第五章 吴特征列方法

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1、第五章吴特征列方法本章介绍与特征列方法相关的算法，包括吴零点分解定理(代数情形和微分情形)以及投 影定理的实现等。51代数情形的特征列方法1. init调用：init(poly,varlist)参数： poly 是一多项式varlist 是一变量表说明：返回多项式 poly 对变量表 varlist 的初式。 这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例：init(3*xA2*yA3-x*y+3,x,y);3*yA32. basicset调用： basicset(list,varlist)参数： list 是一多项式的表varlist 是一变量表说明：返回多项式集合 list 对变量

2、表 varlist 的基列。 这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例：basicset( y+x-3,yA3*x,zA2-y*x,xA2-1,z,y,x); x+y-3,xA2-13. charset调用： charset(list,varlist)参数： list 是一多项式的表varlist 是一变量表说明：返回多项式集合 list 对变量表 varlist 的特征列 这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例：charset( xA2-1,yA3*x+3,zA2-y*x,x-1,z,y,x); -y+zA2,yA3+3,x-14. charser调用：char

3、ser (list,varlist)参数： list 是一多项式的表varlist 是一变量表说明：返回多项式集合list对变量表varlist的特征列序列。这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例： charser ( (xA3-1)*(yA2-1),(xA4*zA2-zA3)*(3*x-3),yA2-xA2,z,y,x);-3*zA2*xA4+3*zA2*xA3+3*zA2*xA2-3*zA3*x+3*zA3-3*zA2,-xA2+yA2,xA5-xA3-xA2+1,9* yA2-9,-3*x+35. triset调用： triset (list,varlist)参数： li

4、st 是一多项式的表varlist 是一变量表说明：返回多项式集合list对变量表varlist的三角列。这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例： triset ( xA3+1,xA4*zA4-zA3+3*x,yA2-xA2,z,y,x);zA4*xA4+3*x-zA3,-xA2+yA2,xA3+16. premas调用： premas (poly,asc,varlist)参数： poly 是一多项式asc 是一升列varlist 是一变量表说明：返回多项式poly对升列asc关于变量表varlist的余式。 这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例： prema

5、s (xA2*y*zA3-x+3, y*zA2-x+1,y*x+4,x+1,z,y,x);-2*z+47. remset 调用： remset (list,asc,varlist) 参数： list 是一多项式的表 asc 是一升列 varlist 是一变量表 说明：返回多项式集合list对升列asc关于变量表varlist的非0余式的集合。 这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例： remset ( xA4-xA2*yA4,zA5-1, 3*x-zA3,-x+yA2,xA3,x,y,z); -9*zA6*yA4+zA12,zA5-18. wsolve调用：wsolve (ps

6、, ord) wsolve (ps, ord, nzero) wsolve (ps, ord, nzero，cs_type)参数： ps 是一个多项式的表 ord 是一变量表, ord 的变量以从大到小排列。 nzero:可选参数，是一多项式的表，缺省为。cs_type:可选参数，必须为“ritt”，“wu”或者“weak”，缺省为“weak”。 说明：返回一组升列，得到多项式集合ps关于变量表ord的零点分解。示例：wsolve( y*zA2-x+l,y*x+4,x+l,z,y,x, “ritt”); A New Component !2*zA2+1,y-4,x+19. ssolve： Se

7、idenberg 算法调用： ssolve(plist,varlist,dlist)参数： plist 是一多项式的表varlist 是一变量表dlist是一多项式的表说明：返回一组三角列，得到多项式集合plist关于变量表varlist的 零点分解。这里假定变量表varlist中先出现的变量次序高。示例：ssolve( y*zA2-x+1,y*x+4,x+1,z,y,x,);A New Component !2*zA2+1,y-4,x+152微分情形的特征列方法微分多项式的表示在系统中微分多项式将由下面的形式表示：首先要确定微分变量的依赖关系。例如:因变量y1,y2,.,ys是依赖自变量x1

8、,x2,.,xt 的, 我们用yjn1,n2,.,nt来表示yj对x1的n1阶，x2的n2阶，xt的nt阶微分。如果 ni=0 则表示 yj 对 xi 的 0 阶微分。我们有函数 depend 来给出因变量对自变量的依赖关系。 在进行对微分多项式的处理之前，我们必须先确定这种依赖关系。1. depend 调用： depend(ys,xs) 参数： ys 是一个变量表xs 是一个变量表 说明：返回 1，如果调用成功。将ys,xs赋值给全局变量depend_relation。注一:该函数的调用将覆盖原来这一函数所得到的结果在一个运算过程中多次调用该函数将可能改变运算的值，从而有可能会造成歧义。2.

