第十讲 奇偶性

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1、第十讲 奇偶性【目标要求】1. 了解函数奇偶性的含义；2. 理解奇函数、偶函数的定义及图象特征；3. 会判断函数的奇偶性，并能解决函数的奇偶性与单调性的综合问题.【知识解读】1. 函数奇偶性偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f (x)的定义域内一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (-x) = f (x),那么函数任意一个x,都有f (-x) = -f (x),那么函f ( x)就叫做偶函数数f (x)就叫做偶函数定义域关于原点对称图象特征关于y轴对称关于原点对称单调性在对称区间上，单调性相反在对称区间上，单调性相同注意：(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性

2、是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个X,都 有f (-x) = -f (x)(或f (-x)二f (x),才能说是奇(或偶)函数；(2) 函数y = f (x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性；(3) 若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)=0；(4) 若f (-x) = -f (x),且f (-x) = f (x),则f (x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f (x) = 0,x g D,D是关于原点对称的非空实数集.2. 奇偶函数的图象特征(1) 奇函数的图象是以坐标原点

3、为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形，则这个函数是奇函数；偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这 个函数是偶函数.注意： (1)如果直到一个函数是奇函数或偶函数，那么只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一 部分上的性质和图象，就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图象；(2) 如果f (x)为奇函数，点(x,f (x)在其图象上，那么点(-x,f (-x),即点(-x,-f (x)也在f (x)的图象上；(3) 如果f (x)为偶函数，点(x,f (x)在其图象上，那么

4、点(-x, f (-x),即点(-x, f (x)也在f (x)的图象上.3. 函数奇偶性的判定：(1)判断函数f (x)的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步；(2)化简函数f (x)的解析式(注意定义域)；(3)求出f (-x),根据f (-x)与f (x)之间的关系，判断函数f (x)的奇偶性:由 f (-x) + f (x)二 0或 f x)= 1(f (x)丰 0),得 f (-x)二f (x),则 f (x)是奇函数; f ( x)由 f (-x) f (x)二 0 或仔=1(f (x)丰 0),得 f (-x)二 f (x),则 f (x)是偶函数. f ( x

5、)4. 有关奇函数、偶函数的重要结论:(1) 两个奇函数的和仍为奇函数，定义域为它们的公共部分；(2) 两个偶函数的和仍为偶函数，定义域为它们的公共部分；(3) 两个奇函数的积是偶函数，定义域为它们的公共部分；(4) 两个偶函数的积是偶函数，定义域为它们的公共部分；(5) 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，定义域为它们的公共部分.注意:以上所有函数都是定义在同一个关于原点对称的定义域上.5. 般地，若函数f (x)为奇函数，则f (x)在关于原点对称的两个区间a,b和-b,-a具有相同的单调性；若函数 f (x)为偶函数，则f (x)在关于原点对称的两个区间a,b和-b,-a具有相反的单调性

6、.【典型例题】题型一 函数奇偶性的判断例 1 下面四个结论中，正确的是( )偶函数的图像一定与y轴相交奇函数图像一定关于原点对称偶函数图像一定关于y轴对称既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x)二0(x e R)A.B.例 2 判断下列函数的奇偶性1(1) f (x)二 x + (2) f (x)=x1 一 x 2|x + 2 - 2C.D.f (x + 5)2 4,-6 x -1,=(x 一 5)2 一 4,1 x 0, f (x) = 0, x = 0,(5) f (x) = |x +- |x - a (a e R)x2 2x 3, x 0时，f (x)二x3 + x +1,求f (x)

7、的解析式.例5已知奇函数y二f (x), x g (1,1)在(1,1)上是减函数，解不等式f (1 - x) + f (1 - 3x) 0.例6设函数f (x)在R上是偶函数，且在(g,0)上是增函数，并有f (2a2 + a +1) f (3a2 + 2a-1),则实数a的取值范围是拓展阅读】奇函数、偶函数名称的由来1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文(原文为拉丁 文)中，首次提出了奇、偶函数的概念欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇函数、偶函数的性质法 国数学家达朗贝尔(J.R.D.Alembert, 1717-1783)在狄德

8、罗(D.Diderot,1713-1784)主编的大百科全书第7卷(1757年出版)关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为 x的函数”但只字未提“奇函数”和“偶函数”这两种特殊函数法国数学家拉格朗日在解析函数论(1797) 开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幕” 后来，其含义被推广，表示 “以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰伯努利最早采用了后一含义在1727年的论文中，欧拉在 讨论奇函数、偶函数时确实没有涉及任何超越函数.因此，最早的奇函数、偶函数概念都是针对幕函数以及相关复合 函数而言，欧拉提出

