数学思维的开拓性论述

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1、第四讲 数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一种问题能从多方面考虑；对一种对象能从多种角度观测；对一种题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一种有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖所有内容，使之融会贯穿”，这里所说的横向联系，重要是靠一题多解来完毕的。通过用不同的措施解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的爱好和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和发明能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最故意

2、义的简捷解法。数学思维的开拓性重要体目前：(1) 一题的多种解法例如 已知复数满足，求的最大值。我们可以考虑用下面几种措施来解决：运用复数的代数形式；运用复数的三角形式；运用复数的几何意义；运用复数模的性质（三角不等式）；运用复数的模与共轭复数的关系；（数形结合）运用复数方程表达的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。(2) 一题的多种解释例如，函数式可以有如下几种解释：可以当作自由落体公式可以当作动能公式可以当作热量公式又如“1”这个数字，它可以根据具体状况变成多种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：，等等。1 思维训练实例例1 已知求证：分析1 用比较法。本题只要证为了同步运用两

3、个已知条件，只需要观测到两式相加等于2便不难解决。证法1 因此 分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出对的的结论。从而证明原结论对的。分析法其本质就是寻找命题成立的充足条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法2 要证 只需证 xMyd图421O即 由于 因此只需证 即 由于最后的不等式成立，且步步可逆。因此原不等式成立。分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（重要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的措施）证法3 即 分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角

4、关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的也许，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来以便。证法4 可设 分析5 数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法5 （如图4-2-1）由于直线通过圆的圆心O，因此圆上任意一点到直线的距离都不不小于或等于圆半径1，即 简评 五种证法都是具有代表性的基本措施，也都是应当掌握的重要措施。除了证法4、证法5的措施有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好措施。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要合适进行选择。例2 如果求证：成等差数列。分析1 要证，必须有成立才行

5、。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法1 故 ，即 成等差数列。分析2 由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充足运用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法2 设则于是，已知条件可化为：因此成等差数列。分析3 已知条件呈现二次方程鉴别式的构造特点引人注目，提供了构造一种适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法3 当时，由已知条件知即成等差数列。当时，有关的一元二次方程：其鉴别式故方程有等根，显然1为方程的一种根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知 即 成等差数列。简评：证法1是常用措施，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简朴明了，是最佳

6、的解法，其换元的技巧有较大的参照价值。证法3引入辅助方程的措施，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例3 已知，求的最小值。分析1 虽然所求函数的构造式具有两个字母，但已知条件恰有的关系式，可用代入法消掉一种字母，从而转换为一般的二次函数求最值问题。解法1 设，则二次项系数为故有最小值。当时， 的最小值为分析2 已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2 即即 当且仅当时取等号。 的最小值为分析3 配措施是解决求最值问题的一种常用手段，运用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法3 设 当时，即的最小值

7、为11Oxy图422分析4 由于已知条件和所求函数式都具有解析几何常用方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法4 如图422，表达直线表达原点到直线上的点的距离的平方。显然其中以原点到直线的距离最短。此时，即因此的最小值为注 如果设则问题还可转化为直线与圆有交点时，半径的最小值。简评 几种解法均有特点和代表性。解法1是基本措施，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与有关知识联系起来，因此具有机灵简捷的长处，特别是解法4，形象直观，值得效仿。例4 设求证：分析1 由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的也许，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以

8、探求证题途径。证法1 设当时，可得与条件不合。于是有 该方程有一对共轭虚根，设为，于是又由韦达定理知 分析2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，运用这一关系可以建立复数方程，注意到这一重要性质，即可求出的值。证法2 设当时，可得与条件不合，则有 ，即 但 而 即分析3 由于实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证法3 即从而必有简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也可以证明，它是解决复数问题的基本措施。但这些措施一般运算量大，较繁。目前的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路

9、都建立在方程的观点上，这是需要体会的核心之处。证法3运用倒数的变换，十分巧妙是最佳的措施。例5 由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的某些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1 如图423，设弦的中点的坐标为，连接，则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有整顿，得 其中图423PMBAOyx分析2 （定义法）根据题设条件，判断并拟定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法2 由于是的中点，因此，因此点的轨迹是觉得直径的圆，圆心为,半

10、径为该圆的方程为：化简，得 其中分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。由于动点可看作直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.且过原点，的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中分析4 （参数法）将动点坐标表达到某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，因此动点的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法4 设过点的割线方程为：它与圆的两个交点为，的中点为.解方程组 运用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：其中分析5 （代点法）根据曲线和方程的相应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来，又点构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法5 设则两式相减，整顿，得 因此 即为的斜率，而对斜率又可表达为化简并整顿，得 其中简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本措施。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5合用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，值得注重。对于解法5一般运用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。