数学必修五讲义

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1、 第一章 解三角形正弦定理过程与措施：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系教学重点正弦定理的摸索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程课题导入如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有如何的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一种等式把这种关系精确地表达出来？ C B讲授新课 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就一方面来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函

2、数中正弦函数的定义，有，又, 则 从而在直角三角形ABC中， 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式与否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如图 当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B 思考：与否可以用其他措施证明这一等式？由于波及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。过点A作， 由向量的加法可得 则 A B ，即同理，过点C作，可得 从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。从上面的研探过程，可得如下定理正弦定理：在一种三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R定

3、理的变形（1） 正弦定理阐明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数使得_（2）等价于，糖水原理 (3)比例关系（4）三个内角和为，即（5） ， ， ，（6） ， ；（4）（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：（6）在锐角三角形中，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其她边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其她角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其她的边和角的过程叫作解三角形。典型例题例1 在中，已知，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，

4、；根据正弦定理，例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，由于，因此，或 当时， ，应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，也许有两解的情形。已知三角形的任意两角及其一边1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2 中，若，则_3 中，若，则_4 中，则（ ）A B C D或5在中，角所对的边分别为a，b，c，若，则角的大小为 已知三角形的任意两边与其中一边的对角1一种三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2 在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.3在中，若，则_4 在中，则

5、_补充如图ABC中，点D在边 BC上，且BD = 2，DC = 1，B = 60，ADC = 150，求AC的长及三个内角和为，即1在ABC中，已知，则的值为（ ）A B C 或 D 2已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .3在ABC中，若C = 60，则cos A cos B的取值范畴是( )A. B. C. D. 以上都不对4若ABC的三内角A，B，C满足 sin A = 2sinCcos B，则ABC为 三角形.5ABC中，下述体现式：sin(A + B)+ sinC；cos(B + C)+ cosA；，其中表达常数的是(

6、 )A. 和 B. 和 C. 和 D. 6ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则ABC 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2，sincos，sin Bsin Ccos2，求A、B及b、c.8若ABC的三内角A，B，C成等差数列，则cos2 A + cos2 C的最小值为 补充 在中，分别为角的对边，且（1）求的度数（2）若，求和的值边化角 角化边的应用1在ABC中，若，则ABC是（ ）A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形2在

7、ABC中，若a = 2b sin A，则B为( )A. B. C.或 D.或3在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状补充 在中，已知和时，解的状况如下：1若ABC满足下列条件： a = 4，b = 10，A = 30； a = 6，b = 10，A = 30； a = 6，b = 10，A = 150； a = 12，b = 10，A = 150； a + b + c = 4，A = 30，B = 45.则ABC恰有一种的是( )A. B. C. D. 2在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A. B. C. D. 3满足条件a=4,b=,A=的ABC的个数是

8、 ( )A. 1个 B. 2个 C. 无数个 D. 不存在4在中，,若这个三角形有两解，则的取值范畴是（ ） 余弦定理过程与措施：运用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用千岛湖位于国内浙江省淳安县，因湖内有星罗棋布的一千多种岛屿而得名，既有三个岛屿A、B、C，岛屿A与B之间的距离因AB之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC、BC的距离分别为6km和4km，且AC、BC的夹角为120度，问岛屿AB的距离为多少？（1）已有的正弦定理可否解决该问题

9、（2）已知两边及夹角求第三边，当夹角为多少度时我们可以求出？（3）以锐角三角形为例摸索三角形如何求出第三边钝角三角形中也有这样的边角关系？试一试：推导措施2推导措施31得出余弦定理2从余弦定理，又可得到如下推论： 3若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2 若A为锐角，则 cosA0, 从而b2+c2a2 若A为钝角，则 cosA0, 从而b2+c2a2例子 若2,3,x为三边构成一种锐角三角形，则x的范畴为 已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范畴是_钝角三角形的边长是三个持续自然数，则三边长为 在ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC的形状是（ ）A锐角三角形 B直角

