高中数学教学设计大赛获奖作品汇编下册共8课含点评

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1、高中数学教学案例设计汇编（下 部）19、正弦定理（2） 一、教学内容分析本节内容安排在一般高中课程原则实验教科书数学必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一学时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同步，作为三角形中的一种定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理自身的应用又十分广泛。根据实际教学解决，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的摸索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种措施证明正弦定理，验证猜想的对的性，并得到三角形面

2、积公式；第三层次运用正弦定理解决引例，最后进行简朴的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的摸索、发现和证明，感受“观测实验猜想证明应用”这一思维措施，养成大胆猜想、善于思考的品质和敢于求真的精神。二、学情分析对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观测分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习积极性，多加此前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立

3、自主和合伙交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充足自由体现、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐渐培养学生发现问题、摸索问题、解决问题的能力和发明性思维的能力。四、教学目的：1让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的摸索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观测，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明措施，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2通过对实际问题

4、的摸索，培养学生观测问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养发明性思维的能力。3通过学生自主摸索、合伙交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生敢于摸索、善于发现、不畏艰苦的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。4培养学生合情合理摸索数学规律的数学思想措施，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简朴应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。六、教学过程：（一）

5、结合实例，激发动机师生活动：教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？学生：思考提出测量角A，C 教师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你 （图1）有措施解决吗？学生：思考交流，画一种三角形，使得为6cm， ，量得距离约为4.9cm，运用三角形相似性质可知AB约为490m。教师：对，较好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，人们还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以

6、求另两边及第三个角。教师：引导，是斜三角形，能否运用解直角三角形，精确计算AB呢？学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生论述，教师板书。解：过作于（图2）在中，在中，教师：表达对学生赞赏，那么刚刚解决问题的过程中，若，能否用、表达呢？教师：引导学生再观测刚刚解题过程。学生：发现，教师：引导，在刚刚的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有，。教师：引导，我们习惯写成对称形式，因此我们可以发现，与否任意三角形均有这种边角关系呢？设计意图：爱好是最佳的教师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生平常生活中的实际问

7、题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一种猜想性的结论猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生发明性思维能力。（二）数学实验，验证猜想教师：给学生指明一种方向，我们先通过特殊例子检查与否成立，举出特例。（1）在ABC中，A，B，C分别为，相应的边长a：b：c为1：1：1，相应角的正弦值分别为，引导学生考察，的关系。（学生回答它们相等） （2）、在ABC中，A，B，C分别为，相应的边长a：b：c为1：1：，相应角的正弦值分别为，1；（学生回答它们相等） （3）、在ABC中，A，B，C分别为，相应的边长a：b：c为1：2，

8、相应角的正弦值分别为，1。（学生回答它们相等）（图3） （图3）教师：对于呢？BaACcb(图4)学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有，又,则从而在直角三角形ABC中，教师：那么任意三角形与否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）学生：分组互动，每组画一种三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、的近似值。 教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、值仍然保持相等。我们猜想：=设计意图：让学生体验数学实验，激

9、起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。（三）证明猜想，得出定理师生活动：教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想措施证明呢？前面摸索过程对我们有无启发？学生分组讨论，每组派一种代表总结。（如下证明过程，根据学生回答状况进行论述）学生：思考得出在中，成立，如前面检查。在锐角三角形中，如图5设，作：，垂足为在中，（图5）在中，同理，在中， 在钝角三角形中，如图6设为钝角，作交的延长线于（图6）在中，在中，同锐角三角形证明可知 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一种三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即尚有其

10、他证明措施吗？学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，而由图中可以看出：，=等式中均除后来可得， 即。教师边分析边引导学生，同步板书证明过程。(图7)ABCDEFbac（图7） 在刚刚的证明过程中人们与否发现三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式学生：得到三角形面积公式教师：人们尚有其她的证明措施吗？例如：、都等于同一种比值，那么它们也相等，这个究竟有无什么特殊几何意义呢？（图8）学生：在前面的检查中，中，恰为外接接圆的直径，即，因此作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。证明：持续并延长交圆于， 在中，即同理可证：

