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1、 第七章 平稳时间序列模型预测1基础教学时间序列预测n定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在未来某个时刻的取值进行估计。n设平稳时间序列Xt 是一个ARMA(p,q)过程，即 设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1,xt-2,，对观测值xt+l进行预测，用 表示时间序列Xt的第l步预测值(l0)。11112,0,0ttptpttqt qtstXXXWNst E X tx l2基础教学最小均方误差预测n用et(l)衡量预测误差：n显然，预测误差越小，预测精度就越高。n最小均方误差预测原则：1,tt lttx lE XXX tt lte lXx l 22mintttx lEel
2、E el2222011()0,var()ttlE e le lGGG3基础教学说明n在预测方差最小原则下得到的估计值 是序列值Xt+1在Xt,Xt-1,已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。n预测方差只与预测步长 l 有关，而与预测起始点t无关。n预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。12222011,()0,var()tt lttttlx lE XXXE e le lGGG tx l4基础教学AR(p)序列的预测n在AR(p)序列场合有：n预测值1122tttptptXXXX-11122-112,12tt lttt lt lpt lp
3、tttttptXlE XXXEXXXXXXlXlXlp ，5基础教学AR(p)序列的预测n预测方差n95置信区间 -假设总体服从正态分布 111122211()var()(1)tt lt llttle lGGe lGG 12221112()1tlX lzGG6基础教学例7.2n已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型 (单位：万元/每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元 请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 12100.60.3,(0,36)tttttXXXN7基础教学解:(1)预测值计算n四月份:n五月份:n六月份:12.973.06.010)1(233
4、xxx432.973.0)1(6.010)2(333xxx5952.97)1(3.0)2(6.010)3(333xxx12123100.60.3,(0,36)101,96,97.2tttttXXXNxxx8基础教学解:(2)预测方差的计算n计算Green函数:根据递推公式n方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG223022230122223012var(1)36var(2)()48.96var(3)()64.6416eGeGGeGGG9基础教学解:(3)置信区间n 步预测销售额的95%置信区间为：n估计结果3333()1.96 var(),()1.96 var()x
5、le lx le l预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952l10基础教学例:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图(预测1999-2003)11基础教学MA(q)序列的预测n当预测步长l小于等于MA模型的阶数q即lq时，Xt+l可以分解为：n特别当 l=1时有 ，即 11221111 t lt lt lt lqt l qt lltltltqt l qttXe lx l 11 1tttXx预测误差预测误差预测值预测值 11 1tttXx1122ttttqt qX 12
6、基础教学MA(q)序列的预测n当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l q时，Xt+l可以分解为：112211220 t lt lt lt lqt l qt lt lt lqt l qttXe lXl 预测值预测值预测误差预测误差13基础教学MA(q)序列的预测nl步的预测：n说明MA(q)序列理论上只能预测q步之内的序列走势，超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA(q)序列自相关q步截尾的性质决定的。n预测方差：,()0,qit l ii ltlqx llq 222112221(1),var()(1),ltqlqe llq 14基础教学例7.3n已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3
7、)模型（单位：万人）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95置信区间21231000.80.60.2,25tttttX 年份统计人数预测人数20021041102003108100200410510915基础教学解:年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109100)5(100)4(8.1002.0100)3(962.06.0100)2(2.1092.06.08.0100)1(121tttttttttttxxxxx22002200112003200220042003(1)104 1106(1)108 1008(1)105
8、1094tttxxxxxx 21231000.80.60.2,25tttttX16基础教学解：置信区间的计算2221222122222123var(1)25,var(2)(1)41var(3)(1)50var(4)var(5)(1)51ttttteeeee预测年份95置信区间预测人数 2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）1002009（86，114）100n95%置信区间的计算：n估计结果：1.96 varttx le l17基础教学ARMA(p,q)序列预测nARMA(p,q)序列场合:n预测1111ttpt
9、pttqt qXXX -11111-11212,12,12,tt lttt lpt lpt lt lqt l qttqttptit l ii lttptx lE XXXEXXXXXlXlXlplqXlXlXlplq ，18基础教学例7.4 已知ARMA(1,1)模型为：且x100=0.3,100=0.01，预测未来3期序列值的95的置信区间。2110.80.6,0.0025ttttXX 19基础教学nx100=0.3,100=0.01n计算Green函数：n预测方差：解:10010010010010010010010.80.60.23420.810.1872,30.820.14976xXxxx
10、x2110.80.6,0.0025ttttXX 0110121110.20.16GGGGG221000222100012222100012var(1)0.0025var(2)()0.0026var(3)()0.002664eGeGGeGGG20基础教学解:置信区间的计算时期95置信区间预测值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.1872103（0.049，0.251）0.14976n95%置信区间：n估计结果：1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel21基础教学修正预测n定义n所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得
11、精度更高的预测值 n方法n在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型；n在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。22基础教学修正预测原理n在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为n假设新获得一个观察值Xt+1，则nXt+1的修正预测值为其中 是Xt+1的一步预测误差。n修正预测误差为110()tl it iltltix lGGG1111111(1)()tltltltlttxlGGGGx l2201)1(tllttGGle+11=1tttXX23基础教学修正预测原理n预测方差为 即一期修正后第 步预测方差就等于修正前第 步预测方差。它比修正前的
12、同期预测方差减少了 ，提高了预测精度。222102var(1)()var1tltelGGe ll1l 221lG24基础教学一般情况n假设获得k个新的观察值 ，则 n 的修正预测值为n修正预测误差为n预测方差为1,1tt kXXklt lX-+1+111-+1+1()t kl kt kltltltl kt klttXlkGGGGGGx l011()t kt ll kt kelkGG 22201var()()vartpl ktelpGGe lp 25基础教学例7.2续n已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位：万元/每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元。（1）
13、请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间。（2）假如一个月后知道4月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。12100.60.3,(0,36)tttttXXXN26基础教学预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12 100五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.595227基础教学例7.2续：假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值 n计算四月份的一步预测误差n计算修正预测值443(1)10097.122.88Xx 41431299.16XGx 42432399.50XGx月份 预测值新获得观察值 修正预测值 497.12100597.432697.5952 3Xl41Xl 28基础教学例7.2续:n计算修正方差：n 步预测销售额的95%置信区间为：224302224301var(1)var(1)36var(2)var(2)()48.96eeGeeGGl 44441.96 var,1.96 varxlelxlel29基础教学修正预测预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）30基础教学
第7章 平稳时间序列模型预测【课堂使用】
