非平稳信号分析的技术现状与方法研究

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除格式No12D型号: 密别: 标记: 版次: 非平稳信号分析的技术现状与方法研究 AXXX-1105-10 共 42 页北 京 航 空 航 天 大 学2010年 03月【精品文档】第 33 页编 制单颖春会 签会 签校 对郜普刚审 查何田审 定林意洲标 审何田批 准郜普刚同 意审签意见： 发放清单： 工作（计划）代码： 主题词： 序 号更 改 单 号更 改 标 记更 改 页 码签 名日 期目 次前 言1第一章 故障信号的非平稳性2第二章 非平稳信号常用的处理方法42.1 非平稳信号的处理方法42.1.1 分段或选段傅里叶变换52.1.2 加Han

2、ning窗转速跟踪分析52.1.3 短时傅立叶变换52.1.4 小波变换62.2 Wigner-Ville分布72.3 奇异值分解方法82.3.1 基于奇异值分解的故障诊断技术现状92.3.2 提取突变信息的奇异值分解方法102.3.3 提取突变信息的改进奇异值分解方法112.3.4 模拟信号提取结果及与改进前的比较142.4 局部均值分解162.5 数学形态学192.6 分数Fourier变换232.6.1 Fourier变换简介232.6.2分数阶Fourier变换的应用24第三章 常用非平稳信号处理方法的比较263.1 Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换的比较263.2

3、 小波变换与奇异值分解方法的比较273.3 奇异值技术与改进奇异值技术之间的比较313.3.1 J103型模型试验器动静件较重碰摩振动信号333.3.2 柔性转子实验台动静件碰摩振动信号353.4 EMD方法与LMD方法的比较37第四章 结论39前 言本报告主要是研究非平稳信号的特性及其在发动机典型故障诊断中的应用特点，从而对不同故障的引起的非平稳性信号处理方法进行选择，并加以改进，达到应用于工程实际的目的。第一章 故障信号的非平稳性 设备或工程系统在运行中产生的各种信息、被诊断结构系统在激励作用下产生的各种信息，由传感器变换为信号输出。信号中包含有丰富的用来作为故障诊断依据的各种特性参数，同

4、时还伴随着各种各样的噪声，并多半以随机的形式出现。因此为了对系统进行故障诊断，就需要从这些信号中提取出诊断所需的特性参数和确定它的特性曲线。由于设备或系统在运行过程中产生的各种信息的特性不同，形成了各种不同的诊断技术，每种诊断技术所需要的是与它本身的自然规律相符合的特性参数，所以故障诊断中的信号处理技术可分为温度的信号处理、光学的信号处理、振动的信号处理、声的信号处理和其它的信号处理。其中振动信号处理是最复杂的，包括幅值域分析、时域分析、频域分析和时频域分析，本文研究的特征提取方法都是基于振动信号处理。根据信号发生过程的特性，信号可分为确定性信号和随机信号。确定性信号可以准确地用一个确定性的时

5、间函数来描述，并可以准确地加以重现。而随机信号不能用确定性的时间函数来描述，也不能准确地加以重现。详细分类和相应的信号处理方法如表1.1所示。随机信号可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。所谓非平稳随机信号亦即其统计特性是时间的函数。在以设备振动信号为状态参量的设备运行状态检测与故障诊断中，因为设备运行转速的不稳定、载荷的变化以及设备故障产生的冲击、摩擦，导致非平稳与非线性振动的产生。严格地说，许多实际信号都是属于非平稳随机信号，基于平稳过程与线性过程的传统信号处理理论难以发挥作用，这种情况下就需要能处理非平稳与非线性信号的时频分析方法。但是由于受理论条件的限制，在80年代以前，人们对于信号进

6、行分析仅仅局限于平稳的情况，进入80年代以后，随着时频分析理论与应用的发展，对于非平稳随机信号分析与处理的研究逐渐受到人们的广泛关注，并日益发展起来。振动信号分析作为了解设备运行状态和进行故障诊断的最主要途径，它的主要目标是要寻找一种简单有效的信号变换方法，使得信号所包含的重要信息显示出来，最终达到提取有效信号特征的目的。根据信号发生过程的特性，人们把信号划分为平稳性信号和非平稳性信号。非平稳信号是指信号的时频域统计特性与时间有关，即为时间的函数。航空设备中的振动信号存在着大量的非平稳性，具体表现在： （1）设备在运行过程中的多发故障，如剥落、摩擦、松动、爬行、冲击、裂纹、断裂、喘振、旋转失速

7、、油膜涡动及油膜振荡等，当故障发生或发展时将导致信号的非平稳性的出现，因此非平稳性可以表征某些故障的存在。 （2）工矿企业中有许多运行状态非平稳的设备，它们在运行过程中的转速、功率、负载都往往是变化的，如发电机组、往复机械、破碎机等。 （3）一些设备在运行中的阻尼、刚度、弹性力、驱动力的非线性及动态响应的非线性，反映在动态信号上具有非平稳性。种种情况表明，工程中获得的动态信号，它们的平稳性是相对的、局部的，而非平稳性是绝对的，广泛的。针对信号的非平稳特性，人们研究了多种方法来提取其特征。目前，故障诊断中的非平稳信号处理方法大致有短时傅立叶变换（STFT）二次型时频分布，Hilbert-Huan

