新课标高三数学人教版第一轮复习单元讲座第28讲数列概念及等差数列

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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座28）数列概念及等差数列一课标要求：1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。二命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知

2、识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。预测07年高考：1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。三要点精讲1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个

3、数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是

4、无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。（2）等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果，成等

5、差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。（4）等差数列的前和的求和公式：。四典例解析题型1：数列概念例1根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。例2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1），； （2）令，解方程得， 即为该数列的第15项。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。题型2：数列的递推公式例3如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原

6、点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。解析：(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有 , 。,。,即。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（4416）28秒，所以秒。（3）由2004，解得，取最大得n=44，经计算，得19802004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。点评

7、：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。例4（1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式； （2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。解：（1） ，； （2）， ，点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。题型3：数列的应用例5（05广东，14）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）。答案：5，图B解析：由图B可得，由，可推

8、得n每增加1，则交点增加个，。点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。例6（2003京春理14，文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。答案：140 85解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数

9、学思维活动。题型4：等差数列的概念例7（2001天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。例8（2006年江苏卷）设数列

10、、满足：，（n=1,2,3,），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,）， 得：= 从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。证法二：令An = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+

11、1- a n+3。从而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因为An-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-

12、An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, 从而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以数列a n是等差数列。点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果。题型5：等差数列通项公式例9（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D解析：，将代入，得，从而。选B。点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含

13、首项和公差的式子，变元减少，因式就容易处理了。例10（1）（2005湖南16）已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明解析：（1）（I）解：设等差数列的公差为d。由即d=1。所以即（II）证明因为，所以 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。题型6：等差数列的前n项和公式例11（1）（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项（2）（2001全国理，3）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三

14、项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6（3）（2006年全国卷II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（ ）A B C D解析：（1）答案：A设这个数列有n项n13（2）答案：B前三项和为12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.（3）答案为A；点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力。例12（1）（2000全国文，18）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列

15、的前n项和，求Tn。（2）（1998全国文，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项an=lg（1+），记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论。解析：（1）设等差数列an的公差为d，则Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn2n（2）（）设数列bn的公差为d，由题意得解得 bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgb

16、n+1=lg.因此要比较Sn与lgbn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推测（1+1）（1+）（1+）.若式成立，则由对数函数性质可断定：Snlgbn+1。下面用数学归纳法证明式。（i）当n=1时已验证式成立。（ii）假设当n=k（k1）时，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）1+（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 这就是说式当n=k+1时也成立.由（i），（ii）知式对任何正整数n都成立.由此证得：Snlgbn+1。评述：本题主要考查等差数列的

17、求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解。题型7：等差数列的性质及变形公式例13（1）（2002上海春，16）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）（1994全国理，12）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7

18、+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的。（2）答案：C解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，。解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用

19、等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。例14（2000上海，21）在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（）x（0a10的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a

20、的取值范围；（）（理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数。（文）设cnlg（bn）（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列cn前多少项的和最大?试说明理由。解析：.解：（）由题意，ann，bn2000（）。（）函数y=2000（）x（0a10）递减，对每个自然数n，有bnbn1bn2则以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bn2000（）。数列bn是一个递减的正数数列.对每个自然数n2，BnbnBn

21、1。于是当bn1时，BnBn1，当bn1时，BnBn1，因此，数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn11。由bn2000（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1）a10，a=7，bn2000（）。于是cnlg2000（）3lg2（n）lg0.7数列cn是一个递减的等差数列.因此，当且仅当cn0，且cn10时，数列cn的前n项的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法.五思维总结1数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它

22、的有限子集1，2，3，n，）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），f（n），。数列的图象是由一群孤立的点构成的。（2）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；一个数列还可以用递推公式来表示；在数列an中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认

23、真掌握之。即an。特别要注意的是，若a1 适合由anSnSn1（n2）可得到的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。2等差数列的知识要点：（1）等差数列定义an1and（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3a2a2a1d（常数）就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由anan22 an1 即an2an1an1an 来判断。（2）等差数列的通项为ana1（n1）d可整理成anan（a1d），当d0时，an 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合。（3）对于A 是a、b 的等差中项，可

24、以表示成2 Aab。（4）等差数列的前n 项和公式Snnna1d，可以整理成Snn2。当d0时是n 的一个常数项为0的二次式。（5）等差数列的判定方法：定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。3等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；5说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇；。6（1），时，有最大值；，时，有最小值；

25、（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或。普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座14）直线、圆的位置关系一课标要求：1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度

26、属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。预测2007年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。三要点精讲1直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与l2相交

27、；l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2 距离（1）两点间距离：若，则特别地：轴，则、轴，则。（2）平行线间距离：若， 则：。注意点：x，y对应项系数应相等。（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：3直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公

28、共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0。4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。； 外离 外切 相交 内切 内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。四典例解析题型1：直线间的位置关系例1（1）（2006北京11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共线，则, 的值等于 。（2）（2006上海文11）已知两条直线若，则_ _。解析：（1）答案：；（2）2。

29、点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例2（1）（2006福建文，1）已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）A2 B1 C0 D（2）（2006安徽理，7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D解析：（1）答案为D；（2）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型2：距离问题例3（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）Axy=0 Bx