10、三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形阐明：1余弦定理与正弦定理同样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.2等式具有四个量，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。3根据已知量与未知量的性质可以懂得，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？运用余弦定理及推论可以解决如下两类三角形的问题：已知三边求三角形的三个角；已知两边及其夹角求三角形的其她边与角。这两种类型问题在有解时都只有一种解，把“边、边、边”和“边、角、边”鉴定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。 余弦定理基本应用1已知ABC的三边长a=3，b

11、=4，c=，求三角形的最大内角.2在ABC中，a:b:c=2:(+1),求A、B、C。3已知在ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=( )A 2 B 4 C 7 D 94在ABC中，若a=+1,b=-1,c=,则ABC的最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 15005在ABC中，a:b:c=1:2,则A：B：C=（ ） A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：26中，求及正弦定理变形与余弦定理结合1在ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则B的大小是（ ）A. B. C. D. 或2 在ABC中，若sinA：sinB：sinC

12、=3：2：4,则cosC的值为 ( )A. B. C. D. 考察正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_（2）在中，若，则_（3）在中，若，则_余弦定理推论应用1在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且，则A等于（ ）A. B. C. D. 2在ABC中，已知，则角A为（ ）A B. C. D. 或3已知 a，b，c 是ABC三边的长，若满足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab，则C的大小为( )A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4在ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断ABC的形状5在A

13、BC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为 三角形形状的鉴定：在ABC中，acosA=bcosB,试拟定此三角形的形状。运用多种措施求解解三角形综合问题1在中，角的对边分别为、，求2在中，角的对边分别是，已知（1）求的值； （2）若，求边的值3（1）求的值； （2）若，求边的值 解三角形应用举例教学难点实际问题中抽象出一种或几种三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解根据题意建立数学模型，画出示意图复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形 解决实际测量问题的过程一般要充足认真理解题意，对的做出图形

14、，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解解说例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)提问1：ABC中，根据已知的边和相应角，运用哪个定理比较合适？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？练习：两灯塔A、B与海洋观测站C的距离都等于a km,灯塔A在观测站C的北偏东30，灯塔B在观测站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可达到），设计一种测量A、B两点间距离的措施。分析

15、：这是例1的变式题，研究的是两个不可达到的点之间的距离测量问题。一方面需要构造三角形，因此需要拟定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的措施，分别求出AC和BC，再运用余弦定理可以计算出AB的距离。训练：若在河岸选用相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60例3、AB是底部B不可达到的一种建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的措施。分析：求AB长的核心是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观测A的仰角，就可以计算出AE的长。例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点

16、A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后达到B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后达到海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发达到C,此船应当沿如何的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)例7 某巡逻艇

17、在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？练习 如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目的方向线的水平转角)为140的方向航行，为了拟定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后船达到C点，观测灯塔A的方位角是65，则货轮达到C点时，与灯塔A的距离是多少？解三角形应用2教学重点 推导三角形的面积公式并解决简朴的有关题目教学难点 运用正弦定理、余弦定理来求证简朴的证明题此前我们

18、就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一种体现公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表达？根据此前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，人们能推出其他的几种公式吗（1） （、分别表达、上的高）；三角形面积公式 （2）余弦定理如何与面积混合！例题1ABC的周长为20，面积为，A=，则BC边长为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 82在中，内角的对边长分别为，已知若的面积为，求的值.3 在ABC中，A=，b=1，且面积为，则（ ）4ABC 中，若

19、其面积 S =(a2 + b2 - c2)，则C =( )A. B. C. D. 5在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.6若ABC的三边长分别为4，5，7，则ABC的面积 =7在ABC中，已知a = 2，b = 2，ABC的面积S = ，求第三边 c 8在ABC中，已知BC=8，AC=5，ABC的面积为12，则cos2C= 本章知识构造框图用正弦定理知两角及一边解三角形知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）解三角形用余弦定理知三边求三角懂得两边及这两边的夹角解三解形解三角形的应用举例 两点间距离的测量物体高度的测量角度的测量 第二章 数列数列的概念与简朴表达

20、法过程与措施：通过对一列数的观测、归纳，写出符合条件的一种通项公式，培养学生的观测能力和抽象概括能力教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点 根据某些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；中国体育代表团参与历届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。15,5,16,16,28,32,51,38十三世纪意大利数学家裴波那契通过对大多数花朵的花瓣进行观测发现，大多数花朵的花瓣数目是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89向日葵不是21瓣，就是34瓣。雏菊都是34，55，或8

