数学分析中不等式的证明方法与举例本科设计

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1、分院名称：数学学院学生学号：长春师范大学本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 数学分析中不等式的证明措施与举例 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指引教师姓名： 指引教师职称： 5 月长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的状况，本人愿承当所有责任.论文作者签名： 日期： 年 月 日 长春师范大学本科毕业论文（设计）指引教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指引和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完毕.如果存在学风问题，本人乐意承当指引教师的有关责任.指引教

2、师签名：日期： 年 月 日目 录承诺保证书I前言11 构造变限积分证明不等式12 运用函数单调性证明不等式23 运用微分中值定理证明不等式44 运用积分中值定理证明不等式65 运用泰勒公式证明不等式86 运用函数极值证明不等式97 运用函数凹凸性证明不等式118 运用幂级数展开式证明不等式129 运用出名不等式证明不等式13 参照文献16致 谢17英文摘要18数学分析中不等式的证明措施与举例摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同步也是数学分析研究的重要问题之一，然而不等式的证明措施却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明措施进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.本文一方面简朴简介了不

3、等式的研究背景，然后重要讨论了数学分析中证明不等式的若干措施，并对不等式的证明措施进行归类.同步，通过精选典型例题的证明，渗入理解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明措施的结识，最后达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.核心字：数学分析 不等式 证明措施.前言不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一种非常重要的内容，它波及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用. 在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的结识要比方程迟的多.直到1934年, 数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场, 成为

4、一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是某些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基本理论的一种重要构成部分.20世纪80年代以来在中国大地上浮现了持续高涨的不等式研究热潮.目前国内有关数学不等式理论及其应用的研究也获得了较丰富的成果.由于这些成果在理论和实际运用方面均有重要意义，引起了一系列广泛研究. 综上所述, 数学不等式理论布满蓬勃生机、兴旺发达.1 构造变限积分证明不等式定义：设在上可积，对任何,在上也可积，于是，由 ，定义了一种以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可以定义变下限的定积分： , ,与统称为变限积分.定理：若在上持续，则其

5、变限积分作为有关的函数，在上到处可导，且 ,更一般的有 . 例1.证明柯西不等式 . 证明：构造变上限辅助函数 .显然在上持续，在内可导，且 .因此在上单调减少，则，即 .得到. 例2. 设在上持续，且单调递增，试证明. 证明：构造变上限辅助函数：.显然，对， , . 由于单调递增，则，则单调递增，因此,.因此 .2 运用函数单调性证明不等式 定理:设函数在上持续,在内可导,则有 (1) 如果在内,那么,函数在上单调增长. (2) 如果在内,那么,函数在上单调减少. 例1. 证明不等式： ，.证明： 设则，故当时，严格递增；当，严格递减.又由于在处持续，则当时，.即. 故得证 . 例2. 证明

6、.证明：记，则，因此单调递增，于是由知.即 .3 运用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理: 设函数满足如下条件:(1) 在闭区间上持续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得. 柯西中值定理: 设函数和满足： (1) 在上都持续； (2) 在内都可导； (3) 和不同步为零； (4) ，则存在, 使得 . 例1设在上有一阶持续导数，且，证明. 证明：令，由拉格朗日中值定理知.从而.因此. 例2. 当时,试证不等式.证明:构造函数.则在区间上满足拉格朗中值定理,且 .故有,.即.又,则.即. 例3. 设，求证. 证明：令，,由题设条件可知， 在上满足柯西中值定理 .则 ,.故 . 由

7、于 ， , 则 ,故 .由此得证 .4 运用积分中值定理证明不等式 积分第一中值定理：若函数在上持续，则至少存在一点，使得 . 积分第二中值定理：设函数在上可积，若为单调函数，则，使得 . 例1设为上的非负单调非增持续函数（即当时，），证明对于,有下面的不等式成立. 证明：由积分第一中值定理有.,.从而.因此可得.即.又因,因此,故. 例2. 设在上持续，且单调递增，试证明. 证明：要证该不等式只需证明.由于单调递增，运用积分第二中值定理，则存在，使 .故.即.5 运用泰勒公式证明不等式 定理:若函数在上存在直至n阶持续导函数，在内存在阶导函数,则对任意给定的，至少存在一点,使得:. 例1.设