9、的“奇函数”、“偶函数”之名显然源于幕函数的指数或指数分子的奇偶性:指数为偶数的幕 函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数.1748年，欧拉出版他的数学名著无穷分析引论，将函数确立为 分析学最基本的研究对象在第一章，他给出了函数的定义，对函数进行了分类，并再次讨论了奇函数和偶函数欧 拉给出的奇函数、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，但他讨论了更多类型的奇函数、偶函数， 也给出了奇函数、偶函数的更多性质.1786年，法国人裴奇(F.pezzi)将无穷分析引论第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译 为“fonction paire”，“fonction impaire”

10、，这是两个数学名词在法文中首次出现.1792年，法国数学家勒让德 (A.Legendre，1752-1833 )在向科学院提交的论文中提出了正弦函数的偶函数.勒让德可能沿用了裴奇的译名或直 接翻译了欧拉的名词这里我们需要指出的是，将“奇函数”、“偶函数”的拉丁文翻译成对应的法文，并不会产生 不同的译法，因为最迟在笛卡儿(R.Descartes, 1596-1650)的几何学中已经有了法文的“偶数”(nombres pairs) 和“奇数”(nombres impairs)之名.“奇函数”，“偶函数”这两个名称在18世纪末的法国并未得到普遍使用， 或者说，函数的奇偶性还没有受到当时法国数学家的普

11、遍关注.1796年，法国数学家拉贝将无穷分析引论全书 译成法文，其中拉贝同样将“奇函数，“偶函数”分别译为“fonction paire”，“fonction impaire” .1809年， 苏格兰数学家华里司(W.Wallace,1768-1843)将勒让德的论文译成英文，发表在数学文库(Mathematics Repository)上.华里司很自然地将“function paire”译为“even function” .这是“even function”这个词在英语世 界中首次出现.不过，在英国著名数学家胡顿(C.Hutton，1737-1823)于1815年出版的数学与哲学辞典中，虽

12、然有“函数”和“微积分中的函数”这两个词条，但奇函数、偶函数概念却付之阙如而德摩根的代数学基础 (李善兰与伟烈亚力译为代数学)虽对函数进行了清晰的分类，但仍只字未提奇函数、偶函数美国数学家罗密 士 (E.Loomis，1811-1889)的微积分畅销书解析几何与微积分基础(李善兰与伟烈亚力译为代微积拾级) 虽然给出了隐函数、显函数、增函数、减函数之名，但同样不含奇函数、偶函数之说这说明，奇函数、偶函数概念 以及华里司所引入的新名词在19世纪上半叶的英语世界里尚未得到广泛传播和普遍关注.相应地，这两个概念也就 不见于中国晚清的西方数学译著直到20世纪初，这两个概念才传入中国.1938年出版的算学

13、名词汇编和1945 年出版的数学名词中都收录了这两个名词.第十讲 奇偶性 测试题姓名：成绩：11. 设函数f (x)(x G R)为奇函数，f (1)二 2, f(x + 2)二 f (x) + f (2),则 f 二()5A.0B.1C.D.522. 已知函数f (x)是定义在区间a -1,2a上的奇函数，则实数a的值为()1 A.0B.1C.3D.不确定3. 已知函数f (x)二ax2 + bx是定义在a - 1,2a上的偶函数，则a + b等于()A.1B.1C.1D.12344. 已知函数f (x), g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x) 一 g(x)二x3 + x2

14、 +1,则f (1) + g(1)=()A.-3B.-1C.1D.315. 函数y = (x Hl)可以表示成一个偶函数f (x)与一个奇函数g(x)的和，则f (x) =.x-1第十讲 奇偶性 回家作业姓名：成绩：1. 函数y二f (x)是偶函数，x g R.在x 0时，y是增函数，对于x1 0, |xj f (-x )B. f (-x) f (-x)1 2 1 2 1 2 1 22. 已知奇函数f (x)的定义域为(-1,1),且f (x)在(0,1)上单调递增，若f (1 -a) + f (1 -a2) 0,则实数的取值范围为3. 已知 f (x) = x5 + ax3 + bx + c*x + 8 (其中 a,b,c 是实常数)，且 f (-2)二 10.求 f (2)的值.4已知奇函数f (x)在定义域(-1,1)内单调递减，那么当m为何值时，f (1 -m) + f (1 -m2) 0成立?5.设定义在(8,+如上的两个函数f (x), g(x)对于任意的实数x, y满足关系式f (x + y) + f (x- y)二2f (x)g(y).若f (0)二0,但x主0时，f (x)丰0, g (x)丰0,讨论f (x), g (x)的奇偶性.