21、9瓣。其她数目则很少浮现。如上几列数的共同特点是什么？ 数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果构成两个数列的数相似而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一种数在数列中可以反复浮现. 数列的项：数列中的每一种数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项结合上述例子，协助学生理解数列及项的定义. 中，这是一种数列，它的首项是

22、“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号与否有一定的相应关系？这一关系可否用一种公式表达？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的相应关系：项 序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一种公式：来表达其相应关系即：只要依次用1，2，3替代公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其她例子，练习找其相应关系 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一种公式来表达，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一种数

23、列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检查某数与否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表达了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表达通项公式反映了一种数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便拟定了，代入项数就可求出数列的每一项6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不不不小于它的前一项的数

24、列。递减数列：从第2项起，每一项都不不小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项不小于它的前一项，有些项不不小于它的前一项的数列数列是有顺序的，按照一定规律排列的1下列数列（1） 1，（2）1是同一种数列吗？2下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）;（2）;（3）.3.下面数列中递增数列是 ，递减数列是 ，常数数列是 ，摆动数列是 （1）;（2）;（3）;（4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01;（5）;（6）精确到的局限性近似值与过剩近似值分别构成数列.例4根据下面各数列的前几项，写

25、出数列的一种通项公式：写出下面数列的一种通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）（2）（3）;（4）;（5）;（6）.练习 写出下面数列的一种通项公式，使它的前几项分别是下列各数：1. ; 2. ;3. ;4. , , , , , ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,;6. 2, 6, 12, 20, 30, 42,； 7. 8 9 总结 1. 理解数列及其有关概念，理解数列的简朴分类;2. 理解数列的通项公式，学会观测、归纳、求简朴数列的通项公式;3. 理解数列是一种特殊的函数，理解数列的函数性质 . 简朴表达法 通项公式法 递推公式法 观测钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型

26、 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：141+3 第2层钢管数为5；即：252+3 第3层钢管数为6；即：363+3 第4层钢管数为7；即：474+3 第5层钢管数为8；即：585+3 第6层钢管数为9；即：696+3 第7层钢管数为10；即：7107+31. 数列的函数性质数列是一种特殊的函数，数列可以当作以 为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时相应的一列_ ；其图象为： .2数列的递推公式如果已知数列的首项或前几项，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一种 表达，那么这个公式叫作数列的递推公式.（1） 运用递推公式可以给出数列；（2）通项公式直接反映 之间的关系；而递推

27、公式间接反映项与项数之间的关系，它是 项之间的推导关系.典型例题类型一 数列的单调性及最大（小）项例1 已知数列的通项公式，考察这个数列的单调性，并求出它的最大项.类型二 根据数列的递推公式求数列的通项公式例2 （1） 已知数列满足，写出数列的前6项，并猜想出数列的一种通项公式.（2）已知数列满足，写出数列的一种通项公式.（3）已知数列满足.求写出数列的一种通项公式.类型三 数列的周期性例3. 已知数列满足则（1）写出数列的前5项；（2）猜想该数列的规律例4已知数列中，能使的的值（A）14 (B)15 (C)16 (D)17.练习1. 已知数列中1，1，2，3，5，8，13，34，53，的递推

28、公式是.（A） （B） （C） （D） .2.在数列中，则（A） （B） （C） （D）3. 已知数列的一种通项公式为（nN*）（1）画出数列的图象；（2）判断数列的单调性.4. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 3, 32 (nN). (2) .(3) 1, (nN)；5.数列中，（nN*）其中f(x)=（1）求。（2）猜想数列的一种通项公式.等差数列1经历等差数列的简朴产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点 等差数列的性质在平常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些人们后来会接触得比较多

29、的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。在现实生活中，我们常常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,，在澳大利亚悉尼举办的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设立了7个级别。其中较轻的4个级别体重构成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一种水库的水位为18cm，自然放水每天水位减少2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位构成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