8、在存在二阶持续导数，并且当时， ，求证：.证明:由于在上有二阶持续导函，因此对任何，运用和在点的二阶泰勒公式可得.由可得.又,因此 .而时,，故. 又由的任意性知 例2设在上有二阶持续导数，证明 . 证明：将在处泰勒展开 ，.两边在上积分并注意到，得 .从而得 .6 运用函数极值证明不等式 极值的第一充足条件：设在点持续，在某邻域内可导.(1)若当时,当时,则在点获得极小值.(2)若当时,当时，则在点获得极大值.极值的第二充足条件：设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.(1)若，则在获得极大值.(2)若，则在获得极小值.例1.证明：当，n为自然数时，.证明：构造辅助函数.则 . 当时，,

9、当时，除时外，均有，故在时单调递增，在时单调递减，因此在上取最大值.于是有 . 例2. 设,求证：，均有不等式. 证明: 令.有=.令，则.而.又由于,故 .故在处获得极小值，又由于,.因此在区间0,1上的最大值为1，最小值为.因此 .7 运用函数凹凸性证明不等式 定义:设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任实数总有 ,则称为上的凸函数.反之，如果总有 ,则称为上的凹函数. 定理:设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是 （），.例1.证明: . 证明: 构造函数，这时,因此在(0,+)上是凸函数.因此,时，有 .即 .故 . 例2：（出名的均值不等式）设求证：. 证

10、明：设,则. 因此在上为凹函数，则由凹函数性质可知.即.即.8 运用幂级数展开式证明不等式 证明措施:根据几种重要的初等函数的幂级数展开式，如下：； ； 例1.当，证明. 证明：因分别可写成幂级数展开式，有： 则不等式左边的一般项为，右边的一般项为，而当时，因此，.9 运用出名不等式证明不等式柯西不等式：设为任意实数（）则，其中当且仅当成比例时等号才成立. 施瓦兹不等式：若上可积，则若上持续，其中当且仅当存在常数使得时等号才成立（不同步为零）. 詹森不等式：若为上凸函数，则对任意， ，有. 例1.设，求证：证明 ：由柯西不等式两边同步除以即得证例2. 已知，在上持续，为任意实数，求证 .证明:

11、所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式 .同理可得.两式相加得.即得证. 例3. 证明不等式 其中均为正数. 证明：设.则.故在时为严格凸函数.依詹森不等式有.从而.即.又因,因此.即 参照文献：1 裴礼文. 数学分析中的典型问题与措施M. 北京：高等教育出版社, . 2 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，.3 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）M.北京：高等教育出版社，.4 钱吉林等主编. 数学分析题解精粹.M 武汉：崇文书局，.5 蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用措施J.赤峰学院学报（自然科学版），25(9).6 贺彰雄.不等式证明的几种常用措施.湖北

12、教育学报J.，10(1). 7 王晓峰，李静.证明不等式的若干措施.数理医药学杂志J.12(1). 道谢 毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了诸多专业知识，并且我的其她能力方面均有一定提高.因此，借此论文结束之际，向所有协助过我的人表达我最诚挚的敬意和感谢. 本论文是在付教师的指引下和同窗们的协助下几经修改而完毕的.因此,一方面要感谢我的指引教师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同步，还要感谢我的同窗,她们给我提供了诸多有价值的材料和珍贵意

13、见，因此我的论文才得以顺利完毕. 总之，衷心地感谢所有协助过我的人！THE PROOF METHODS AND EXAMPLES OF INEQUALITY OF MATHEMATICAL ANALYSIS Abstract Inequality is a very important tool in mathematical analysis. At the same time it is one of the main problems in the mathematical analysis study.But the methods are various. So the system

14、ic classification and summary for the proof methods of inequality still has great practical significance.This paper first simply introduces the background of inequality ,then mainly discusses the different proof methods of inequalities , and classifies the different proof methods.At the same time summarizes various skills in the inequality problem-solving by demonstrating some typical examples. It makes a better summary to master the method to prove inequality in mathematical analysis , ultimately achieve the purpose of flexible application.Key words Mathematical analysis; Inequation ;Method.