几何光学的基本原理1

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1、第三章 几何光学的基本原理1 证明反射定律符合费马原理。证明：设平面为两种介质的分界面，光线从A点射向界面经反射B点，在分界面上的入射点为任意的C点；折射率分别为：n1、n2。（1）过A、B两点做界面的垂直平面，两平面相交为直线X轴，过C点做X轴的垂线，交X轴于C点，连接ACC、BCC得到两个直角三角形，其中：AC、BC为直角三角形的斜边，因三角形的斜边不小于直角边，根据费马原理，光线由A点经C点传播到B点时，光程应取最小值，因此在分界面上的入射点必为C点，即证明了入射光线A C和反射光线B C共面，并与分界面垂直。（2）设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），C点坐标为（x，

2、0），入射角为，反射角为，则光线由A传播到B的光程：若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：从图中得到： 也即：sin=sin，阐明入射角等于反射角，命题得证。2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。 解：3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm，求PQ的象PQ与物体之间的距离d2。 解：措施一PQ是通过两个平面折射所形成的象（1）PQ经玻璃板前表面折射成象：设PQ到前表面的距离为s1，n=1、n=1.5 由平面折射成象的公式： 得到：（2）PQ经玻璃板前表面折射成象：从图中得到：s2=

3、s1+d、n=1.5、n=1根据： 解出最后形成的象PQ到玻璃板后表面的距离：物PQ到后表面的距离：s=s1+d物PQ与象PQ之间的距离d2：d2 = s2-s =（）d=10cm措施二：参照书中例题的环节，应用折射定律解之。措施三：直接应用书中例题的结论：d2 =d（1-1/n）即得。4 玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。 解：（1）根据公式： 代入数据：A=600，n=1.6 解出最小偏向角：0= 46016（2）因： 则入射角：（3）若能使光线从A角两侧透过棱镜，则出射角i1

4、=900 有：n sini2= 1 sin900 = 1 解出：i2=38.680 从图中得到：i2 + i2= A 得到：i2 =21.320又有：sini1 = nsini2 解出最小入射角：i1 =350345 题图表达恒偏向棱镜，挑相称于两个300-600-900棱镜与一种450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来变化1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的途径传播，出射光线为r，求证：如果sin1=n/2，则2=1，且光束i与r互相垂直。解：当光线以1角在A点入射时，设折射角为，根据折射定律有：sin1 = nsin 因：sin1 = n/2

5、 计算得到：= 300 在C点的入射角为，从图中可看出：= 300 有：sin2 = nsin 得到：sin2 = n/2因：sin1 = sin2 = n/2 因此：1 = 2在三角形ADE中，ADE=1800 -1 -（900 -2）= 900阐明光束i与r互相垂直。6 高为5cm物体放在距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路图。解：已知：s=-12cm f=-10cm 根据：解出：s= -60cm 因： 解得：y= -25cm7 一种5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：已知：y

6、=5cm、s=-10cm、y=1cm 因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。根据： 代入： 解出：r=5cm因r=5cm 0 ，因此是凸面镜。8 某观测者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜她自己的象，她移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的她眼睛的象重叠在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观测者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm、焦距：f=10cm由：解出凸面镜成象的象距：s=8cm 此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重叠在一起

7、，则玻璃板应放在P与P的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一种与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d，折射率为n，试证明：放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相似。 解:设物体到凹面镜的距离s，当把玻璃板放入后，物体一方面通过玻璃板折射成象P1，再通过凹面镜反射成象P2，P1即为凹面镜的物，P1相对P点移动的距离经前面的证明懂得为d（n-1）/n，也即放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相似。10 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明

8、球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射率应为多少？解：此问题是单球面的折射成象，根据题意有：物距：s=-、物空间：n=1设象空间球体折射率为n，球面半径为R由： 得到：从而解出透明球体的折射率：11 有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：（1）从物体所成的象到球心之间的距离；（2）求象的横向放大率。 解：物体经玻璃球的左、右球面两次成象。左球面成象：n1=1、 n1=1.5、 r1=-4cm、s1=-6cm由： 解得左球面成象的象距：s1=-36cm，象在P点。横向放大率：右半球面成象：n2=1.5、 n2=1、 r2= 4cm、s2=-44cm 再由

9、：解出第二次成的象P到O2点的距离：s2=11cm横向放大率：最后所成的象到球心之间的距离：d= s2+ r =（11+4）cm = 15cm象的横向放大率：12 一种折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡，看上去一种正好在球心，另一种从近来的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。求两个气泡的实际位置。解：（1）看去正好在球心的气泡n1=1.53、 n1=1、 r1=-10cm、s1=-10cm由：解得象相应的物距：s1 =-10cm，阐明气泡在球心处。 图A（2）好象在表面与球心连线中点的气泡n2=1.53、 n2=1、 r2=-10cm、s2=-5cm再由： 解得象距：s2

10、 =- 6.047cm气泡到球心的距离:d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm 图B13 直径为1m的球形玻璃鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽视不计，求缸外观测者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。解: n =1.33、 n=1,设球面曲率半径为r,象距:s=r由：解得象相应的物距：s = r，阐明鱼在缸的中心处。横向放大率：是一种正立放大的虚象.14 玻璃棒一端成半球形，曲率半径为2cm，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，应用计算法和作图法求象的位置及横向放大率。解：已知：n =1.33、 n=1.5、r=2c

11、m、s=-8cm 根据： 解出：s=18.5cm或由： 计算得到物方、象方焦距： 由： 解得象距：s=18.5cm 横向放大率：15 有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求象点的位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。 解：因透镜放在同一种介质中，因此物方和象方焦距的绝对值相等。已知：n2=1.33 n1 =1. 5（1）凸透镜：两表面曲率半径：r1=10cm、r2=-10cm、物距：s=-20cm得到：由： 解得象距为：s=-41cm（2）凹透镜：两表面曲率半径：r1=-10cm