30、国内现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：观测：请同窗们仔细观测一下，看看以上数列有什么共同特性？共同特性：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一种常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特性的数列一种名字等差数列等差数列：一般地，如果一种数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一种常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字

31、母“d”表达）。 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列,若=d (与n无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。公式的推导：累加法2等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：由此归纳等差数列的通项公式可得：由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式 d=解说例1 求等差数列8，5，2的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？例2 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列与否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么

32、例3 例4在等差数列中，则的值为练习1求等差数列1,4，7。的第10项；301是不是该数列的项，如果是，是第几项？2（1）求等差数列10,7，4。的第16项；305是不是该数列的项，如果是，是第几项？（2）求等差数列1,-2.5，-6。的第20项；-106是不是该数列的项，如果是，是第几项？3等差数列中，等差数列2一方面回忆一下上节课所学重要内容：1等差数列：一般地，如果一种数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一种常数，即=d ，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表达） 2等差数列的通项公式： (或=pn+q (p、q是常数)3有几种措施

33、可以计算公差 d= d= d=问题：如果在与中间插入一种数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A ，即：反之，若，则A-=-A 由此可可得：成等差数列等差中项性质特殊性质在等差数列中，若m+n=p+q，则，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 例 1在等差数列中,若，则的值等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.3002 若成等差数列，则x的值等于（ ） A.0 B. C. 32 D.0或32 等差数列常用的鉴定措施1定义法：an1and(常数) 2等差中项：2an1anan2，证明三个数a，b，c 成等差数列，一般运用等差中项证明通项公式为

34、n 的一次函数：anknb(k，b 为常数)设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）举例补充等差数列求和一种堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V形架上共放着多少支铅笔？一次数学课上，教师让学生练习算数。于是让她们一种小时内算出1+2+3+4+5+6+100的得数。全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，由于她想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）一共有50个101，因此50101就是1加到一百的得数。后来人们把这种简便算法称作高斯算法倒序

35、相加法的应用简介1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的对的性 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式规定必须具有三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式规定必须已知三个条件： （有时比较有用）典例1典例21等差数列中, ,则此数列前20项的和等于2如果等差数列的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式3在等差数列中，前15项的和 ，为（ ）A.6 B.3 C.12 D.4 4一种等差数列前项和为，后项和为，所有项和为，则这个数列的项数为A. B. C. D. 等差数列的性质（1）当公差时，等差数列的通项公式是有关的一次函数，且斜

36、率为公差；前和是有关的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。等差数列前项和的最值问题对等差数列前项和的最值问题有两种措施:（1） 运用:当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 运用：由运用二次函数配措施求得最值时n的值例1已知等差数列，那么这个数列的前项和（ ）A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数例2 已知等差数列 那么这个数列的前项和（ ）A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数 D.

37、有最大值且是分数很重要！由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.1数列的前n项和，则_2设等差数列的前n项和公式是，求它的前3项，并求它的通项公式3设是数列的前n项的和，且，则是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列特殊的性质设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和。当项数为偶数时，推导过程例从前个正偶数的和中减去前个正奇数的和，其差为（ ）A. B. C. D. 例 已知等差数列的公差，那么A80，B120，C135，D160例当项数为奇数时，则（其中是项数为2

38、n+1的等差数列的中间项）推导例1 已知等差数列的公差，那么A80，B120，C135，D160等比数列重点：等比数列的定义，通项公式的猜想过程、理解难点：等比数列的通项公式的应用情景引入生活中实际的例子1, 细胞分裂问题，可以记作数列： 2, 取木棒问题可以记作数列： 3, 计算机病毒感染可以记作数列 ： 观测三组数列的共同特性1等比数列：一般地，如果一种数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一种常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比一般用字母q表达（q0），即：=q（q0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 成等比数列=q（,q0）2 隐含：任一

39、项“0”是数列成等比数列的必要非充足条件3 q= 1时，an为常数。2.等比数列的通项公式1: 累乘法由等比数列的定义，有：； 3.等比数列的通项公式2: 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式,它的图象是分布在曲线（q0）上的某些孤立的点。当，q 1时，等比数列是递增数列；当，等比数列是递增数列；当，时，等比数列是递减数列；当，q 1时，等比数列是递减数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是常数列。 q的特殊含义例1 一种等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项例2一种等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项 例3等比数

