2交流电路基础

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1、第一章交流电路基础知识一、交流电的基本关系式设正弦交流电流的波形如图1-1所示。1图1-1正弦交流电流波形该正弦交流电流的数学表达式是：i=ImSin（忍+如）=V2Isin（直+如）（1-1）式中i瞬时值（安培）；Im-最大值（安培）；1=（V2/2）Im.=0.7071Im有效值（安培）co=2n角频率（弧度/秒），f=1/T频率（赫兹或周/秒），T周期（秒），t时刻（秒），（3t+如）相位或相位角（弧度），如初相位（弧度或角）在交流电计算中，经常还要用平均值这个量。所谓平均值，是指半个周期内交流电的平均数值，其值为：lp=0.637Im在交流整流电路中，需要计算整流的输出直流电压与输入交

2、流电压的关系。实际上，输出直流电压即是上述Ip:Ip=0.637Im=（0.637/0.707）I=0.9I二、交流电的矢量运算交流电的计算比较复杂，为了简化交流电的运算，通常把正弦交流电用矢量表示，通过矢量加减法来进行交流电的运算。1串联电路见图1一2。(a)电路：(b)矢量图图1-2交流串联电路已知ui=22UiSin(忍+囱)U2=V2U2Sin(3t+$2)求和u=ui+U【解】在平面上以水平轴线为甚准，画出代表U1、U2的两个矢量Ui/$1和U2$2,求出它们的和矢量U/$即为所求之u=22Usin(wt+$)222U=(UiCos$1+U2Cos$2)+(UiSin$i+U?Sin

3、$2)=U1+U22UiU2C0S($1+$2)$=$2-$1【例题1-1】如图1-3所示、设日光灯管上的电压为Ui=22x98.5sin314t(伏)，镇流器上的电压为u2=22x197sin(314t+90)(伏)。试求电源电压u=u1+u2的有效值及瞬时值表达式。图13例题1一1电路图1一4例题1-1丨电路矢量图【解】根据ui和U2做出矢量图(见图1-4),则/22/22八、u=2Ui+U2=298.5+197=220伏-1-1$=tg(U2/Ui)=tg(197/98.5)=63.5所以可得电源电压u的有效值为U=220伏，其瞬时值表达式为u=22x220sin(314t+63.5)(

4、伏)2并联电路见图I一5。已知ii=V2Iisin(wt+0)i2=V2bsin(wt+(0)求i=ii+i2(a)电路;(b)矢量图图1-5交流并联电路【解】在平面上以水平轴线为基准，画出代表ii和i2的两个矢量ll$1和12血,1 求出它们的矢量和I/0,即为所求之i=V2Isin(忍+022I=(liCos$i+|2Cos血)+(IiSin咖+|2Sin血)22=Ii+I22IiI2C0S(0+$2)护0-0【例题I-2】如图I-6所示，设已知并联电路两支路电流各为ii=i4isin(3t+45(安)和i2=3i0sin(止I5)(安)，求总电流i=ii+i2的有效值和瞬时表达式。图I-

5、6例题I-2电路【解】根据ii和i2做出矢量图(见图I-7)。图1-7例题1-2电路矢量图i1和i2的有效值以及它们之间的相位差为I仁lim/(V2)=141/(V2)=100安12=l2m/(V2)=310/(V2)=220安亦2=囱-血=45-(-15)=60i1在x轴和y轴上的投影为l1x=hcos也=100xcos45=70.7安l1y=I1Sin奶=100xsin45=70.7安l2在x轴和y轴上的投影为I2x=Seos屉=220xcos(-15)=213.4安l2y=Ssin血=220xsin(-15)=-57.2安所以可求出i在x轴和y轴上的投影为lx=l1x+l2x=70.7+