8、g变换和小波分析、局部均值分解、奇异值分解技术等。第二章 非平稳信号常用的处理方法信号分析是了解设备运行状态和进行故障诊断的重要手段，它的主要目标是要寻找一种简单有效的信号变换方法，使得信号所包含的重要信息显示出来，最终达到提取有效信号特征的目的。分析信号并提取特征是整个故障诊断系统中最关键的步骤，提取特征的优劣将直接影响到故障诊断的好坏。同时特征提取也是故障诊断技术中的最大的难点。航空发动机等设备系统在故障状态下的振动信号中可能包含冲击等非平稳信号，因此对这种非平稳信号的检测和分析对于其诊断有着十分重要的意义。迄今，用于分析信号的最为普遍和最为成熟的方法是Fourier变换。遗憾的是Four

9、ier变换是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，不能对信号同时进行时间频率局域性分析，对非平稳信号的分析能力有限，不能很好地揭示非平稳信号的信息。针对Fourier变换的局限性，人们提出了多种改进的方法，如短时Fourier变换、Gabor变换、时频分析和Randon-Wigner变换等，其中比较有成效的方法有短时Fourier变换和Randon-Wigner变换、S变换、HHT变换和LMD变换、FrFT，以及一些Hurst指数、最大利亚普诺夫指数、分形维数等分析指标。另外，对于非平稳数据的处理，还有例如神经网络、粗糙集等基于知识的处理方法等。在本文中，主要详述基于时频分析的非平稳

10、信号处理方法。2.1 非平稳信号的处理方法平稳信号多基于Fourier的处理方法。基于Fourier 变换的传统信号处理方法只能分析信号的统计平均结果, 无法处理非平稳信号。工程振动信号中存在大量的非平稳动态信号, 如旋转机械的升降速过程, 机械设备运行过程中的摩擦、基座松动、不对中、裂纹、旋转失速、油膜涡动和油膜振荡等故障, 其振动信号都表现出非平稳性, 这些非平稳性能够表征故障的某些特征。因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关, 对非平稳信号的处理需进行时频分析, 希望得到时域和频域中非平稳信号的全貌和局部化结果。工程振动信号中非平稳信号处理方法大致有下面五种：分段傅里叶变换、加Hanni

11、ng 窗转速跟踪分析、短时傅立叶变换、Wigner-Ville 分布、小波分析和Hilbert-Huang 变换。2.1.1 分段或选段傅里叶变换虽然自然界中存在的信号没有严格的平稳信号，但是对于较短时间范围内来说，有时按平稳信号来处理也能够接受。如果在监测过程中设备经历了比较复杂的工况，那么可以将数据分段进行傅里叶变换或者选取感兴趣的小段数据进行分析。目前进行的频谱分析大多是这种情况。基于傅里叶变换的信号分析方法有幅值谱、相位谱、全息谱、功率谱等等，详细可参见航空发动机整机故障诊断技术研究。2.1.2 加Hanning 窗转速跟踪分析在进行旋转机械的升降速过程或动平衡分析时, 转速跟踪分析方

12、法是精确分析振动谐波信号幅值和相位的一种应用广泛的信号处理方法。各种机械设备的传动轴系和汽车或船舶发动机, 会因机械、动力和负荷等方面的原因发生短暂或持续的转矩波动或振荡。由于发动机等设备的扭转振动中存在较大幅值的低频滚振等非周期信号, 这种信号是由径向振动对扭转振动的影响而产生的低频干扰信号, 其幅值和频率都是变化的, 且振幅较大。直接采用传统转速跟踪分析方法分析这种信号, 所分析第一谐次的频率成分非常靠近低频干扰的滚振频率成分, 产生主瓣干涉现象, 造成较大的幅值分析误差；由于不能加窗, 其余各谐次幅值也会因受到旁瓣干涉而产生较大误差。丁康等提出了将一次采样样本所包含的整周期数扩大一倍、加

13、Hanning窗进行转速跟踪分析的方法, 消除了低频滚振对扭振信号分析的影响, 大大提高了升降速过程扭振各谐次幅值分析精度。这种方法既能在试验台上测试分析发动机的扭振特性, 也能测试设备运行或加速过程中的扭振特性。2.1.3 短时傅立叶变换由于Fourier变换不能表述信号的时频局域性质，1946年Gabor引入了短时Fourier变换。其基本思想是把信号划分为许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。短时Fourier变换的表达式为： (2-1)式中，一般称为窗口函数，它在时域是紧支的。在变换过程中，起着时限的作用，是起着频限的作用。随着的不断变

14、化，由所确定的窗口在时间轴上移动，使信号逐步进入被分析的状态，因此，短时Fourier变换反映了信号在时刻为、频率为的分量的相对含量。信号在窗函数上的展开就可以表示为在、 这一区域的状态。这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示时频分析中的分辨率，窗口越小则分辨率越高。因此，短时Fourier变换具有时频分析的能力，在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部分析的能力。由海森堡测不准原理可知，是相互制约的，即，两者不可能同时小，所以短时Fourier变换也存在着自身不可克服的缺陷。这是因为当窗函数确定后，矩阵窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。

15、短时Fourier变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。因此，短时Fourier变换分析在窗口下平稳的准平稳信号尤可，对于非平稳信号的处理效果不好。2.1.4 小波变换小波变换是Fourier变换思想的发展与延拓。先定义小波函数：设，若其Fourier变换满足条件： (2-2)则称为一个基本小波或小波母函数。将小波母函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子(尺度因子)为a，频移因子为，令其平移伸缩后的函数为，则有：， (2-3)就称为依赖于参数a，的小波基函数。将任意空间中的函数在小波基下进行展开，称这种展开为函数的连续小波变换，其表达式如下： (2-4)由连续小波变