9、 diff调用：diff (dp,t)diff (dp,t,n)参数： dp 为一个微分多项式t 为一个自变量n 为非负整数说明：返回多项式dp对自变量t的n阶微分示例：depend(y,x,t);diff(x*y,t);x1*y+x*y1diff(x*y,t,2);x2*y+2*x1*y1+x*y23. separant 调用: separant(dp,x) 参数: dp 为一个微分多项式 x 为一个自变量 说明：返回多项式dp对自变量x的隔离子 示例： separant( x*x2+c, x);x separant(x*x2人2+c,x);2*x*x24. dwsolveweak”。调用：

10、 dwsolve (ps, ord) dwsolve (ps, ord, nzero) dwsolve (ps, ord, nzero，cs_type) 参数： ps 是一个多项式的表 ord 是一变量表, ord 的变量以从大到小排列。 nzero:可选参数，是一多项式的表，缺省为。cs_type：可选参数，必须为“ritt”，“wu”或者“weak”，缺省为 说明：返回一组升列，得到微分多项式集合ps的零点分解。示例：dwsolve(expand(y*zA2-x+1,y*x+4,x+1),z,y,x, “ritt”)；A New Component !2*zA2+1,y-4,x+153代数

11、和微分情形的映射运算1. proj调用：proj(ps,ds,ord,pord,flag)参数： ps 是一个多项式列表ds 是一个多项式列表ord 是所有变元的列表pord是投影过程中要消去的变元列表flag是一个字符串，“alg”或“diff”，缺省为“alg”说明：该函数对ps,ds构成的拟代数簇进行投影操作，消去pord中的变元， 变元列表降序排列，pord由ord的前一部分变元组成，多项式列表无序， “alg”表示代数情形，“diff”表示微分情型(包括常微和偏微)， 输出是一个拟代数簇的列表(并集)，每个拟代数簇表示为两个列表 的列表，分别存放等于零的多项式和不等于零的多项式。示例

12、：(a) 代数情形：ps:=x3*(x5人2-(x4-xl)人2)-2*xl*x5*(x4-xl),x3*(x5人2-(x4-x2)人2)-2*x2*x5*(x4-x2); ds:=(x1*(x5-x3)+x3*x4)*(x3*(x5-x3)-x2*x4)+(x2*(x5-x3)+x3*x4)*(x3*(x5-x3)-x1*x4); ord:=x5,x4,x3,x2,xl;pord:=x5,x4;proj(ps,ds,ord,pord);The result of projection is: (The Total Time is: 78l milliseconds) x1-x2,x3,x3A

13、2+x1A2,x1-x2,x3,x1(b) 常微情形：depend(x,y,t);ps:=x1-u*xA2-uA2*x,y-xA2;ds:= ;ord:=x,y,u;pord:=x;proj(ps,ds,ord,pord,diff);The result of projection is: (The Total Time is: 203 milliseconds) 4*uA2*yA3-4*uA4*yA2+4*y1*uA2*y-y1A2,y,u,2*uA2*y-y1,y,1, u,y1,y(c) 偏微情形：depend(x,y,t,v);ps:=x1,0A2+x+1,x1,1A2*y1,0,x0

14、,1A2-yA2;ds:=;ord:=y,x;pord:=y;proj(ps,ds,ord,pord,diff);The result of projection is: (The Total Time is: 47 milliseconds)xO,l,x+xl,O人2+l,xl,02. tprove调用：tprove(ps,ds,cs,ord,pord,flag) 参数： ps 是一个多项式列表ds 是一个多项式列表 cs 是一个多项式列表 ord 是所有变元的列表 pord是证明过程中要消去的变元列表 flag是一个字符串，“alg”或“diff”，缺省为“alg” 说明：该函数用投影法证

15、明几何定理。ps,ds是定理的假设部分，ps中多项式为零，ds中多项式不为零， cs 是定理的结论部分， cs 中多项式为零, 变元列表降序排列，pord由ord的前一部分变元组成，多项式列表无序， “alg”表示代数情形，“diff”表示微分情型(包括常微和偏微)， 输出的形式和函数 proj 完全相同，表示当定理错误时，有关变元 ord/pord 的充要条件。如果定理完全正确，结果为空集。示例：(a) 代数情形 (证明定理错误时有关变元 ul,u2,u3 的充要条件) ps:=x4*x3-x2*x3+xl*x3,2*ul-x6*xl,x4*x3-x2*x3-x6*x4+x6*x2+2*u2