6、213.4=284.1安ly=l1y+l2y=70.7+(57.2)=13.5安总电流的有效值为l=Vlx2+ly2=V284.12+13.52=284安i的相位角为-1-1忙tg(l2/丨1)=tg(13.5/284.1)=17.8所以总电流的瞬时表达式为i=V2x284sin(t+17.8)三、单相交流电路的计算这里对各种典型的单相交流电路加以分析，其运算方法可采用矢量法。1.纯电阻电路在纯电阻电路中，电压、电流、电阻及功率的关系为设u=V2Usincot（1-2）贝Ui=V2lsincot（1-3）且I=U/R（1-4）式中u电压瞬时值（伏特），I电流瞬时值（安培），U电压有效值（伏特）

7、，I一电流有效值（安培），R电阻（欧姆）。电路图和矢量图见图1-18,（a）电路，（b）矢量图图1-8纯电阻电路与矢量图在纯电阻电路中，交流电在一个周期内功率的平均值叫平均功率或有功功率。其计算公式为22P=UI=I2R=U2/R（1-5）式中P平均功率或有功功率（瓦特），u电压（伏特）；I电流（安培），R一电阻（欧姆）。2.纯电感电路在纯电感电路中，电压、电流、电感及功率的关系为设i=22Isincot（1-6）贝Uu=V2Usin（O+90）（1-7）且I=U/oL=U/Xl（1-8）式中i电流瞬时值（安培），u电压瞬时值（伏特），I电流有效值（安培），U电压有效值（伏特），XL=L感抗（

8、欧姆），O角频率（弧度/秒），L电感（亨利）。电路图和矢量图见图1-9（a）电路，（b）矢量图图1-9纯电感电路与矢量图在纯电感电路中不消耗电能，所以有功功率等于零。但电感线圈与电源之间存在有能量交换关系，用无功功率表示，其值为22Ql=UI=I2Xl=U2/Xl（1-9）式中Ql无功功率（乏，现在，法定计量单位为瓦）u电压（伏特），I电流（安培），XL=wL=2nfL感抗（欧姆）3角频率（弧度/秒），f频率（Hz）L电感（亨利）。3.纯电容电路在纯电容电路中，电压、电流、电容及功率的关系为设u=22Usincot（1-10）贝Ui=V2Isin（3+90）（1-11）且匸U/（1/oC）=U

9、/XC（1-12）式中i电流瞬时值（安培），u电压瞬时值（伏特），I电流有效值（安培），U电压有效值（伏特），Xc=1/（oC）=1/（2nfC）容抗（欧姆），3角频率（弧度/秒），f频率（Hz）C电容（法拉）。电路图和矢量图见图1-10,(a)电路，(b)矢量图图1-10纯电容电路与矢量图在纯电容电路中同样不消耗电能，所以有功功率为零。但电源与电容器之间也存在有能量交换，用无功功率表示，其值为22Qc=UI=IXc=U/Xc(1-13)式中Qc一无功功率(乏)，U电压(伏特)，I电流(安培)，Xc容抗(欧姆)。4串联电路图1-11所示为R、L、c串联电路与矢量图。3(b)Ul4u(a)(b)

10、(a)电路，(b)矢量图图1-11R,L,c串联电路与矢量图电路中各量之间的关系为22(1-14)U=VUr+(Ul一Uc)(1-15)由于Ur=IR；Ul=IXl；Uc=IXc所以U=1VR2+(Xl一Xc)2=|Z式中U总电压（伏特）；Ur、Ul、Uc电阻、电感、电容上的电压（伏特）,R电阻（欧姆），L电感（亨利），C电容（法拉），Xl、Xc感抗、容抗（欧姆），Z=VR2+（Xl一Xc）2=Vr2+x2阻抗（欧姆）；Xl、Xc电抗（欧姆）。根据上式可得i=u/zcos=Ur/U=R/Z(1-16)(1-17)或tg=(UlUc)/Ur=:(XlXc)/R(1-18)式中电压与电流之间的相位