11、，教师：从刚刚的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何措施证明正弦定理，能否运用其她知识来证明正弦定理？例如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，与否可以运用向量积来证明正弦定理呢？学生：思考（联系作高的思想）得出：在锐角三角形中，作单位向量垂直于，（图9）即同理：对于钝角三角形，直角三角形的状况作简朴交代。教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有爱好的同窗回家再摸索。设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生运用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。（四）运用定理

12、，解决引例师生活动：教师：目前人们再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：立即得出在中，（五）理解解三角形概念设计意图：让学生理解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角、和它们的对边、叫做三角形的元素，已知，三角形的几种元素，求其她元素的过程叫做解三角形。设计意图：运用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更以便，更简朴，激发学生不断摸索新知识的欲望。（六）运用定理，解决例题师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；如果已

13、知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。师生：例1的解决，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考重要是突出主体，教师板书的目的是规范解题环节。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其她元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角C，再由正弦定理求其她两边。例2：在中，已知，解三角形。例2的解决，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中档学生解说解题思路，其她同窗补充交流学生：反馈练习（教科书第5页的练习）用实物投影仪展示学生中解题环节规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”

14、，“我要研究”的积极学习。（七）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的重要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想措施。（2）正弦定理的应用范畴：已知三角形中两角及一边，求其她元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其她元素。（3）分类讨论的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言体现能力。（八）作业设计作业：第10页习题1.1A组第1、2题。思考题：例2：在中，已知，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观测解的状况并解释浮现一解，两解，无解的因素。课外链接：课后通过查阅有关书籍，上网搜索，

15、理解有关正弦定理的发展及应用（有关网址：.com）七、设计思路：本节课，学生在不知正弦定理内容和证明措施的前提下，在教师预设的思路中，学生积极积极参与一种个有关联的探究活动过程，通过“观测实验归纳猜想证明”的数学思想措施发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的爱好。另一方面，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“积极”中发展，在“合伙”中增知，在“探究”中创新。1、 结合实例，激发动机数学源于现实，从学生平常生活中的实际问题引入，激发学生学习的爱好，引导启发学生运用已有的知识解决新的问题，措施一通过相似三角

16、形相似比相等进行计算，措施二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观测、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐渐形成创新意识。2、数学实验，验证猜想通过特例检查，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的爱好，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。附一：实验报告单组长:成员：实验目的研究三角形中各边和它对角的正弦值的比(，)与否相等。实验器材计算器，直尺，量角器，硬

17、纸板（由教师统一发）实验措施画一种任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。实验内容三边：a= b= c= 三角：A= B= C= 计算：= = = （精确到小数点后两位）结论：福安一中 陈桢仔 林旭点评：本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标注重过程与措施的理念，克服了老式教学只注重结论的倾向。一方面，运用解决一种可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其相应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数

18、学的爱好，同步让学生体验了“观测实验归纳猜想证明”的数学思想措施，经历了知识形成的过程，符合新课标注重过程与措施的理念。另一方面，在解决引例中的测量问题时运用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基本上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的措施一、措施二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分派上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，挥霍时间。总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发

19、引导下，以学生独立自主和合伙交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充足自由体现、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观测实验猜想证明应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐渐培养学生发现问题、摸索问题、解决问题的能力和发明性思维的能力。20、正弦定理（3）一、教学内容分析“正弦定理”是一般高中课程原则数学教科书数学（必修5）（人教版）第一章第一节的重要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三

20、角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是如何发现的？其证明措施是如何想到的？尚有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而的确又是学生所关怀的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一学时，其重要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，并且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和发明的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。二、学生学习状况分析学生在初中已经学习理解直角三角形的内容，在必修4中，又学