16、换的定义可知，小波变换同Fourier变换、短时Fourier变换一样，都是一种积分变换。但由于小波基具有尺度、平移两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。因此小波变换是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，被誉为数学显微镜。小波变换对信号的这种时频综合分析能力确立了它在故障领域中的重要地位，有人预言，小波变换有可能取代传统的Fourier变换而在信号处理方法中成为主流。2.2 Wigner-Vi

17、lle 分布1932 年，Wigner 提出了Wigner 分布，最初应用于量子力学的研究。1948 年，由Ville 将其引入信号分析领域。1970 年，Mark提出Wigner-Ville分布中最主要的缺陷交叉干扰项的存在。1980 年，Claasen和Meck lenbraker 联合发表的论文中详细论述了Wigner-Ville 分布的概念、定义、性质以及数值计算等问题。信号s(t)的Wigner 分布定义为： (2-5)Wigner-Ville 分布是分析非平稳时变信号的重要工具，在一定程度上解决了短时Fourier 变换存在的问题。Wigner-Ville 分布的重要特点之一是具有

18、明确的物理意义，它可被看作信号能量在时域和频域中的分布。但是Wigner-Ville 分布还存在一些问题，根据卷积定理，多分量信号的Wigner-Ville分布会出现交叉项，这是Wigner分布应用中的主要困难。交叉项通常是振荡的，而且幅度可以达到自项的两倍，造成信号的时频特征模糊不清。因此如何有效抑制交叉项，对时频分析非常重要。对多分量信号的干扰项虽是无法避免的，但国内外学者已经研究了多种可抑制或削弱它们的方法，主要有：预滤波法、多分量分离法与辅助函数法，并且都采用解析信号以消除由负频率成分产生的交叉干扰项。当信号含有较多的频率成分或其频率成分靠得较近时，Wigner-Ville 分布所产生

19、的交叉干扰项问题仍然没有得到很好的解决，解决此问题能够促进它在工程中更广泛的应用。2.3 奇异值分解方法无论在实际中还是在理论上，奇异值分解都是信号处理和识别问题的主要工具。设是一个维实矩阵，它的奇异值分解是指存在矩阵、和，以及矩阵，使得 (2-6)式中，称为矩阵的奇异值。矩阵的秩为，且。分别称为矩阵的左、右奇异矩阵。并且它们的列向量、分别构成了矩阵的列空间和行空间上的标准正交基。 设有维实矩阵和，则它们的差的范数定义为 (2-7)对于维矩阵可以找到一个同样维数且秩为的矩阵，使得它们差的范数最小，具体的寻找过程由下列定理给出。 定理：在范数意义下能最佳逼近维矩阵的唯一维，且秩为的矩阵由下式给出

20、： (2-8)其中，矩阵如(4-1)式所示，是通过在内将除个最大的奇异值以外的所有其他奇异值取零后得到的维矩阵。这一最佳逼近的质量由 (2-9)描述。对于故障诊断来说，假设具有某故障的机械系统测试信号为数值序列：，。矩阵主要可以利用以下两种方法得到。一是任取一正整数M(M2)，将序列x(n)按等长度M个点连续截取K段依次作为矩阵A的K行(K尽可能取一个大整数)，即可构造矩阵A： (2-10)二是利用时间序列吸引子重构的方法得到： (2-11)对于突变信息提取而言，方法二需要的原始数据长度相对较小，而且它保证了矩阵每行起点的误差总是小于半个采样间隔，避免了误差积累，因此应用较多。但它的缺点是对延

21、迟 (本文默认)有较为严格的要求。2.3.1 基于奇异值分解的故障诊断技术现状奇异值分解方法自从出现以来，由于它具有稳定性好等优点，现在，己经是数值线性代数的最有用和最有效的工具之一。在故障诊断领域中的应用也较为广泛，例如周期性、降噪(降维)、突变信息提取等。奇异值分解方法在解决控制系统的故障诊断问题，也是基于冗余分析思想的，比较有代表性的几个应用有：Chow提出的奇偶空间思想和Jie Chen提出的鲁棒故障诊断思想。这两种方法的一个共同数学基础是奇异值分解产生的零空间定理。在机械故障诊断领域，比较有代表性的工作主要有三个方面：特征提取、降噪和降维(故障诊断领域多应用在特征识别、聚类分析、主分

22、量分析和盲信号分离等场合)；周期信号检测；突变信息提取等。特征提取主要是将奇异值直接当成特征量而作为判断的依据或进一步处理的特征输入。降噪和降维、突变信号提取的基本原理就是不同性质的信号可以通过奇异值分解投影到不同的子空间，也就是说，可以通过奇异值的取舍将他们分离出来。而他们的区别是降噪和降维是保留主分量，而突变信号提取主要是去除能量较大的主分量。周期信号检测主要是根据奇异值比(SVR)谱来搜索信号中有无周期分量及其周期为多少。对于转子碰摩故障诊断，主要是利用奇异值分解方法的降噪和突变信息提取功能，但是目前的方法只是对奇异值分解下信号空间和噪声(突变信息一般认为在噪声空间)的简单套用，没有考虑

23、突变信息与噪声在重构空间中关系，于是，降噪时忽略了突变信息而造成了信息的丢失，突变信息提取受到噪声的污染。更关键的是，对重构信号矩阵奇异值分解方法在故障诊断领域的物理含义还没有深入的挖掘出来。2.3.2 提取突变信息的奇异值分解方法奇异值突变信息提取方法通过降低平滑信号的影响检测信号中的突变信息，其检测效果改善明显，优于小波变换。该方法在碰摩突变信息的检测中具有较高的信噪比，其原理可以简述如下： 假设从转子系统测得的含有噪声、碰摩故障信号的时序为，按照前述的方法得到重构的吸引子轨迹矩阵： (2-12)可表示成：，其中是不受噪声干扰、不含有碰摩故障信息的理想光滑信号对应的在重构相空间中的吸引子轨

