求解非线性系统的Newton

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1、求解非线性系统的 Newton-NPHSS 数值实验非交替的预条件HSS (NPHSS)法是求解大规模稀疏非Hermitian正定线 性系统的有效迭代方法。Wu、Li和Yuan等人是通过利用PHSS迭代技术给定 的这种新的迭代方法。基于 NPHSS 迭代法和由 Bai 等人提出的 Newton-HSS 迭代法，将NPHSS迭代法作为不精确Newton法的内迭代求解算法，我们建立 一类求解Jocabian矩阵为非Hermitian正定矩阵的非线性系统的Newton-NPHSS 法。与此同时，我们给出了Newton-NPHSS方法的两种局部收敛性定理。理论 和数值实验结论都证明了 Newton-N

2、PHSS 迭代法在系数矩阵的 Hermitian 部分 占优势的情况下比Newton-PHSS迭代法更优越。我们对大规模稀疏非线性系统进行求解，其非线性系统的方程组形式为F(x)二 0，(1)其中F : D U Cn T Cn是定义在复线性空间的一个开凸子集上，且为连续可微 函数。同时它的Jacobian矩阵是稀疏、非Hermitian正定的。可知形如(1)的 方程组在实际问题中有很多的应用，参见7,11。普遍求解的迭代法是Newton法，它可以表示为：x(k+1)二 x(k) - F(x(k)-1F(x(k),k 二 0,1,2.其中x(0)e D是所给的初始向量。我们必须要求解以下的New

3、ton方程F(x(k)s(k)二一F(x(k), x(k +1):二 x(k) + s(k),Newton迭代虽然收敛速度比较快，但是在每一步都需要求矩阵的逆，还要 计算k 2个偏导数及k个分量函数的值，尤其是在维数比较大的时候，精确的 Newton法计算量非常大。所以，不精确的Newton法是解决很多大规模稀疏非 线性系统的有效工具之一。,不精确New ton法的定义10给定一个初始量x (0)g D，对k二0,1,2.直到 (k)i收敛，计算S(k) G Cn如下：|F(x(k) + F(x(k)s(k)|f(x(k)|，l G (0,1)(2)x (k+1) = x (k) + s (k

4、),(3)其中|卜|表示向量范数。在以上的不精确New ton法，F r( x (k)表示在当前迭代步x (k)中F (x)的 Jacobian矩阵，参数“是一个控制内迭代精确度的量。另外，要满足所谓不精 k确Newton条件(2)，我们可以在求解F(x(k)s(k)二一F(x(k)中取s(k)的近似值。 在不精确Newton法中，利用Hermitian和反Hermitian(HSS)法和Newton 法的结合来求解非线性系统,Bai等人提出了一类用于求解具有非Hermitian正 定Jacobian矩阵的非线性系统的不精确Newton-HSS法5,由理论分析可知， 这种不精确Newton法的

5、局部收敛已经得到了证明13,大量的数值实验结论表 明了 Newton-HSS法的正确性和可行性。同时，为了加速HSS方法收敛，Bai 等人又提出了预条件Hermitian反Hermitian ( PHSS )方法用于求解具有非 Hermitian半正定Jacobian矩阵的线性系统，并对PHSS迭代方法进行收敛定理 的证明2,3。在同为求解具有非Hermitian正定Jacobian矩阵的非线性系统下， 数值实验证明在一定条件下，PHSS迭代方法相比较于HSS迭代方法具有一定 的优越性。我们能够看到PHSS法的每一步迭代都在H和S之间交替，而预条件矩阵 P的选择取决于系数矩阵A的结构。当P二I

6、时，I为单位矩阵，PHSS迭代法 则成为HSS迭代法，当P丰I时，我们选择适当的P和使得所得到的PHSS 迭代法能够实现快速地收敛和高效率地计算。文献12根据 PHSS 迭代法在一 定条件下的不足从而提出了非交替的 PHSS迭代法(NPHSS )来求解非 Hermitian 正定的线性系统。本文主要是将不精确 Newton 法与 NPHSS 迭代方法分别作为外部和内部 迭代，建立求解非线性系统非交替的 Newton-PHSS 法，即 Newton-NPHSS 迭 代法，并证明该方法具有局部收敛性质，最后数值证明 Newton-NPHSS 法在一 定条件下，无论是外部迭代步数还是内部迭代步数上，

7、新方法都具有优越性。第一章主要是 Newton-NPHSS 迭代的一个简单介绍，来说明这种迭代法的 由来；第二章是对迭代法的局部收敛性定理的定义以及证明；第三章则主要是 解实际的数值案例来比较 Newton-PHSS 和 Newton-NPHSS 迭代的速率；第四 章是对本文的一个大概总结，叙述迭代法的优势和不足。为了证明 Newton-NPHSS 方法的正确性和可行性，我们对下面二维的对流扩散方程进行求解5,8-Au + q(竺 + ) = -eu,(x, y) eQVdx dyu (x, y) = 0,( x, y) edQ其中0 = (0,1)x (0,1)，6Q为边界，q是用来衡量对流