40、列中，那么它的公比 （ ）A. B. C. D. 例4等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 例5在等比数列中，且，则该数列的公比等于 例6 等比数列中，已知，求.1等比中项：如果在a与b中间插入一种数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=（a,b同号）如果在a与b中间插入一种数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。a,G,b成等比数列G=ab（ab0）中项性质总结2 等比数列的性质：若m+n=p+k，则例1下列各组数能构成等比数列的是 （ ）A. B. C. D. 2已知是等比数列，又知a2 a4+2a3 a5+

41、a4 a6=25，那么 （ ）A. B. C. D. 3设an是由正数构成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+ log3a10的值是（ ）A、5B、10C、20D、2或44在等比数列中，已知，则=_5已知三个数，成等比数列，其公比为3，如果，成等差数列，求这三个数。6已知等比数列a中，各项都是正数，且成等差数列，则 （ ）A.B. C. D等比数列的前n项和过程与措施：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和措施，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。教学重点 等比数列的前n项和公式推导教学难点 灵活应用公式解决有关问题国王对国际象

42、棋的发明者的奖励1、 等比数列的前n项和公式： 当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.公式的推导措施一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得 当时， 或 当q=1时，公式的推导措施二：有等比数列的定义，根据等比的性质，有即 （结论同上）环绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导措施三： （结论同上）等比数列的前n项和公式：当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式例1 求等比数列 的前10项的和.例2 的和例3 五洲电扇厂去年实现利税300万元，筹划在5年中每年比上年利税增长10%，问

43、从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少？（成果精确到万元）练习1已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1( )A16(14n)B16(12n) C(14n)D(12n)2若等比数列的前项和，则 （ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 来3在等比数列中，公比，前项和，求首项和项数4在等比数列an中，若a1a2a38，a4a5a64，则a13a14a15 ，该数列的前15项的和S15 .5在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 6在等比数列中，则公比等于 （ ）A. 4 B. 2 C. D. 或4专项 数列的通项的求法1.定义法：等差数列通

44、项公式；等比数列通项公式。例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.练：已知数列试写出其一种通项公式：_2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。练：已知的前项和满足，求；数列满足，求；3作商法：已知求，用作商法：。如数列中，对所有的均有，则_4累加法：若求：。例3. 已知数列满足，求。已知数列满足，则=_5.累乘法：已知求，用累乘法：。例4. 已知数列满足，求。如已知数列中，前项和，若，求6.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：把原递推

45、公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。例5. 已知数列中，求.练已知，求；形如的递推数列都可以用倒数法求通项。例7：练：已知数列满足=1，求；已知数列中，a，a，a（nN）求a数列的求和一、教学目的：1纯熟掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学措施进行求和运算； 3熟记某些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的措施1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（牢记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3 错位相减法：例如例已知数列，求前n项和求数列前n项的和4裂项相消法

46、：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩余首尾若干项。常用拆项公式： ； ；求数列的前n项和5分组求和法：把数列的每一项提成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。数列的前n项和：， 第三章 不等式不等式与不等关系用不等式（组）表达实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究具有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。用不等式（组）对的表达出不等关系在现实世界和平常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和不小于第三边，等等。人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数

47、学中，我们用不等式来表达不等关系。下面我们一方面来看如何运用不等式来表达不等关系。例1：限速40km/h的路标，批示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是： 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是用不等式组来表达例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就也许相应减少本。若把提价后杂志的定价设为x 元，如何用不等式表达销售的总收入仍不低于20万元呢例2某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的规

48、定，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。如何写出满足所有上述不等关系的不等式呢？（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。初中，我们已经学习过不等式的某些基本性质。请同窗们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同步加上或减去同一种数，不等号的方向不变化；即若（2）不等式的两边同步乘以或除以同一种正数，不等号的方向不变化；即若（3）不等式的两边同步乘以或除以同一种负数，不等号的方向变化。即若不等式的基本性质：（1）（2）（3）（4）在如下各题的横线处合适的不等号：(1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)当ab0时，loga logb