24、迹矩阵；是由噪声、碰摩故障信号对应的轨迹矩阵，也可以将其视为对矩阵的摄动，即。仅知道，不知道、，但可以根据、的一些特点研究它们的奇异值情况。 通过利用计算机对大量模拟的光滑信号对应的重构相空间中的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解，得出只要不是太小，那么该矩阵必是奇异的，即其秩，一般取，当然不同光滑信号的秩可能不同。由于噪声信号的随机性、碰摩故障信号的突变性，故噪声、碰摩故障信号构成的轨迹矩阵必定是列满秩矩阵，即它的秩。同理，由含有噪声、碰摩故障信号的实测信号构成的轨迹矩阵也必是列满秩矩阵，对它进行奇异值分解后得到个奇异值假定矩阵的秩为，根据奇异值分解理论及范数意义下矩阵最佳逼近定理可以得出，如果保

25、留矩阵的前个奇异值而其他奇异值置0，然后再利用奇异值分解的逆过程 得到一个矩阵，记做，那么矩阵是用矩阵的一个最佳逼近，对应的时序相对矩阵的来说要光滑得多。实际上矩阵是未知的，可以用矩阵来近似表示，即或也可用近似表达，计作。可以通过令矩阵的前个奇异值置0，再利用奇异值分解的逆过程得到。将矩阵进行构成吸引子轨迹矩阵的反过程，便可得到剔除理想光滑信号后的残余信号噪声+故障信号。2.3.3 提取突变信息的改进奇异值分解方法当转子系统无故障时，不含有碰摩故障信息的理想光滑信号对应的在重构相空间中的吸引子轨迹矩阵主要是受到噪声的矩阵(为了与上节噪声、碰摩故障信号对应的轨迹矩阵相区别，这里以表示)的摄动；而

26、当转子系统发生碰摩后，吸引子轨迹矩阵不但会受到噪声的矩阵的摄动，而且还会受到冲击激励响应重构矩阵(以表示)的摄动，但是由于冲击激励的响应与噪声有本质的区别，因此对两者对的摄动是不同的。如果能够找出与的区别，就有可能在去除光滑背景信号的同时去除噪声，从而得到更高信噪比的反映碰摩故障的突变信息。因此，时序为，的重构吸引子轨迹矩阵可表示成：，其中是不受噪声干扰、不含有碰摩故障信息的理想光滑信号对应的在重构相空间中的吸引子轨迹矩阵；是由噪声对应的轨迹矩阵，即；而是由碰摩故障信息对应的轨迹矩阵，即。现在，仅知道，而、和未知，但可以根据、和的一些特点研究它们的奇异值情况。2.3.3.1 光滑背景信号、突变

27、信息和噪声重构矩阵的奇异值分布特征以具有两个正弦信号的叠加来模拟测试数据中的光滑背景信号，表示为(及其重构矩阵的奇异值分布如图2-1所示)： (2-13)以矩形脉冲序列模拟突变信息，此信号及其重构矩阵的奇异值分布如图2-2所示。噪声是均值为0，方差为0.5的高斯白噪声，噪声及其重构矩阵的奇异值分布如图2-3所示。 通过图2-1图2-3可知，、和的各自奇异值分解后奇异值的分布具有不同的规律。因此可以推断，光滑信号、突变信息和噪声对分解后的各奇异值的贡献也不一样：即主要贡献0阶，而突变信息贡献在0阶范围内，而噪声对各阶的贡献几乎相等。因此，我们可以选择奇异值中某些奇异值，其他奇异值置零，然后再利用

28、奇异值分解的逆过程得到。将矩阵进行相空间重构反变换便可得到剔除光滑信号和部分噪声信号后的残余信号，该残余信号包含并突出机械振动信号中的突变信息，从而提取突变信号的特征。图2-1 光滑信号及其奇异值分布图2-2 突变信息及其奇异值分布 图2-3 噪声及其奇异值分布 2.3.3.2 奇异值的选择在上面分析的基础上，奇异值的选择和提取突变信号过程如下：将信号进行相空间重构，计算重构矩阵的奇异值，选择突变信息相对贡献较最大的一些奇异值，即随着的增大，奇异值下降的过渡阶段(即奇异值分布曲线斜率变化较大的区间)的奇异值。可以选择过渡阶段的全部或部分奇异值进行重构。在本文中，对过渡阶段每个奇异值进行重构，选

29、择效果较好的奇异值重构信号来表征突变信息的特征。2.3.4 模拟信号提取结果及与改进前的比较利用图2-1图2-3的信号，将其叠加，得到含有突变信息和强噪声的叠加信号。其时域波形及其重构矩阵奇异值如图2-4所示。按照2.3.4.2节的方法，选取随着的增大其值减小过渡阶段的奇异值， 即分别进行重构，得到如图2-5所示的图。从图2-5中可以看出，的重构信号都成功地消减了平滑信号和噪声对突变信号的影响，十分清晰地反映出叠加信号中的突变信号，而且与叠加信号相比较，还能清楚地反映突变信号的时刻。而用改进前方法得到的重构信号如图2-6所示，与图2-5进行比较，可以得出改进后比改进前具有更高的信噪比。因此，改

