高中数学解析几何解题方法

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1、高考专项：解析几何常规题型及措施本章节解决措施建议： 纵观全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一种规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中档及偏上的学生能将相应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不抱负，其因素重要体目前如下几种方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以波及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范畴、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力规定最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在人们的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时2

2、0题）就成了诸多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点，建议在复习中做好如下几种方面1由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基本。不能由于高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基本、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证一方面将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一种小问争获得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点1、精确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、纯熟掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、

3、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、纯熟掌握求直线方程的措施（如根据条件灵活选用多种形式、讨论斜率存在和不存在的多种状况、截距与否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、理解线性规划的意义及简朴应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解措施（如：定义法、直接法、有关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常用鉴定措施，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决某些常用问题四、常规题型及解题的技巧措施A:常规题型方面（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差

4、法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 阐明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的状况。（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）求证离心率； （2）求

5、的最值。 分析：（1）设，由正弦定理得。 得 ， （2）。 当时，最小值是； 当时，最大值是。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本措施是解方程组，进而转化为一元二次方程后运用鉴别式，应特别注意数形结合的措施典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p有关t的函数f(t)的体现式。（1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) （4）圆锥曲线的有关最值（范畴）问题圆锥曲线中的有关最值（范畴）问题

6、，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目的函数（一般运用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p（1）求a的取值范畴；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到有关a的不等式，通过解不等式求出a的范畴，即：“求范畴，找不等式”。或者将a表达为另一种变量的函数，运用求函数的值域求出a的范畴；对于

7、（2）一方面要把NAB的面积表达为一种变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：, 因此|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ为等腰直角三角形，因此|QM|=|QN|=，因此SNAB=,即NAB面积的最大值为2。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-此类问题一般可用待定系数

8、法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）有关L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0)设A、B有关L的对称点分别为A/、B/，则运用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B（）。由于A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.因此直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题MNQO已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到

9、圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并阐明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M构成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表达一条直线；当1时，它表达圆。这种措施叫做直接法。（6） 存在两点有关直线对称问题 在曲线上两点有关某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（固然也可以运用韦达定理并结合鉴别式来解决）典型例题 已知椭圆C的方程，试拟定

10、m的取值范畴，使得对于直线，椭圆C上有不同两点有关直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有，得。（7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来解决或用向量的坐标运算来解决。典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求的取值范畴；（2）直线的倾斜角为什么值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线代入抛物线方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦点为。由，得，或B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们可以充足运用几

11、何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的方略，往往可以减少计算量。下面举例阐明：（1）充足运用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，因此在解决解析几何问题时，除了运用代数方程外，充足挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充足运用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。 评注：此题若不能挖掘运用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而运用

12、参数方程等措施，计算量将很大，并且比较麻烦。二. 充足运用韦达定理及“设而不求”的方略我们常常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种措施在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充足运用了韦达定理及“设而不求”的方略，简化了计算。三. 充足运用曲线系方程运用曲线系方程可

13、以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求通过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为C（） 又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。 评注：此题因运用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、充足运用椭圆的参数方程椭圆的参数方程波及到正、余弦，运用正、余弦的有界性，可以解决有关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算措施 充足运用现成成果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的措施是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，鉴别式为，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都波及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例 、是椭圆的两个焦点，AB是通过的弦，若，求值 运用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若获得最小值，求点P的坐标。