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1、上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x9y=18整数解的通解.例2、求方程非负整数解.例3、求方程的所有正整数解.（练习：求方程的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与相邻且排在之前的一个数.例5、求方程 的整数解. 例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程正整数解的组数. 【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答
2、： （填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.2、求方程5x+6y=100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的算经里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案： 或 或 或 ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方
3、程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如方程，或 方程组，它们的解都是不确定的。象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程组。如何求解整系数二元一次方程的整数解？一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程中，若的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程有整数解，显然互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。二、
4、二元一次方程整数解的求法：若方程有整数解，一般都有无数多个，常引入整数t来表示它的通解（即所有的解）。t叫做参变数。整数解的通解的表达方式不是唯一的。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x= (1) , 设是整数），则y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是（k是整数）方法二，公式法：设 有整数解，其中互质，且方程有一组整数解，则通解是其中为整数证明：因为是方程的整数解，当然满足，因此，这表明，也是方程的解。反过来，若是方程的解，则有，-得，由于，所以，即，其中为整数，代入得，因此都可以表示为，的形式，所以表示方程的一切整
5、数解。用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。例1、求方程5x9y=18整数解的通解解：特解，所以通解为（为整数）例2、求方程非负整数解解：因为，所以方程两边均除以2得，特解 ，所以通解为（为整数）由（为整数），得当时，；当时，例3、求方程的所有正整数解。分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。解：用方程 的最小系数7除方程中的各项，并移项得，因为为整数，故也是整数，于是有。再用5除以此式的两边得 此时，由观察知是方程的解。从而。于是方程有一组解，所以它的一切解为由于为正整数，所以，因此原方程的
6、正整数解为 或 （课内练习：求方程的整数解）（答案： ，为整数）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与相邻且排在之前的一个数。解：设是与符合条件的数，且，其中为正整数，则，于是，先考虑中满足且使最大的正整数解。为此需先找到它的一个特解，于是不定方程的通解为，为整数。这时在条件下，最大为，此时。另一方面，可知，若，则所以在所给条件下，比小且最接近它的数为。例5、求方程 的整数解。解：原方程化简为 ，（1）把方程分为两个方程 对于方程（2），由观察得于是方程（2）的解为 （I）对于方程（3），不难看出于是方程（3）的解为 （II）由（I）（II）消去得（为整数）例6、某校举行数学竞
7、赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数。解：设获得一、二、三等奖的人数分别为人，于是由题意有 从（1），（2）中消去，得 （3）由观察可得是方程（3）的一组特解，所以（3）的解为 （4），将（4）代入（2）得 （5）而是方程（5）的一组特解，所以（5）的解为，将代入（4），得（为整数）由于都是正整数，所以只能取0，于是得，因此获得一、二、三等奖的人数分别为1人，3人，10人。例7、求不定方程正整数解的组数。解：将原方程
8、变为因为是正整数，由方程（1）得，所以 （3）由方程（2）得所以，由（3）（4）得或72或73或74或75当时，与原方程组合，解得由，得，解得或2。此时原方程有2组正整数解。同理，当时，分别可得出原方程有17，33，24，10组正整数解。因此，原方程的正整数解共有组。练习1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.2、求方程5x+6y=100的正整数解。3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的算经里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”。（答案： 或 或 或 ）
第十二讲：不定方程的整数解