30、进的奇异值分解方法可以更有效地用于较强噪声背景下微弱突变信息的检测。图2-4 叠加信号及其奇异值分布 图2-5 重构矩阵部分奇异值重构信号图2-6 利用改进前的方法进行的部分奇异值重构信号 2.4 局部均值分解局部均值分解（Local mean decomposition，简称LMD）本质上是从原始信号中分离出纯调频信号和包络信号，将纯调频信号和包络信号相乘便可以得到一个瞬时频率具有物理意义的PF分量，循环处理至所有的PF分量分离出来，便可以得到原始信号的时频分布。对于任意信号，其分解过程如下。 1) 确定原始信号所有的局部极值点，计算相邻两个极值点和的平均值，即 (2-14)将所有相邻两个极

31、值点的平均值用直线连接，然后采用移动平均方法进行平滑处理，得到局部均值函数。 2) 采用局部极值点计算包络估计值 (2-15)同样，将所有相邻两个包络估计值用直线连接，然后采用移动平均方法进行平滑处理，得到包络估计函数。3) 将局部均值函数从原始信号中分离出来，得到 (2-16)4) 用除以包络估计函数以对进行解调，得到 (2-17)理想地，是一个纯调频信号，即它的包络估计函数满足。如果不满足该条件，则将作为原始数据重复以上迭代过程，直到得到一个纯调频信号，即满足，它的包络估计函数满足。因此，有 (2-18)式中， (2-19)迭代终止的条件为 (2-20)在实际应用中，可以设定一个变动量，当

32、满足时，迭代终止。 5) 把迭代过程中产生的所有包络估计函数相乘便可以得到包络信号（瞬时幅值函数） (2-21)6) 将包络信号和纯调频信号相乘便可以得到原始信号的第一个PF分量 (2-22)它包含了原始信号中最高的频率成分，是一个单分量的调幅-调频信号，其瞬时幅值就是包络信号，其瞬时频率则可由纯调频信号求出，即 (2-23)7) 将第一个PF分量从原始信号中分离出来，得到一个新的信号，将作为原始数据重复以上步骤，循环次，直到为一个单调函数为止。 (2-24)至此，将原始分解为个PF分量和一个单调函数之和，即 (2-25)将所有PF分量的瞬时幅值和瞬时频率组合便可以得到原始信号完整的时频分布。

33、 局部均值分解是Jonathan S. Smith 提出的一种新的自适应时频分析方法。并将这种方法应用于脑电图的信号处理，获得了较好的效果。LMD方法自适应地将一个复杂的多分量信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义的PF（Product function，简称PF）分量之和，其中每一个PF分量由一个包络信号和一个纯调频信号相乘而得到，包络信号就是该PF分量的瞬时幅值，而PF分量的瞬时频率则可由纯调频信号直接求出，进一步将所有PF分量的瞬时频率和瞬时幅值组合，便可以得到原始信号完整的时频分布。由LMD方法得到的每一个PF分量实际上是一个单分量的调幅-调频信号，因此LMD方法本质上是将多分量信号自适

34、应地分解为若干个单分量的调幅-调频信号之和，非常适合于处理多分量的调幅-调频信号。而当齿轮发生故障时其振动信号大多数是多分量的调幅-调频信号，对调制的故障振动信号解调是一种有效的分析方法，采用LMD方法对齿轮故障振动信号进行分解，提取各个分量的瞬时幅值和瞬时频率，这实际上是对齿轮故障振动信号进行解调，对各个分量的瞬时幅值进行频谱分析就可以提取故障信号的调制信息，从而有效地提取齿轮故障振动信号的特征，因此LMD方法是适合于分析和处理齿轮故障振动信号的。本文在介绍LMD方法的基础上，将LMD方法和EMD方法进行了对比，同时针对齿轮故障振动信号的调制特点，将LMD方法应用于齿轮故障诊断，对实际信号的

35、分析结果表明，LMD方法可以有效地应用于齿轮故障诊断。2.5 数学形态学 数学形态学是一门建立在严格的数学理论基础之上的科学。形态学来自生物学，是生物学的一个分支，常常用来处理动物和植物的行状和结构。在图像处理和模式识别等领域中，常常涉及物体特征的识别和研究对象几何结构的描述、分析等，这两者明显得具有相似之处。故数学形态学作为一种新兴的图像处理技术，在图像处理的各个领域中得到充分的重视和广泛的应用。数学形态学的萌芽可追溯到19世纪，Eular，Steiner，Crofton和20世纪Minkowski的著作中都有论述。20世纪60年代，法国人GMatheron和J.Serra在不同的研究领域内

36、得到了相似的结果，他们的研究成果直接导致了数学形态学雏形的形成。此后，两人在法国共同建立了枫丹白露(Fontainebleau)数学形态学研究中心，在该中心各国学者的共同努力下进一步完善了数学形态学的理论基础并研究了数学形态学在图像处理方面的应用。Matheron在1973年完成了著作Ensembles Aleatoireset GeometrieIntegrate，该书严谨而详尽的论证了随机集论和积分几何，为数学形态学真正的奠定了理论基础。在这本书和迭代运算的基础之上产生了许多的形态学算子，提出了二值细化，骨架提取，极限腐蚀，条件对角切分及其测地框架体系等。与此同时，面向集合的方法被拓展到了

37、数值函数分析领域，产生了形态学梯度算子，高帽(Top-Hat)变换，流域变换等等的基于灰度值的形态学理论和方法。在研究中Matheron和Serra认识到；对图像先作开运算接着作闭运算，可以产生一种幂等运算；对图像作用递增尺寸的交变开闭结构元序列，可以有效的过虑噪声并由此正式提出形态学滤波器的概念。1982年，Serra发表了专著ImageAnalysis and Image Processing，它是数学形态学发展的里程碑，标志着数学形态学在理论上已趋于完备，使得数学形态学在图像处理，模式识别，和计算机视觉等领域引起了广泛的重视和应用。上世纪90年代，数学形态学的发展明显得趋于两个方向：第一