16、,-xl*x3+2*u3;ds:=; cs:=-ul-u2+u3;ord:=x6,x4,x5,x3,x2,xl,u3,u2,ul; pord:=x6,x4,x5,x3,x2,xl;tprove(ps,ds,cs,ord,pord);The sufficient and necessary conditions for the theorem to be false: (The Total Time is: 453 milliseconds) u3,ul,ul+u2,ul,u3,u2(b) 微分情型(证明由Kepler公式推Newton公式错误时有关变元x,y的充要条件) depend(a,r,

17、y,x,t);ord:=a,r,y,x;pord:=a,r;ps:= rA2-xA2-yA2, aA2-x2A2-y2A2, x* y2 - x2*y, wronskian(l,x,r,t) ;ds:=a,wronskian(l,x,y,t); cs:=wronskian(l,a*rA2,t);tprove(ps,ds,cs,ord,pord,diff);The sufficient and necessary conditions for the theorem to be false: (The Total Time is: 2938 milliseconds),03. tderivate

18、调用：tderivate(ps,ds,ord,pord,flag)参数： ps 是一个多项式列表ds 是一个多项式列表ord 是所有变元的列表 pord 是推导过程中要消去的变元列表，即新公式中不含有的变元 flag是一个字符串，“alg”或“diff”，缺省为“alg”说明：该函数用投影法推导出有关变元ord/pord的新的几何公式。ps,ds 是新公式的前提条件， ps 中多项式为零， ds 中多项式不为零， 变元列表降序排列，pord由ord的前一部分变元组成，多项式列表无序, “alg”表示代数情形，“diff”表示微分情型(包括常微和偏微)，输出的形式和函数proj完全相同，等于零的

19、多项式表示新公式，相应的 不为零的多项式为该公式成立的条件示例：(a) 代数情形(推导出有关变元ul,u2,u3的几何公式) ps:=x4*x3-x2*x3+x1*x3,2*u1-x6*x1,x4*x3-x2*x3-x6*x4+x6*x2+2*u2,-xl*x3+2*u3;ds:=u3;ord:=x6,x4,x5,x3,x2,xl,u3,u2,ul; pord:=x6,x4,x5,x3,x2,xl;tderivate(ps,ds,ord,pord);The new formulas are: (The Total Time is: l56 milliseconds) ul+u2-u3,ul+u

20、2(b) 微分情型(推导出有关变元u,y的几何公式) depend(x,y,t);ps:=x1-u*xA2-uA2*x,y-xA2;ds:= ;ord:=x,y,u;pord:=x;tderivate (ps,ds,ord,pord,diff);The new formulas are: (The Total Time is: 203 milliseconds) 4*uA2*yA3-4*uA4*yA2+4*y1*uA2*y-y1A2,y,u,2*uA2*y-y1,y,1, u,y1,y4. simpproj调用：simpproj(qvs,ord)参数： qvs 是一个拟代数簇的列表(并集)，每

21、个拟代数簇表示为两个多项式 列表的列表，分别存放等于零的多项式和不等于零的多项式， ord 是所有变元的列表说明：该函数用来进一步化简函数proj的计算结果qvs，使得化简后的拟代数簇列表中，每一个拟代数簇分支都不包含在其余的分支的并集中。 输出的化简结果是qvs的子集合。变元列表降序排列。示例：ord:=x10,x9,x8,x7,x6,x5,x2,x1,u3,u2,u1;qvs:= u1+1, -x3+x1, u3, u2, u3-u1, x1, 1, x1, u3, u1, -x3+x1, u3, -x3+x1, u3, u2, x1, u3, u1, u2-u3, u2, u2-u3+u

22、1, u1*x1+u2*x3, u1+u2 ;simpproj(qvs,ord);Time is: 3750 millisecond. u2,u3-u1,x1,1,x1,u3,x1-x3,u3,-u3+u2+u1,u1*x1+x3*u2,u2+u15. simpwsolve调用： simpwsolve(css,ord)参数： css 是一个多项式列表的列表，表示特征列集合ord 是所有变元的列表说明：该函数用来进一步化简函数wsolve的计算结果css，使得化简后的 特征列集合中，每一个特征列分支都不包含在其余的分支的并集中。 这里特征列的零点不包括初式的零点。输出的化简结果和函数proj的输