21、习了三角函数的基本知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基本，同步又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是有关任意三角形边角关系的重要定理之一，课程原则强调在教学中要注重定理的探究过程，并能运用它解决某些实际问题，可以使学生进一步理解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的爱好，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的重要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义觉得：“知识不是被动吸取的，而是由认知主体积极建构的。”这个观点

22、从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与她人（在教师指引和学习伙伴的协助下）协作，积极建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起协助和增进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目的1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的摸索，掌握正弦定理的内容及其证明措施。2、过程与措施：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观测、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等措施，体验数学发现和发明的历程。3、情感态度与

23、价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合伙和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导难点：正弦定理的推导六、教学过程设计（一）设立情境运用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽。因上游爆发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你拟定转运方案。已知船在静水中的速度，水流速度。【设计意图】培养学生的“数学来源于生活，运用于生活”的思想意识，同步情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。（二）提出问题师：为了拟定转运方案，请同窗们设身处地地考虑有关的问

24、题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整顿后交给我。待各小组将问题交给教师后，教师筛选了几种问题通过投影向全班展示，经人们归纳整顿后得到如下的五个问题：1、船应开往B处还是C处？2、船从A开到B、C分别需要多少时间？3、船从A到B、C的距离分别是多少？4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？5、船应向什么方向开，才干保证沿直线达到B、C？【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合伙学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的爱好；问题通过教师的筛选，拟定研究的方向，体现教师的主导作用。师：谁能帮人们解说，应当如何解决上述问题？人们通过

25、讨论达到如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，因此重点是解决问题4，问题4与问题5是两个有关问题。因此，解决上述问题的核心是解决问题4和5。师：请同窗们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题相应的示意图，明确已知什么，规定什么，如何求解。生1：船从A开往B的状况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小及与的夹角：， 用计算器可求得船从A开往C的状况如图3，易求得，还需求及，我还不懂得如何解这两个问题。师：请人们思考，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角

26、，求另一边的对角和第三边。【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。师：请人们讨论一下，如何解决这两个问题？生3：不懂得。师：图2的情形人们都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中是直角三角形，而图3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接运用边角的关系求解。师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同步为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的措施来证明正弦定理

27、做好铺垫。生5：能，过点D作于点G（如图4）， ，师：较好！采用分割的措施，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形同样直接运用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有如何的数量关系？【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，发明一种教与学的和谐环境，既激发学生的学习爱好，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有助于学生和教师的共同成长。（三）解决问题1、正弦定理的引入师：请同窗们想一想，我们此前遇到这种一般问题时，是如何解决的？众学生：先从特殊事例入手，谋求答案或发现解法。可以以直角三角形

28、为特例，先在直角三角形中试探一下。师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同窗们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同窗们可以参与小组共同研究。（1）学生以小组为单位进行研究；教师观测学生的研究进展状况或参与学生的研究。（2）展示学生研究的成果。【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指引与观测，及时掌握学生研究的状况，为展示学生的研究结论做准备；同步通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。师：请说出你研究的结论？生7：师：你是如何想出来的？生

29、7：由于在直角三角形中，它们的比值都等于斜边。师：有无其他的研究结论？（根据实际状况，引导学生进行分析判断结论对的与否，或留课后进一步进一步研究。）师：对一般三角形与否成立呢？众学生：不一定，可以先用品体例子检查，若有一种不成立，则否认结论：若都成立，则阐明这个结论很也许成立，再想措施进行严格的证明。师：这是个好主意。那么对等边三角形与否成立呢？生9：成立。师：对任意三角形与否成立，目前让我们借助于几何画板做一种数学实验，【设计意图】引导学生的思维逐渐形成“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。2、正弦定理的探究（