38、个是致力于运动分析，包括编码和运动景物描述；第二个是算法和硬件结构协调发展，设计和研发处理数值函数的形态学算子。作为一种新兴学科和的技术，数学形态学经过30年的发展，取得了许多举世瞩目的成就。数学形态学是一门综合了多学科的交叉科学，其基本理基础论非常艰深，但其基本的运算和观念却比较简单。它体现了逻辑推理和数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及了微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论是其生存的基础。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的学科。数学形态学是建立在集合论基础上的一门新兴学科，其基本思

39、想是利用结构元素对信号进行“探测”，保留主要形状，删除不相干形状(如噪声、毛刺)。作为探针的结构元素，可直接携带知识，如方向、大小、色度等信息，来探测、研究包含了信号主要信息的结构特征。不同的结构元素可以得到不同的结果，因此非常适合信号的几何形态分析和描述。数学形态学的这一“探测”思想对信号处理理论和技术产生了重大影响，广泛应用于图象处理与分析、生物医学工程、机器视觉、工业检测、航空遥感、材料科学和军事科学等领域。数学形态学的理论和应用紧密结合，在新领域中的成功应用反过来又不断地提高和完善理论，极大地促进了它的发展。在经典的二值数学形态学和灰度值数学形态学基础上，众多学者进行了大量、深入的研究

40、，提出了一系列新的数学形态学理论，发展了研究对象主要是离散多值信号(图形)的顺序形态学、模糊逻辑与数学形态学结合的模糊形态学、以及模态小波等。目前，数学形态学的研究热点主要集中于：结构元素和算法的设计、模糊神经网络、自适应特征提取算法等。数学形态学既能处理二维图形数据，也能处理一维和三维数据。数学形态学本质上是一种优良的非线性滤波器，能够进行多分辨率分析，有效除去噪声和噪声脉冲干扰。数学形态学在机械系统故障、电网故障等信号处理中刚刚兴起，研究表明，通过数学形态学能够消除故障信号中的噪声污染和直流偏移等问题，可以提取隐藏在噪声中的特征信息。一维信号(函数)可以用集合的方式来表示。一个d维函数h(

41、x)可以用d+1维的集合来表示，定义其函数的本影：U(f)=(x,a):af(x) (2-26)也就是说在d维空间，本影是低于函数f(x)表面的所有点的集合。通过函数本影的概念可以将二值形态拓展到灰度形态，进行信号处理。通常，当a=-时，函数f(x)是可以从其本影集合得到重构的，那就是：f(x)=maxa:(x,a)U(f)，x (2-27)令f(x)是定义在定义域上的一维输入信号，g(x)是定义在定义域上的结构元素。用函数g(x)的本影去膨胀或腐蚀函数f(x)的本影，从而产生新函数的本影，直接表示为U(fg)=U(f)U(g)和U(fg)=U(f)U(g)。函数膨胀和腐蚀运算的计算公式为：

42、(2-28)式中，xD；yD.对于上式更明确的定义如下：设f(x)是定义域为0,1,.,N-1的一维原始信号，g(x)是定义域为0,1,.,M-1的结构元素，并定义其原点在0处。则函数膨胀和腐蚀运算的计算公式分别定义如下： (2-29)由上式可见，腐蚀和膨胀的计算相当简单，只包含加减法运算（取极值运算是由若干个比较运算构成，比较运算实际上就是减法），不涉及乘除，因而对实时信号的处理的速度快、时延小，这一特点的意义是不言而喻的。为了提高数学形态学算法实时性，在灰值形态信号处理中广泛应用一种所谓“扁平结构元素”，即结构函数在其定义内灰度值均为零。以一维信号为例，其定义为： (2-30)以一维信号为

43、例，一个长度为l的函数f关于一个长度为m的扁平结构元素g的膨胀或腐蚀运算所需要的比较运算次数为：Nc=(m-1)(l-m+1) (2-31)类似于二值形态变换，由灰度膨胀和腐蚀的组合可以得到两个很重要的灰度形态算子开和闭运算。以下是它们的定义： (2-32)基于形态的基本算子，可以构造出具有不同特性和功能的形态算法。简单介绍几种信号处理中常用的形态算法：1. 形态梯度形态梯度一般有三种基本形式：(1) (2) 式(1)称为膨胀梯度，式(2)称为腐蚀梯度，两者求和可得到第三种形态梯度，也就是通常意义上的形态梯度： (2-33)对于图像处理而言，形态梯度用来提取图像边缘信息。对于信号处理而言，形态

44、梯度可用来进行边沿检测。值得指出的是，形态梯度不同于常规物理意义下的梯度。因为用扁平结构元素的膨胀和腐蚀运算具有取局部极大和极小值形的效果，所以对应其每一点，形态梯度是由扁平结构元素定义域内的极大和极小值之差决定的。由此可见，形态梯度的运算结构是受结构元素的大小和其原点位置的影响的。2. 形态滤波形态滤波是在前面介绍的形态开和闭运算基础上发展起来的。Maragos采用开闭运算的级联组合形式，定义了形态开-闭(Open-closing)和闭-开(Close-opening)滤波器：（1）形态开闭运算（2）形态闭开运算易知，形态开-闭和闭-开滤波器具有开闭运算的所有性质。形态开闭和闭开滤波器虽然可

