04第四讲抽像型函数(答案)

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1、04 第四讲抽象函数的类型与解法（答案）题型一 正比例函数型的抽象函数1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域；分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同步成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，阐明理由.分析：先猜出f（x）2

2、x；再用数学归纳法证明.3已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1） 求证：f（1）f（1）0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.题型四 对数函数型的抽象函数1设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） 求f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范畴.分析：（1）运用313；（2）运用函数的单调

3、性和已知关系式.2设函数y f（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）与否对的，试阐明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.3设f(x)是定义在（0，+）上的增函数，且对任意的x,y（0，+），均有f(xy)=f(x)+f(y)。（1）求证：当x（1，+）时，f(x)0；且f()=f(x)-f(y).（2）若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)2.分析：由f(xy)=f(x)+(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，因此f(1)=0，由题意条件，f(

4、x)为增函数，据此不难求解。解：（1）令x=y=1，则由f(xy)=f(x)+f(y)得f(11)=f(1)+f(1).即f(1)=2f(1)，f(1)=0，又由于函数f(x)在（0，+）上为增函数，因此对任意x（1，+），有f(x)f(1)=0，故f(x)0.设x,y（0，+），则有 （0，+），于是f(x)=f(y) = f( ) + f(y)，即f()=f(x)-f(y).（2）由于f(2)=1，因此f=f(2)+f(2)=f(22)=f(4)，由f(x+2)-f(2x)2，f(x+2)f(2x)+f(4)， f(x+2)f(8x)，又由于函数f(x)在（0，+）上为增函数，因此x+28

5、x，因x（0，+），因此 0x .4已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解 （1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0,因此f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),因此函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,因此f

6、(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或x-9.5已知函数是定义在（0，+）上的减函数，且满足f（xy）f（x）f（y），；（1）求；（2）若，求x的取值范畴；解：（1）令，则；（2），由为在（0，+）上的减函数，得。6已知f(x)在定义域（0，+）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)2.解 根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(x)+f(x-8)=fx(x-8),故fx(x-8)f(9).f（x）在定义

7、域（0,+）上为增函数，解得8x9.7已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：（1） 当x0时，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是减函数.分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；(2)受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.题型五 三角函数型的抽象函数1已知函数f(x),g(x)在R上有定义，且f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，若 f(1)=f(2)0，求g(1)+g(-1)的值。分析：由于f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)

8、的构造非常类似于两角差的正弦公式，而正弦函数为奇函数，因此本题只要证明f(x)为奇函数便可迎刃而解。解：设x,s,tR，且x=s-t,由于f(-x)=f(t-x)=f(t)g(s)-f(s)g(t)=-f(s)g(t)-f(t)g(s)=-f(s-t)=-f(x)，因此f(x)为奇函数。于是有f(2)=ff1-(-1)=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)=f(1)g(-1)+f(1)g(1)=f(1)g(-1)+g(1)，由于f(1)=f(2)0，故上式变形得g(-1)+g(1)=1.2已知函数f(x)满足f(x+1)= ，且f(2)=，求f()的值。分析：由f(x+1)= 的形式，不难联

9、想到正切函数，如tan(x+)= ，而此函数是以T=4=为周期，因此不难猜想f(x)=tanx,其周期为4，故本题最核心是求出f(x)的周期。解：由于f(x+2)=f(x+1)+1= = - 因此f(x+4)=f(x+2)+2=- =f(x)f(x)是以4为周期的周期函数，于是f()=f(2)=().3已知函数f（x）的定义域有关原点对称，且满足如下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定义域中的一种数）； 当0x2a时，f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？阐明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？阐明理由.分析：（1）运用

10、f （x1x2） f （x1x2），鉴定f（x）是奇函数；(2)先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.4已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；（）若函数存在反函数，求证：解说：（）在中，令，则有即：也即：由于函数的值域为，因此，因此（）函数的单调性必然波及到，于是，由已知，我们可以联想到：与否有？（）这个问题事实上是：与否成立？为此，我们一方面考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，因此，在中，令，得因此，函数为奇函数故（）式成立因此，任取，且，则，故且因此

11、，因此，函数在R上单调递减（）由于函数在R上单调递减，因此，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在（）式的两端，同步用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一相应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的措施化简求证式的左端事实上，由于，因此，因此，题型六 综合类型1（1）函数，若对于任意实数，均有，求证：为奇函数；（2）函数，若对于任意实数，均有，且；求证：；求证：为偶函数；（3）设函数定义在上，证明+是偶函数，-是奇函数；2已知f(x

12、)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2，求f(2 004). （1）证明 f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=ff(x+3)=ff(x+6)=ff(x)是周期函数且6是它的一种周期.(2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.3设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象有关直线x=1对称，对任意x1、x20，均有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f(1)=a0.（1）求f()及f()（2）证明：f（x）是周期

13、函数；（3）记an=f(2n+，求an.（1）解 对x1、x2，均有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x）=f(0，x0，1.f（1）=f( f(. f(1)=a0, f(（2）证明 y=f（x）的图象有关直线x=1对称，f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xR.又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），xR，f（-x）=f（2-x），xR.将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），xR.这表白f（x）是R上的周期函数，且2是它的一种周期.（3）解 由（1）知f（x）0，x0，1.f(=f(=f(f(又f(f（x）的一种周期是2，an=f(2n+)=f()

14、,an=a.4设函数f(x)在（-,+)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f（x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论.解 （1）由从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0.故函数y=f（x)是非奇非偶函数.（2）由（1）知y=f(x)的周期为10.又f（3）=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在0，10和-10，0上均有两个解，从而可知函数y=

15、f(x)在0，2 005上有402个解，在-2 005，0上有400个解，因此函数y=f(x)在-2 005，2 005上有802个解.5已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应当用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1; 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。6（北京高考题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：（）求的值；（）判断的奇偶性，并证明你的结论；（）若，求数列的前项的和答案与提示： 2（）；（）奇函数；（）