30、1）实验探究正弦定理师：借助于电脑与多媒体，运用几何画板软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观测三角形形状的变化与三个比值的变化状况。结论：对于任意三角形都成立。【设计意图】通过几何画板软件的演示，使学生对结论的结识从感性逐渐上升到理性。师：运用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检查与生5的计算成果与否一致。生10：（通过计算）与生5的成果相似。师：如果上述结论成立，则在三角形中运用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简朴多了。【设计意图】与情境设立中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简朴应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。（2）点明

31、课题：正弦定理（3）正弦定理的理论探究师：既然是定理，则需要证明，请同窗们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形已验证；锐角三角形课堂探究；钝角三角形课后证明。【设计意图】通过度析，拟定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同步，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的措施同样，如图5作BC边上的高AD，则，因此，同理可得师：由于要证明的是一种等式，因此应从锐角

32、三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： 表达的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一种简捷的证明措施！【设计意图】点明此证法的实质是找到一种可以作为证明基本的等量关系，为后续两种措施的提出做铺垫，同步适时对学生作出合情的评价。师：在三角形中尚有哪些可以作为证明基本的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出某些等量关系，经讨论后拟定如下某些与直角三角形有关的等量关系也许有运用价值：三角形的面积不变；三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别运用这两种关系作为基本又得出了如下两种证法：证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是的三条高。则有，。证法三：如图7，设是外接圆的直径，则，同理

33、可证：【设计意图】在证明正弦定理的同步，将两边及其夹角的三角形面积公式及一并牵出，使知识的产生自然合理。师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的措施证明呢？师：任意中，三个向量、间有什么关系？生12：师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由转化成数量关系？生13：运用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。师：在两边同乘以向量,有,这里的向量可否任意？又如何选择向量?生14：由于两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量与三个向量中的一种向量（如向量）垂直，并且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请人们具体试一下，看尚有什么问题？教师参与

34、学生的小组研究，同步引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完毕了如下证明。证法四：如图8，设非零向量与向量垂直。由于，因此即因此，同理可得师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）师：有什么几何意义？生15：把移项可得，由向量数量积的几何意义可知与在方向上的投影相等。生16：我尚有一种证法师：请你到讲台来给人们讲一讲。（学生16上台板书自己的证明措施。）证法五：如图9，作，则与在方向上的投影相等,即 故，同理可得 师：运用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，措施非常简捷明了！【设计意图】运用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易立即想出来，教师通过设计

35、某些递进式的问题予以合适的启发引导，将很难想到的措施合理分解，有助于学生理解接受。（四）小结师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维措施，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，运用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，并且整个摸索过程我们也掌握了研究问题的一般措施。（五）作业1、回忆本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；2、思考：证法五与证法一有何联系？3、思考：能否借助向量的坐标的措施证明正弦定理？4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图】为保证学生有充足的时间来完毕观测、归纳、猜想、探究和证明，小结

36、的时间花得少且比较简朴，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做某些必要的准备。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“发明者”，使教学过程成为学生积极获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境问题”教学模式，即构建一种以情境为基本，提出问题与解决问题互相引起携手并进的“情境问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：创设一种现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于一般高中课程原则数学教科书数学（必修4）（人教版）第二章习题 B组第二题，我将其加工成一种具有实际意义的决策型问题）；启发、引导学生提出自己关怀的现

37、实问题，逐渐将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引起学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步摸索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目的问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有如何的关系？为理解决提出的目的问题，引导学生回到她们所熟悉的直角三角形中，得出目的问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。总之，整个过程让学生通过自主摸索、合伙交流，

38、亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“发明者”，切身感受了发明的苦和乐，从而使三维教学目的得以实现。大田一中 陈永民点评：本节课是典型合伙探究课，教师先设计一种实际问题引导学生讨论问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺利地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的奔腾，培养了学生提出问题、分析问题、数学建模的能力。为谋求解决问题的普遍措施，对三角形的边角关系进行摸索，在特殊状况（直角三角形）下得到正弦定理，又在等边