45、以同时滤除信号中的正负脉冲噪声，但由于开运算的收缩性，导致开闭滤波器输出幅度偏小；由于闭运算的扩张性导致闭开滤波器的输出幅度偏大。这两种基本滤波器均存在统计偏倚现象。在很多情况下，单独使用它们并不能取得最好的滤波效果。通过两种滤波器滤波后的结果进行综合，以及在滤波过程中对结构元素进行优化调整，可是滤波效果得到改善。2.6 分数Fourier变换 Fourier变换是一种线性算子，这种算子的作用可看成在时频平面里旋转/2，即从时间轴转到频率轴。不难理解，如果找到一种可作任意角度=p/2(/2的非整数倍，即p为分数)旋转的算子，则通过该算子可得到信号新的表示。作为Fourier变换的一种广义形式，

46、Fourier变换的分数幂理论最早是Namias于1980年建立的，他将这种推广的Fourier变换称作分数阶Fourier变换(FRFT：fractional Fourier transform)。后来，McBride和Kerr对分数阶Fourier变换作了数学上更加严格的定义，使之具备了一些重要的性质。2.6.1 Fourier变换简介传统的Fourier变换是一种纯频域分析，它可将一般函数x(t)表示为一簇标准函数的加权求和，而权函数亦即x的Fourier变换。设x是R上的实值或复值函数，则x为一能量有限的模拟信号，具体定义如下： (2-34)其反变换是： (2-35)式中=2f为角频率

47、，单位是rad/s。x(j)是的连续函数，称为信号x(t)的频谱密度函数，或简称频谱。实现Fourier变换需要满足Dirichlet条件：即在整个时间区域内有间断点存在，则间断点的数目应是有限的；在任一时间区域内极大值和极小值的数目应是有限的；在任一时间区域内应是绝对可积的。Fourier变换具有以下有用的性质：（1）Fourier变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；（2）Fourier变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；（3）正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而

48、系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；（4）著名的卷积定理指出：Fourier变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；（5）离散形式的Fourier变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速Fourier变换算法(FFT)。正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。综上所述，我们知道Fourier在处理平稳信号时有许多不可替代的优越性，但是Fourier只能处理频率随时间不变的平稳信号，对于非平稳信号有些无能为力了。日常生活中，许多信号都是非

49、平稳信号，其中最具有代表性的就是线性调频信号（LFM），分数阶Fourier变换正是针对这类信号而产生的。2.6.2分数阶Fourier变换的应用Fourier变换在线性系统分析、光学系统、信息处理系统起着核心作用，并应用于众多的工程技术领域。作为广义Fourier变换，FRFT具有比Fourier变换更普遍的特性和更广的应用场合，尤其是普通Fourier变换技术不能解决问题的场合，FRFT更显其优越性。在FRFT研究的启示下，许多学者推广了分数阶的概念，得到分数阶卷积和分数阶相关，还把分数阶的概念应用到哈达玛变换、哈特莱变换等，得到相应的分数阶变换。分数阶Fourier变换已应用到图象处理的

50、优化图象恢复。此外，将Fourier变换算子的分数幂推广至复数幂也成为目前研究的一个热点。第三章 常用非平稳信号处理方法的比较各种信号分析是了解设备运行状态和进行故障诊断的重要手段。信号处理方法种类较多，有传统方法也有新兴方法，但它们的主要都目标是要寻找到提取信号所包含的重要故障信息。因此，各类方法只有处理方式、分析特征、优点和局限性不一样，没有高低贵贱、有用和无用之分。在这里，只是侧重于各类非平稳信号处理方法特性分析，或者在某些方面特征提取的优劣分析，并非是各类信号总的评价。3.1 Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换的比较短时Fourier变换和小波变换是Fourier变换

51、的发展与延拓，因此这三种信号处理方法是密切相关的，从某种意义上说相辅相成的。如小波基的构造以及结构分析都依赖于Fourier变换。在这里，主要在分析函数、变量、对信号处理后所能提供的信息和适用场合等方面比较了三者之间的不同：（1）分析函数：Fourier变换的分析函数为三角函数，具有唯一性，且是时域支撑区无限的振荡函数。短时Fourier变换的分析函数是有限长度的窗函数和三角振荡函数的复合函数(每次分析时，窗函数的长度是固定，但窗函数所包络的三角函数的频率是变化的)；由于窗函数可以选择，因此分析函数不具有唯一性，当取Gauss函数为窗函数时，短时Fourier变换也称为Gabor变换。小波变换

52、的分析函数是具有固定振荡次数，时域有限支撑的波；小波函数通过伸缩来改变“窗口”大小，同时也改变尺度，因此可以在不同的尺度下观测信号；由于振荡次数是不变的，因此小波函数的频率只是随尺度的变换而变化。（2）变量：Fourier变换的变量是频率；短时Fourier变换的变量是频率与窗口的位置；小波变换的变量是频率与小波位置。（3）提供的信息：Fourier变换提供信号包含的频率成分。短时Fourier变换可以提供信号频域和时域的信息，窗函数越小，分析得到的时域信息越好，但可能损失低频的频域信息；反之，窗函数越大，可以得到很好的频域信息，但时域的分析精度将降低。小波变换也可以提供信号频域和时域的信息；

53、大尺度对应窄的小波函数，它能提供好的时域局部化信息，但频域局部化信息较差；小尺度对应宽的小波函数，它能提供好的频域局部化信息，但时域局部化信息较差。（4）适用场合：Fourier变换适用于分析频率成分不随时间变化的平稳信号；短时Fourier变换适用于分析在窗口尺度下是平稳的准平稳信号；小波变换在处理非平稳信号时体现出较前两种信号处理方法的巨大的优越性，特别适合分析非平稳信号，当然它也可以用来处理平稳信号和准平稳信号。此外，需要指出的是，对于长度为n的信号利用快速Fourier变换(FFT)的计算量为。短时Fourier变换不存在正交基，难以实现高速算法。小波变换有连续和离散两种形式。正交小波