23、出形式相同。只是和css 一样每个拟代数簇 中的特征列是降序排列。变元列表降序排列。示例：css:= w-3, -1+x, -2+z, y-2, t-1, q+1, -1+2*u,w-3, -1+x, -2+z, y+1, t-1, q+1, -1+2*u,u*w+u-2, -1+x, -2+t*z, u*t*y-2*u-u*y2+2, 2*u-tA2, q*u+2-3*u,w-3, -1+x, 2+z, y-1, t+1, q+1, -1+2*u,w-3, -1+x, 2+z, y+2, t+1, q+1, -1+2*u;ord:=w,x,z,y,t,q,u;simpwsolve(css,o

24、rd);Time is: 172 millisecond. u*w+u-2,x-1,t*z-2,-u*yA2+u*t*y-2*u+2,-tA2+2*u,u*q-3*u+2,u,t5.4非线性微分方程孤波解的自动推导双曲正切方法和函数包twavesol 简介非线性数学物理方程的行波解可以很好地描述各种自然现象，例如振动、传播波 以及孤立子等，因此它在非线性科学中起着非常重要的作用。双曲正切方法是寻求非线 性演化方程一类特殊行波解，即孤波解的一种非常有效的方法。该方法是建立在大多数 的孤波解都具有双曲函数形式的基础之上，其本质在于对所求演化方程的解作了先验假 设，即孤波解是一种局部化解，它可以表示

25、为双曲正切函数的多项式。寻找这种类型的 精确解可将非线性演化方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题。函数包 twavesol 是双曲正切方法的一个实现，它可给出所求解非线性演化方程的 Tanh 多项式 形式的孤波解。输入的非线性演化方程要求是未知函数及其导数的多项式形式，系数可允许为任意常 数，即输入的方程中可包含自由参数。twavesol将给出这些自由参数满足的条件以及在 此种条件下方程所拥有的所有可能的 tanh 多项式形式的孤波解。twavesol调用：twavesol(ps,num)参数： ps 是一个多项式列表num 是一个整数说明：多项式列表无序， num 的取值范围为：

26、1=numdepend(u,t,x); twavesol(u1,0+u*u0,1+p*u0,3,1);The 1 required solution(s) is(are) listed as follows: u(t,x)=aO+tanh(-c*t+kl*x)*al+tanh(-c*t+kl*x)人2*a2 where:a0=(8*k1A3*p+c)/(k1), a1=0, a2= a2= -12*k1A2*p, kl : free, c : free,p : free.2. Aceive-dissipative dispersive equation depend(u,t,x);twaves

27、ol(u1,0+u*u0,1+u0,2+p*u0,3+u0,4,4);The 7 required solution(s) is(are) listed as follows:u(t,x)=aO+tanh(-c*t+kl*x)*al+tanh(-c*t+kl*x)人2*a2+tanh(-c*t+kl*x)人3*a3where:kl=(-sqrt(-304)/(l52),a0=(-l52*c)/(sqrt(-304),al=(-45*sqrt(-304)/(l444),a2=0,a3=(l5*sqrt(-304)/(l444),c : free,the parameters constraint

28、s are:p=0kl=(l)/(2), a0=2*c-9, al=-l5, a2=l5, a3=l5,c : free,the parameters constraints are:p=-4kl=-l/2I, a0=2I*c+ll, al=-l5I, a2=-l5, a3=l5I,c : free,the parameters constraints are:p=-4kl=(l)/(2), a0=2*c+9, al=-l5, a2=-l5, a3=l5,c : free,the parameters constraints are:p=4kl=(-sqrt(752)/(376),al=(-4

29、5*sqrt(752)/(8836),a0=(-6644672*c-l5*sqrt(752)*sqrt(27072)/(l7672*sqrt(752), a2=(l5*sqrt(27072)/(l7672), a3=(-l5*sqrt(752)/(8836),c : free,the parameters constraints are:p=(-sqrt(27072)/(94) kl=(sqrt(752)/(376), al=(45*sqrt(752)/(8836),a0=(6644672*c+l5*sqrt(752)*sqrt(27072)/(l7672*sqrt(752),a2=(-l5*

30、sqrt(27072)/(l7672), a3=(l5*sqrt(752)/(8836),c : free,the parameters constraints are:p=(sqrt(27072)/(94)k1=(-sqrt(1168)/(584), a1=(-75*sqrt(1168)/(21316), a0=(-24897088*c-15*sqrt(1168)*sqrt(74752)/(42632*sqrt(1168), a2=(15*sqrt(74752)/(42632), a3=(-15*sqrt(1168)/(21316), c : free,the parameters constraints are:p=(-sqrt(74752)/(146)