39、三角形和一般三角形中验证，坚定了结论成立的猜想，最后通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，运用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，学会研究数学问题的措施，学生成为正弦定理的“发现者”和“发明者”，切身感受了发明的苦和乐。在对具体的一般三角形验证成立的过程中，运用几何画板软件，不断变换三角形，观测上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。21、余 弦 定 理一、教学内容分析人教版一般高中课程原则实验教科书必修（五）（第2版）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过

40、运用向量的数量积措施推导余弦定理，对的理解其构造特性和体现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习状况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的结识。在此基本上运用向量措施探求余弦定理，学生已有一定的学习基本和学习爱好。总体上学生应用数学知识的意识不强，发明力较弱，看待与分析问题不进一步，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导措施的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的构造特性、体现形式的数学美时，可以激发学生热爱数学的思想感

41、情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学倡导学生动手实践，自主摸索，合伙交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和发明的历程，力求对现实世界蕴涵的某些数学模式进行思考，作出判断；同步规定教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合伙者转化，从课堂的执行者向实行者、探究开发者转化。本课竭力追求新课程规定，运用师生的互动合伙，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想措施及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、教学目的继续摸索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余

42、弦定理的两种体现形式，体会向量措施推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过有关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路措施及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程：教学环节合伙探究活动学情分析与设计意图知识回忆1、一般三角形全等的四种判断措施是什么？2、三角形的正弦定理内容，重要解决哪几类问题的三角形？回忆旧知，避免遗忘创设引入你能判断下列三角形的类型吗？1、以3，4，5为各边长的三角形是_三角形

43、以2，3，4为各边长的三角形是_三角形以4，5，6为各边长的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60，你能求c边长吗？引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。学生也许比较茫然，协助学生分析有关内容，从多角度看待问题，用实践进行检查。提出问题你可以有更好的具体的量化措施吗？协助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的解决工具，引起学生的积极讨论。引导学生从有关知识入手，选择简洁的工具。合伙探究ABC运用向量法推导余弦定理：如图：设，由三角形法则有同理，让学生运用相似措施推导，学生对向量知识也许遗忘，注意复习；在运用数量积时，角度也许浮现错误，浮现不同

44、的表达形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同步，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。归纳概括余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其她两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。知识归纳比较，发现特性，加强识记构造分析观测余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的相应表述，同步发现三边长的平方在余弦定理中同步浮现使学生明确相应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题知识联系余弦定理的推论：解决“边、边、边”问题措施应用如何精确地解答引入中的两个问题？如何运用已知条件判断三角形的形状？用精确的量化关系去解决问题，用边长去

45、判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。知识应用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，求解三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）例2：在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形（角度精确到1）应用数学知识求解问题加强计算器的运算功能，同步，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识措施在解三角形中的综合应用。知识深化例3：已知ABC中求c边长分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造有关C的方程求解。（3）比较两种措施的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。继续深化正弦、余弦定理，特别是余弦定理的方程思想求

46、解问题优越于余弦定理。并让学生初步发现“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。练习检测1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，她看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于她看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车的距离之间关系为（）A： B：= C： D：大小不拟定2、锐角ABC中b1，c2，则a取值为（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能判断这个三角形的形状吗？若呢？用练习去巩固所学知识，使学生逐渐形成良好的知识构造，加强数学知识应用能力的培养。课堂小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些知

47、识和措施？通过知识回忆，使学生各自体会收获。板书设计1、推导余弦定理及其推论2、例3、例43、练习指引4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识作业设计1、讨论余弦定理的其他解法设计思路。2、第11页A组3、4题巩固知识多角度看待问题七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。因此在余弦定理的体现方式、构造特性上重加指引，只有当学生对的地理解了余弦定理的本质，才干更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想措施）上达到教学效果。本

48、课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的解决工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，注重数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，结识数学与实际的联系，学会应用数学知识和措施解决某些实际问题。学生应用数学的意识不强，发明力局限性、看待问题不进一步，很大因素在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，协助学生建立自己的良好知识构造。福建漳平市第一中学李永彬点评：本