8、项的正常数。利用中心差 分格式，“ =NxN，h =朽为网格步长，N为正整数，得到如形式的非线性系统的方程，F (u) = Mu + h 2 (u) = 0定义：M = A &1 +1 & A ,(u)=酗，e2eu”)TN N N N 1 2 n其中， 为 Kronecker 积， A 二 tridiag(-1 - qh / 2,2,-1 + qh / 2)。N对于Newton-NPHSS迭代法，为了和Newton-PHSS迭代法作比较，我们 采用非交替的两步迭代(见算法5)。当P二I时，则弱化为Newton-NHSS迭代 法。9中提出了 PHSS法的几种预处理矩阵的取法，相比于HSS法在求

9、解非 线性数值解上有一定的优越性。接下来我们对Newton-NPHSS迭代法的预处理 矩阵进行取值，将P = D( D为M的对角矩阵)的两种方法进行比较，即 Newton-PHSS(Jacobi)迭代法与 Newton-NPHSS(Jacobi)迭代法的比较。为了采用迭代法求解方程，我们把F(u(k)分裂成Hermitian和反Hermitian 的矩阵，即 H(u(k) = 1(F(u(k) + F(u(k)*)和 S(u(k) =1 (F(u(k) F(u(k)*)，可22知F (u(k)为非Hermitian正定的矩阵，符合Newton-NPHSS法的要求。在程序实现中，我们选定N=30

10、,40，初始量为u(0) = 0，外部Newton迭代结束标准为内部迭代的结束标准为g 106,|F (u (0)2F (u (k) s (k ,】k)+ F (u (k)|f (u (k)其中耳为控制内部迭代的量，相同的迭代标准适用于所有的内部迭代，包括PHSS和NPHSS迭代法。(在本次实验中，n = 0.2)对于 Newton-PHSS 和 Newton-NPHSS 迭代法，我们选取准最优参数w二认 九，X e sp(P-1H)，九 和九分别表示为矩阵P-1H特征值的最大max minjmaxmin2和最小值；对于Newton-NPHSS迭代法，我们则选取准最优参数a二討，*入min迄e

11、 sp(P-1S)。对于不同的内部迭代标准，Newton-PHSS和Newton-NPHSS迭 j代法解具有不同q值的非线性系统的方程组，我们选取准最优参数求解。已知a*二认 九，通过计算可得，当N=30时，九 为1.994,九 为0.0051，则* max minmaxmina*为 0.101；当 N=40 时，九 为 1.997,九 为 0.0029,则a*为 0.076。然而， maxmina =乩选取还和q有关，则其准最优参数见下表。*入min表1 Newton-NPHSS的准最优参数a*N=30N=40q=0.010.000670.00066q=0.050.01340.0133q=0

12、.10.050.05q=0.20.21560.214q=0.40.86260.857在表2-3中，我们在给出了 Newton-PHSS 和 Newton-NPHSS 迭代法的数 值实验结果，其中相关的问题参数N=30和40, q分别为0. 01, 0.05、0.1、0.2 和0.4。通过比较每一次外部迭代的平均内部迭代步数ITI和外部迭代步数ITO 以及总迭代步数IT来比较（见表2和表3）表2 N=30,耳二0.2时Newton-PHSS和Newton-NPHSS法对比的数值结果NEWTON-PHSSNEWTON-NPHSSITIITOITITIITOITN=30q=0.0130.211332

13、1.178q=0.0530.6113375.31053q=0.130.21133216.211178q=0.230.21133264.311707q=0.429.911329249.8112748NEWTON-PHSSNEWTON-NPHSSITIITOITITIITOITN=40q=0.0139.4114331.8611q=0.0540.3114438.41084q=0.139.51143427.111298q=0.239.511434109.5111205q=0.438.911428432.1114753从表 2 和表 3 的数值结果来看，我们可以发现当 q 小的时候，即Newton-NP

14、HSS 迭 代 法 系 数 矩 阵 的 Hermitian 部 分 占 优 的 情 况 下 ,Newton-NPHSS的迭代步数要比Newton-PHSS迭代法少得多；当q相对比较大 的时候（系数矩阵反 Hermitian 部分占优）, Newton-PHSS 迭代法明显比 Newton-NPHSS 的更有效率。总结在本文中,我们主要提出了 Newton-NPHSS 迭代法,即以 NPHSS 迭代法 作为内部求解器来求解非线性系统。同时,我们在特定的假设条件下讨论了 Newton-NPHSS 迭代的局部收敛性质,并证明了该性质。在数值实验中,通过 Newton-PHSS和Newton-NPHSS迭代的外部迭代步数、平均内部迭代步数和总 迭代步数的比较，我们得出了 Newton-NPHSS迭代法在系数矩阵Hermitian部 分占优的情况下有较好的收敛效果,能更快地达到实验所需的精度要求。但是， 本文的不足之处是并没有通过大量的数据研究来得出 Newton-NPHSS迭代比Newton-PHSS迭代更具优势时q的满足条件。同时， Newton-NPHSS 必须要在非线性系统的方程组满足它所需的条件下才能通过它 来求解。但不可否认的是Newton-NPHSS还是在特定条件下具有非常大的优越 性。