30、+y=0 C|x|y=0 D|x|y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）|x|y| |x|y|0。答案：D点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例4（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程。解析：设点P的坐标为（x，y），由题设有，即。整理得 x2+y26x+1=0 因为点N到PM的距离为1，|M|2，所以PMN30，直线PM的斜率为，直线PM的方程为y=（x1） 将式代入式整理得x24x10。解得x2，x2。代入式得点P的坐标为（2，1

31、）或（2，1）；（2，1）或（2，1）。直线PN的方程为y=x1或y=x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型3：直线与圆的位置关系例5（1）（2006安徽文，7）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A B C D （2）（2006江苏理，2）圆的切线方程中有一个是（ ）Axy0 B

32、xy0 Cx0 Dy0解析：（1）解析：由圆的圆心到直线大于，且，选A。点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。（2）直线ax+by=0，则，由排除法，选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。例6（2006江西理，16）已知圆M：（xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；

33、（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切。其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（cosq，sinq）d故选（B）（D）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型4：直线与圆综合问题例7（1999全国，9）直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D解析：如图所示：图由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2，AOB是等边三角形，AOB=，故选C

34、。点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为120，则等腰OAB的底角为60.因此AOB=60.更加体现出平面几何的意义。例8（2006全国2，16）过点（1，）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k 。解析：过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线，所以。点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等

35、。题型5：对称问题例9（89年高考题）一束光线l自A（3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到C：x2y24x4y70上。() 求反射线通过圆心C时，光线l的方程；() 求在x轴上，反射点M的范围解法一：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故所求直线方程是y3=(x+3)，或y3= (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。解法二：已

36、知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，设交线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k0，于是L的反射点的坐标是（，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L所在直线的方程为y= k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=1。以下同解法一。点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。例10已知函数f(x)=x21(x1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。（1）求曲线C2的方程y=g(x)；（2）设函数y=g(x)的定义域为

37、M，x1，x2M，且x1x2，求证|g(x1)g(x2)|x1x2|;（3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。y=x21，x2=y+1，又x1，x=，则曲线C2的方程为g(x)= (x0)。（2）设x1，x2M，且x1x2，则x1x20。又x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| |=|x1x2|。（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=1直线AB的斜率|kAB|1，又直线y=x的斜率为1，直线AB与

38、直线y=x必相交。点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。题型6：轨迹问题例11（2005山东理，22）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。解析：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将

39、与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以。因此直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点。（2）当时，由，得=，将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即，所以直线恒过定点。所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。例12（2005江苏，19）如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程。解析：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，。由已知，得。因为两圆半径均为1，所

40、以。设，则，即(或)。点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。题型7：课标创新题例13已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。解析：表示过点A（0，1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为，即，则，解得。因此，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例14设双曲线的两支分别为，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若在上，Q、R在上，求顶点Q、R的坐标。分析：正三角形PQR中，有，则以为圆心，为半径的圆

41、与双曲线交于R、Q两点。根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。解析：设以P为圆心，为半径的圆的方程为：，由得：。（其中，可令进行换元解之）设Q、R两点的坐标分别为，则。即，同理可得：，且因为PQR是正三角形，则，即，得。代入方程，即。由方程组，得：或，所以，所求Q、R的坐标分别为点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。五思维总结1关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax By C 0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是

42、由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax By C 0对称点Q（x1 ，y1）有（1）与ABC 0。（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）0（包括直线）关于l ：Ax By C1 0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 g1（x1 ，y1）与y0 g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f g1（x ，y），g2（x ，y）0。（3）若l ：Ax By C 0中的x ，y 项系数|A|1，|B |1就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y2 4

43、 x 2关于l ：x y 40对称的曲线l2 的方程为：(x 4) 2 4（y 4）2即y 用x 4代，x 用y 4代，这样就比较简单了。（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x a) 2 (y b) 2 r2。点P 在圆C 外有(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；点P 在圆上：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；点P 在圆内：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2 。3直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）0圆C ：f2（x ，y）0消y 得F（x2）0。（1）直线与圆相交：F（x ，y）0中D 0；或圆心到

44、直线距离d r 。直线与圆相交的相关问题：弦长|AB|x1 x2|，或|AB|2；弦中点坐标（，）；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切：F（x）0中D 0，或d r 其相关问题是切线方程如P（x0 ，y0）是圆x2 y2 r2 上的点，过P 的切线方程为x0x y0y r2 ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为或；其三是P（x0 ，y0）为圆x2 y2 r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x y0y r2 。（3）直线与圆相离：F（x）0中D 0；或d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x a) 2

45、(y b) 2 r2 上任一点，|PQ|max |PC|r ；|PQ|min |PQ|r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定（1）设O1 圆心O1 ，半径r1 ，O2 圆心O2 ，半径r2 则：当r1 r2 |O1O2|时O1 与O2 外切；当|r1 r2|O1O2|时，两圆相切；当|r1 r2|O1O2|r1 r2 时两圆相交；当|r1 r2|O1O2|时两圆内含；当r1 r2 |O1O2|时两圆外离。（2）设O1 ：x2 y2 D1x E1y F1 0，O2 ：x2 y2 D2x E2y F2 0。两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 D2）x （E1 E2）y F1 F2 0；经过两圆的交点的圆系方程为x2 y2 D1x E1y F1 l（x2 y2 D2x E2y F2）0（不包括O2 方程）。