49、课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基本上而设立的教学内容，因此本课的教学有较多的解决措施。李教师从解三角形的问题出发，提出解题需要，引起认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习积极性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用向量知识推导出公式，在给出余弦定理的三个等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特性，便于学生识记，同步也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。命题的应用是命题教学的一种重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题

50、。因此，例题的精选、解说是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理知识。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培养理解决问题的能力。但李教师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。”这结论有点片面。本课在继承了老式数学教学模式长处，结合新课程的规定进行改善和发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同步，协助学生摸索自己的学习措施。22、等差数列一、教学内

51、容分析本节课是一般高中课程原则实验教科书数学5（人教版）第二章数列第二节等差数列第一学时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，并且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种措施通项公式和递推公式的基本上，对数列的知识进一步进一步和拓广。同步等差数列也为此后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想措施。二、学生学习状况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，通过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，她们的智力发展已到了形式运演阶

52、段，具有了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基本较弱，学习数学的爱好还不是很浓，因此我在授学时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合此类学生的心理发展特点，从而增进思维能力的进一步发展。三、设计思想1教法诱导思维法：这种措施有助于学生对知识进行积极建构；有助于突出重点，突破难点；有助于调动学生的积极性和积极性，发挥其发明性。分组讨论法：有助于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2学法引导学生一方面从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设立问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并

53、抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对多种能力的同窗引导结识多元的推导思维措施。用多种措施对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、摸索，同步鼓励学生大胆质疑，环绕中心各抒己见，把思路措施和需要解决的问题弄清。四、教学目的通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一种数列与否为等差数列，引导学生理解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想措施并能运用；并在此过程中培养学生观测、分析、归纳、推理的能力，在领略函数与数列关系的前提下，把

54、研究函数的措施迁移来研究数列，培养学生的知识、措施迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生积极摸索、敢于发现的求知精神；使学生结识事物的变化形态，养成细心观测、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同窗们的民族自豪感和爱国热情。五、教学重点与难点重点：等差数列的概念。等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。理解等差数列是一种函数模型。核心： 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的措施。六、教学过程教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景上节课我们学习了数列。在平常生活中，人口

55、增长、教育贷款、存款利息等等这些人们后来会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。倾听课堂引入摸索研究由学生观测分析并得出答案：在现实生活中，我们常常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,，在澳大利亚悉尼举办的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设立了7个级别。其中较轻的4个级别体重构成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一种水库的水位为18cm，自然放水每天水位减少2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可

56、以进行清理工作的那天，水库每天的水位构成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5国内现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（单位：元）构成了数列：10 072，10 144，10 21

57、6， 10 288，10 360。观测分析，刊登各自的意见引向课题发现规律思考：同窗们观测一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？观测分析并得出答案:引导学生观测相邻两项间的关系，得到： 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ； 由

58、学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一种常数（即：每个都具有相邻两项差为同一种常数的特点）。通过度析，激发学生学习的探究知识的爱好，引导揭示数列的共性特点。总结提高等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同窗们根据我们刚刚分析等差数列的特性，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一种数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一种常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差一般用字母d表达。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。学生认真阅读课本有关概念，找出核心字。通过学生自己阅读课本，找

59、出核心字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在与中间插入一种数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：由于a，A，b构成了一种等差数列，那么由定义可以懂得：A-a=b-A因此就有 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b构成的等差数列可以当作最简朴的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一种等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而

60、可得在一等差数列中，若m+n=p+q则 进一步探究，得到更一般化的结论引领学习更进一步的探究，提高学生的学习水平。总结提高等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表达出来呢？这是我们接下来要学习的内容。、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同窗们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生通过度析写出通项公式：这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+52），第4项是63（=48+53），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.52），第4项是10.5（=18-2.53），第5项是8（=18-2.5