54、变换是离散小波变换的一种特殊形式，用快速小波变换算法时，对于长度为n的信号，小波支集的长度为k的计算量为。 3.2 小波变换与奇异值分解方法的比较 利用J103型模型试验器采集不碰摩、较轻碰摩（发生碰摩但频谱图中无碰摩特征）、较重碰摩（发生碰摩且频谱图中有碰摩特征）时涡轮轴头振动信号，然后分别对这些信号进行处理与分析。首先对一个利用计算机产生的分布在-0.015，0.015内的随机噪声信号进行处理，图3-1a、b、c分别为该随机噪声信号图、其小波变换等高线图及幅值谱图。图3-2ae为不碰摩且转速为3060转/分时的各种曲线；增加转子的偏心距，使运转中涡轮叶片与后机匣发生碰摩, 图3-3ae、3

55、-4ae 分别为发生碰摩、转速分别为2400转/分、3000转/分时的各种曲线。转速为2400转/分时，碰摩相对较轻，幅值谱中无碰摩特征。图3-2a、3-3a、3-4a分别是没有发生碰摩、较轻碰摩(转速：2400转/分)、碰摩(转速：3000转/分)时的时域波形；图3-2b、3-3b、3-4b分别是相应的幅值谱；图3-2c、3-3c、3-4c分别是相应的利用对时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解提取的噪声信号和碰摩故障信号；图3-2d、3-3d、3-4d分别是相应提取的噪声信号和碰摩故障信号的小波变换等高线图；图3-2e、3-3e、3-4e分别是相应的未处理信号的小波变换等高线图。从以上

56、各图可以看出：1、 随机噪声的小波变换等高线图（3-1b）是分布在时频区域(时间尺度区域)的毫无规律的曲线，有许多封闭曲线环绕点，且尺度越小环绕点越多，这些环绕点随机分布，无规律可言。不发生碰摩时利用时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解得到的残余信号为噪声信号，因此得到的信号及其小波变换等高线图与图3-1很相似。2、发生碰摩时，即使碰摩很轻，利用时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解得到的残余信号及其小波变换等高线图与不碰摩的响应图截然不同。得到的残余信号比不碰摩时有明显规律性，其小波变换的峰值，即多条等高线的环绕点几乎位于同一尺度上，这些点很明显是能量集中点，因此它们与碰摩对应。对

57、于某一运动状态的转子来说，其基频是一定的，碰摩将激起转子振动，且振动中基频的能量最大，所以小波变换等高线图上多条曲线的环绕点应位与同一尺度上，并且该尺度对应的频率与该运动状态转子的基频有关。3、 利用时间序列重构的吸引子轨迹矩阵的奇异值分解得到残余信号，并对残余信号进行小波变换，这种方法比频谱分析有明显优点。对于较轻的碰摩，由于频谱图(图3-3b)无明显碰摩特征(倍频或分频成分)存在，故无法利用它诊断是否发生了碰摩，但此时从小波变换等高线图(图3-3d)却可以很清晰地诊断出发生了碰摩，并可以给出碰摩发生的时刻。结合转子水平、垂直方向上的同步时域波形还可以得到碰摩发生的位置。当碰摩进一步发展后，

58、频谱图(图3-4b)上才显示出碰摩特征倍频成分存在，而此时小波变换等高线图上也明显显示出了碰摩特征。4、 若不利用对时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解的方法剔除强大的背景信号、得到残余信号(噪声+碰摩故障信号)，就无法利用小波变换诊断较轻的碰摩或者说早期碰摩。图3-3e、3-4e分别是直接对实验得到的时域信号（图3-3a、3-4a）进行小波变换得到的等高线图。显然等高线分布在除小尺度区域外的整个时间尺度平面上，等高线环绕点很多，且毫无规律地分布在各个尺度上。所以，需要利用对时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解的方法将信号进行处理。结论：由于背景信号、噪声信号对故障信号的影响，直接

59、利用小波变换处理实验信号无法诊断碰摩故障，并且由于碰摩故障信号与随机噪声在频域中均具有宽频带，且不知道碰摩故障信号能量较为集中的频率范围，所以使用传统的滤波方法无法消除噪声信号、保留故障信息。本章提出利用对时间序列重构的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解的方法剔除背景信号、提取残余信号(噪声+碰摩故障信号)，使故障信号得到加强，然后再对残余信号进行小波变换。通过利用该方法分别对仿真信号、J103型模型试验器试验和航空发动机台架试验的测试信号进行处理、分析，得出其结论是完全一致的，这说明该方法能够准确诊断转子系统转静件碰摩故障。作者认为，该方法系首次提出，并用于识别转静件碰摩故障，具有重要的学术意义和

60、工程实用价值。图3-1a图3-1b图3-1c图3-2a图3-2b图3-2c图3-2d图3-2e图3-3a图3-3b图3-3c图3-3d图3-3e图3-4a图3-4b图3-4c图3-4d图3-4e3.3 奇异值技术与改进奇异值技术之间的比较利用J103型模型试验器动静件轻碰摩振动信号进行对比转子的转速为2400r/min。图3-5是实验信号的时域波形图和相空间重构矩阵奇异值分布图。碰摩较轻且噪声较大难以利用幅值谱以及小波变换诊断碰摩是否发生。图是利用改进前的方法得到的重构信号，由于信号含有较大噪声，提取出的突变信号也受到噪声较大的影响，且难以判定出碰摩开始、终止的时刻。图3-6为利用本文方法提取出的突变信号，在图中明显有若干