第三节常用经济函数

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1、第三节 常用经济函数 用数学措施解决实际问题，一方面要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将简介几种常用的经济函数.分布图示 单利与复利 例1 多次付息 贴现 例2 需求函数 供应函数 市场均衡 例3 例4 成本函数 例5 收入函数与利润函数 例6 例7 例8 例9 内容小结 课堂练习 习题1-3 内容要点 一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种重要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r. 则第一年末本利和为 次年末本利和为 第n年末的本利和为 .复利计

2、算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r. 则第一年末本利和为 次年末本利和为 第n年末的本利和为 二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n次付息, 则年末的本利和为即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形 因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的.设初始本金为p (元),年利率为r, 若一年分m次付息, 则一年末的本利和为易见本利和是随付息次数m的增大而增长的.而第n年末的本利和为. 三、贴现票据的持有人, 为在票据到期此前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的钞票称为贴现.钱存在银行里可以获得利

3、息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的将来值(相称于本利和)就有一种较低的现值. 考虑更一般的问题: 拟定第n年后价值为R元钱的现值.假设在这n年之间复利年利率r不变.运用复利计算公式有 ,得到第n年后价值为R元钱的现值为,式中R表达第n年后到期的票据金额, r表达贴现率, 而p表达目迈进行票据转让时银行付给的贴钞票额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相似的, 则一次性向银行转让票据而得到的钞票式中为已到期的票据金额, 为n年后到期的票据金额. 称为贴现因子, 它表达在贴现率r下n年后到

4、期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表. 四、需求函数需求函数是指在某一特定期期内, 市场上某种商品的多种也许的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其他因素(如消费者的货币收入、偏好和有关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表达的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系其中, q表达需求量, 表达价格.需求函数的反函数称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数. 五、供应函数供应函数是指在某一特定期期内, 市场上某种商品的多种也许的供应量和决定这些供应量的诸因素之间的数量关系. 六、市场均衡

5、对一种商品而言, 如果需求量等于供应量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供应函数为例, 令 这个价格称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）. 市场均衡价格就是需求函数和供应函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将浮现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将浮现供不应求的现象. 当市场均衡时有称为市场均衡数量.根据市场的不同状况，需求函数与供应函数尚有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相似的, 都可找到相应的市场均衡点(,). 七、成本函数产品成本是以货币形式体现的公司生产和销售产品的所有费用支出, 成本函数表达费用总额与产量(或

6、销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定期期内不随产量变化的那部提成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部提成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C是产量x的函数, 即称其为成本函数. 当产量时, 相应的成本函数值就是产品的固定成本值.设为成本函数, 称为单位成本函数或平均成本函数.成本函数是单调增长函数, 其图象称为成本曲线. 八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R, 等于产品的单位价格乘以销售量x, 即 称其为收入函数. 而销售利润L等于收入R减去成本C, 即 称其为利润函数.当时, 生产者赚钱;当时, 生产者亏损；当时

7、, 生产者盈亏平衡, 使的点称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲单利与复利例1（E01）既有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?解 (1) 已知 由单利计算公式得(元)即3年末的本利和为121元.(2) 由复利计算公式得(元)(3) 若年后的本利和超过初始本金的一倍，即要 即需本利和可超过初始本金一倍.贴现例2（E02）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是元, 已知银

8、行的贴现率6%, 目前将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴钞票额是多少?解 由贴现计算公式，贴钞票额为其中 故 (元).市场均衡例3（E03）某种商品的供应函数和需求函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解 由均衡条件得 例4（E04）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基本上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应减少2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表达为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.解 由题意看出所求函数的定义域为500,1000. 已知每次多进100台，价格减少2元，设每次进电扇台，则

9、每次批发价减少元/台，即所求函数为当时，(元/台)即每次进800台电扇时的批发价格为154元/台.成本函数例5（E05） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一种单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.解 据 可得总成本 平均成本收入函数与利润函数例6（E06）某工厂生产某产品年产量为x台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折发售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.解 由于产量超过800台时售价要按9折发售，又超过1000台(即800台+200

10、台)时,多余部分销售不出去，从而超过部分无收益. 因此，要把产量分三阶段来考虑. 依题意有例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.解 (1) 由于因此(2) 当时，不亏本，于是有 得(单位).例8（E07）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即她们乐意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?解 收入函数为利润函数为由于利润是一种二次函数，容易求得，求价格元时，利润元为最大利润.在此价格下，可望销售量为(单位). 例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是 试求该商品的盈亏平衡点, 并阐明盈亏状况.解 由和已知条件得 从而得到两个盈亏平衡点分别为 由利润函数易见当时亏损, 时赚钱，而当时又转为亏.课堂练习1.(1) 设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数.（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增长3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数. （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.