。其余各极点的留数确定方法与上同。例例8 8 试求试求32)1(32)(ssssX拉氏反变换拉氏反变换根据拉氏反变换根据拉氏反变换111111()()(1)!kp tktLetspk1p是是r重极点重极点假设假设06-7-20控制系统系统的动态数学模型22解：解：1)1()1()1(32)(1223332sasasassssX2)1()1(32133

16、23sssssa022)1()1(32113322sssssssdsda12!21)1()1(32!2111332221ssssssdsda11)1(2)1(32)(332ssssssX2()()1()ttx tt eet06-7-20控制系统系统的动态数学模型232.3.5 2.3.5 用拉氏变换解常系数线性微分方程用拉氏变换解常系数线性微分方程例例9 9 解方程解方程6)(6)(5)(tytyty其中，其中，2)0(y2)0(y解：解：方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换ssYyssYysysYs6)(6)0()(5)0()0()(234251)3)(2(6122)(2sssssssssY

17、23()(154)1()tty teet06-7-20控制系统系统的动态数学模型24作作 业业习题 P672-12-1（3 3）、（）、（4 4）、（）、（5 5）、（）、（8 8）2-22-2（5 5）、（）、（6 6）2-32-3（1 1）2-52-506-7-20控制系统系统的动态数学模型252.4 2.4 传递函数及典型环节传递函数传递函数及典型环节传递函数传递函数传递函数(Transfer Function,TF)的定义：的定义：在零初始在零初始条件下，线性定常系统的输出象函数与输入象函数之比。条件下，线性定常系统的输出象函数与输入象函数之比。通常通常,线性定常系统的微分方程为：线性

18、定常系统的微分方程为：)()()(sXsXsGio)()()()(1)1(1)(0txatxatxatxaononnono)()()()(1)1(1)(0txbtxbtxbtxbimimmimi则在零初始条件下，系统传递函数：则在零初始条件下，系统传递函数：nnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG 11101110)()()(06-7-20控制系统系统的动态数学模型262.4.1 2.4.1 传递函数的性质传递函数的性质G G(s s)(sXi)(sXoG(s)G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关

19、。（幅度与大小）无关。传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mnmn，且具有，且具有复变量函数的所有性质。复变量函数的所有性质。性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3G(s)G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。相同的传递函数。06-7-20控制系统系统的动态数学模型27)()()(sXsXsGio如果将如果将dsdt置换置换 微分方程传递函数如果如果G(s)G(s)已知，那么可以研

20、究系统在各种输入信号作用已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。下的输出响应。性质性质4 4如果系统的如果系统的G(s)G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)G(s)可以给出可以给出该系统动态特性的完整描述。该系统动态特性的完整描述。性质性质5 5传递函数与微分方程之间有关系：传递函数与微分方程之间有关系：性质性质6 606-7-20控制系统系统的动态数学模型281)()(tLsXi111()()()()()oig tL X sL G s X sL G s*11(

21、)()()()()miinjjs zB sG sKAss p),2,1(mi izjp),2,1(nj 为传递函数的零点为传递函数的零点 为传递函数的极点为传递函数的极点v极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。运动的模态。性质性质7 7传递函数传递函数G(s)G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应g(t)g(t)。脉冲响应。脉冲响应（脉冲过渡函数）（脉冲过渡函数）g(t)g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出是系统在单位脉冲输入时的输出响应。响应。2.4.2 2.4.2 传递函数的极点和零点对输出的影响传递函

22、数的极点和零点对输出的影响()()ix tt单位脉冲函数单位脉冲函数06-7-20控制系统系统的动态数学模型29v零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大。比重越大。v零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小。比重越小。v如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。分子分母相互抵消。-0 0.5 5-1 1.3 33 3-1 1-2 2z z1 1z z2 206-7-20控制系统系统的动态数学模型302.4.32.4.3典型

23、环节传递函数典型环节传递函数1 1 比例环节比例环节ksG)(式中式中 K K-增益增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：实例：P36P36图图2 21010所示的运算放大器，图所示的运算放大器，图2 211 11齿轮传动副，齿轮传动副，电阻电阻(电位器电位器)，感应式变送器等。，感应式变送器等。)()(tkxtxio在时间域内，输入输出量成比例在时间域内，输入输出量成比例11)(TssG2 2 一阶惯性环节一阶惯性环节在时间域内，输入输出函数可表在时间域内，输入输出函数可表示为一阶微分方程示为一阶微分方程)()()(0txtxtxTio

24、（T T为时间常数）为时间常数）06-7-20控制系统系统的动态数学模型31 式中式中 T T-时间常数时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能其输出不能立即复现输入，输出无振荡。立即复现输入，输出无振荡。实例：实例：P37P37图图2-122-12所示的所示的RCRC网络，图网络，图2-132-13所示的弹所示的弹簧阻尼系统的传递函数也包含这一环节。簧阻尼系统的传递函数也包含这一环节。06-7-20控制系统系统的动态数学模型32()G sks特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的

25、变化趋势。化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。分环节。3 3 微分环节微分环节理想微分环节理想微分环节（1 1）（2 2）近似微分环节近似微分环节()1kTsG sTsP38图图2-15所示无源微分网络。所示无源微分网络。理想微分环节物理上难以实现，电路中常遇到下述的近似微理想微分环节物理上难以实现，电路中常遇到下述的近似微分环节。分环节。06-7-20控制系统系统的动态数学模型334 4 积分环节积分环节特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出

26、具有记忆功能。具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。积分器等。sksG)(dttxktxio)()(在时间域内，输出正比于输入的积分在时间域内，输出正比于输入的积分1212)(22222TssTsssGnnn)10(nT15 5 二阶振荡环节二阶振荡环节06-7-20控制系统系统的动态数学模型34n式中式中 阻尼比阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现

27、振荡。输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数电路的输出与输入电压间的传递函数,质量弹簧质量弹簧阻尼系统等。阻尼系统等。在时间域内，输出函数是二阶微分方程在时间域内，输出函数是二阶微分方程)()()(2)(2txtxtxTtxTiooo)()(txtxiosesG)(6 6 纯时间延时环节纯时间延时环节06-7-20控制系统系统的动态数学模型35式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔。固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。模型就包含有延迟环节。06-7-20控制系统系统的动态数学模型36作作 业业习题 P672-92-9（b b）、（）、（c c）2-132-1337 结束语结束语