12、、r2=10cm、物距：s=-20cm得到：由： 解得象距为：s=-13.2cm 16 一凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中的焦距为136.8cm，问此透镜的折射率是多少?设水的折射率为1.33。若将此透镜放置在CS2中(CS2的折射率为1.62)，其焦距又为多少？解：根据薄透镜焦距的计算公式，设透镜的折射率为n，在折射率n=1的空气中时： 在n=1.33的水中：两式相比: 解出透镜的折射率为:n=1.54若把透镜放在n=1.62的CS2中：与空气的焦距相比：解出在CS2中，其焦距为：17 两片极薄的表玻璃，曲率半径分别为20cm和25cm，将两玻璃片的边沿粘起来，形成一内含空气的双凸透镜

13、，把它置于水中，求其焦距为多少？解：根据题意，透镜的折射率：n=1，两表面的曲率半径：r1=20cm、r2=-25cm，水的折射率为：n=1.33，代入：解出透镜的焦距为：，为一发散透镜。18 会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm，求：（1）与主轴成300角的一束平行光入射到每个透镜上，象点在何处？（2）在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm处各置一发光点，成象在何处？ 解：（1）根据题意做图如下。 图（1） 图（2）图（1）是凸透镜成象图，P是象点，在象方焦平面上，到焦点的距离为： P点的坐标：（10，5.8）图(2)是凹透镜成象图，象点P仍在象方焦平面上，但在透镜左方，到焦点的距离为： P点

14、的坐标：（-10，-5.8）（2）在凸透镜物方焦平面上放一物，象成于无穷远处。把物放在凹透镜的象方焦平面上，已知：s=-10cm，由： 解得象距为：s=-5cm，由：，解出：y=0.5cm象P点的坐标：（-5，0.5） 图（3） 图（4）19 如图（1）、（2）所示，MM分别为一薄透镜的主光轴，S为发光点，S为象，用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。 20 比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向刨开成两半构成，两半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用光阑挡住其间的空隙，这时在光屏上可观测到干涉条纹。已知点光源与透镜相距300cm，透镜的焦距f=50cm，两透镜拉开的距离t=1mm，光屏与透镜相距450

15、cm，用波长为632.8nm的激光做光源，求干涉条纹的间距。 解：点光源经两块透镜形成两个实象P1、P2，由物象公式：求得P1、P2到透镜的距离： 点光源到上半透镜主轴的距离y：，P1点到主轴的距离，则： 解得：也即P1、P2两点之间的距离：，与光屏的距离：干涉条纹的间距： 21 把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去，C的宽度为1cm，把余下的两部分粘起来，（见图）。如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求象的位置。解：把透镜按题意分切、对接后，在对物体成象时，可看做是两个透镜，上、下两半部分透镜的成象状况是对称的，上半部分透镜的成象光路如图所示，虚线为透镜主轴，点光源到主轴的距离为

16、根据： 已知：、解出象距： 横向放大率： 解得：22 一折射率为1.5的薄透镜，其凸面的曲率半径为5cm，凹面的曲率半径为15cm，且镀上银，如图，试证明：当光从凸表面入射时，该透镜的作用相称于一种平面镜。 解：该系统的成象过程是球面O1的折射、O2球面的反射和O1球面的折射三次成象。设物体与O1面的距离为s。O1面的折射成象：物距为、根据： 解得：23 题图所示的是一种等边直角棱镜和两个透镜所构成的光学系统，棱镜折射率为1.5，凸透镜的焦距为20cm，凹透镜的焦距为10cm，两透镜间的距离为5cm，凸透镜距棱镜边的距离为10cm，求图中长度为1cm的物体所成象的位置和大小。24 显微镜由焦距

17、为1cm的物镜和焦距为3cm的目镜构成，物镜与目镜之间的距离为20cm，问物体放在何处时才干使最后的象成在距离眼睛25cm处？作出光路图。25 题图中L为薄透镜，水平横线MM为主轴，ABC为已知的一条穿过这个透镜的光线的途径，用作图法求出另一条光线DE穿过透镜后的途径。 解：1 过O点做AB的平行线（副轴），交BC线于L点；2 过L点做主轴的垂线，即为透镜的象方焦平面；3 过O点做DE的平行线，交象方焦平面于H点；4 连接E、H，即得DE的共轭折射光线EH。26 题图是一厚透镜的主轴，H、H是透镜的主平面，S1是点光源，S是点光源的象，试用作图法作出任意物点S2的象的位置。27 双凸透镜的折射

18、率为1.5，r2的另一面镀银，物点P在透镜前主轴上20cm处，求最后象的位置并作出光路图。28 实物与光屏之间的距离为L，在中间某一种位置放一种凸透镜，可使实物的象清晰地投于光屏上，将透镜移过距离d后，屏上又浮现一种清晰的象。（1）试计算两个象的大小之比；（2）证明透镜的焦距为（l2 - d2）/4L；（3）证明L不能不不小于透镜焦距的四倍。解：（1）设透镜在位置1时，物体到透镜的距离为x，象到透镜的距离就为L-x，由薄透镜成象的物象公式，得到： （1）透镜移动到位置2时，物体到透镜的距离为：x+d，象到透镜的距离为：L-（x+d），有： （2）两式联立得到： 解出：则透镜在位置1成象时的物距： 象距：横向放大率： 在位置2成象时的物距： 象距：横向放大率： 两个象的大小之比：（2）将代入（1）式，即可得到： （3）（3）将（3）式化简：，因：0 d 0 即有：L 4f