11、差（度）。2有功功率P=lR=Ulcos（瓦）(1-19)2无功功率Q=lX=Ulsin（乏）(1-20)视在功率S=|2Z=UI（伏安）(1-21)式中COS功率因数（亦称“力率”）。5并联电路图1-12所示为一并联补偿电路。设电压u=V2Usinwt为已知则可求得第一条支路的电流i1=V2l2Sin（忍+1）（a）（a）电路，（b）矢量图图1-12并联电路与矢量图式中l1=U/（VR2+Xl2）11=tg-Xl/R而第二条支路为纯电容电路，所以电流i2=V2SSin（wt+90）式中I2=U/Xc这样在矢量图上通过矢量运算，即可求出总电流i=V2Isin（wt+妨式中I总电流有效值（安培）

12、，0相位差（度）。6.谐振电路1。串联谐振电路（也叫电压谐振电路）。参看图1-11,当电路中Xl=Xc时，电路呈阻性状态，这时con忙1,电流I为最大值。串联谐振电路的固有频率和品质因数是其重要特证，计算公式为fo=1/（2nVLC）（1-22）,Q=2nfoL/R=1/（2nfoCR）（1-23）,式中fo一谐振电路的固有频率（赫兹）L一电感（亨利），C一电容（法拉），R一电阻（欧姆），Q品质因数。2.并联谐振电路（也叫电流谐振电路）。参看图1-12,当电路中U与I同相位，即COS护1时，电流I为最小值。并联谐振条件应满足下式：C=L/（R2+Xl2）（1-24）式中R一电阻（欧姆）L电感（

13、亨利）C电容（法拉），XL一感抗（欧姆）。当参数R,L,C一定时，改变频率也能引起谐振。谐振频率fo满足下式2fo=V（1/LC一（R/L）/2n（125）四单相电路的功率与功单相电路的功率与功满足下述关系：P=UIcos0（1一26）Q=UIsin0（1一27）S=V（P2+&）=UI（1一28）W=Pt式中P有功功率（瓦特）；Q无功功率（乏）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”）S视在功率（伏安）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”）W功（焦尔，工程中常用“千瓦时”，1千瓦时=3.6X106焦尔）U电压有效值（伏特）；I电流有效值（安培）；0电压与电流的相位差角（度）Cos功率因素，有

14、时亦称为“力率”五三相交流电路的计算1三相电源的联接三相电源有星形和三角形两种联接。（1）星形联接。如图1-23所示，也叫Y接法。（a）电路，（b）矢量图图1-13三相电源的星形联接由矢量图分析可知，如三相相电压是对称的，即ua=V2Uasintub=V2Ubsin（wt-120）uc=V2Ucsin（t+120）式中Ua=Ub=Uc三相相电压（伏特）则三相线电压也是对称的，其瞬时值表达式为uab=V2Uabsin（W+30）ubc=V2Ubcsin（W一120+30）uca=V2Ucasin（W+120+30）式中Uab=Ubc=Uca三相线电压（伏特）这表明线电压在相位上比各对应的相电压引

15、前30;计算表明线电压在数值上是相电压的3倍，即U线=23U相（1-26）式中U线一各线电压有效值（伏特）u相一各相电压有效值（伏特）(2)三角形联接。如图1-24所示，也叫接法。Aa)电路,(b)矢量图图1-14三相电源的三角形联接由矢量图分析可知，当三相电源为三角形联接时，线电压与相电压是相同的，即U线=U相(1-27)2三相负载的联接三相负载有星形和三角形两种联接。(1)星形联接。如图1-15所示，也叫(a)电路，图1-25三相负载的星形联接从矢量图分析可得：若三相电路是对称的,是对称的，零线电流10=0,即：I线=I相；1o=O则三相线电流与相电流相等，并且(1-28)若相负载阻抗Z=

16、VR2+X2(欧姆)式中R、X相负载的电阻、电抗(欧姆)。则每相电压与电流之间的相位差为$=tg-1(X/R)式中相电压与相电流之间的相位差角(度)。(2).三角形联接。如图1-26所示，也叫接法。（a）电路，（b）矢量图图1-16三相负载的三角形联接从矢量图上可得I线=23I相（1-29）式中I线一一线电流（安培），I相一一相电流（安培）。而且线电流在相位上滞后相电流30。3.三相电路的功率对称三相负载，无论是星形联接或三角形联接，均满足下述关系：P=3卩相=3U相I相cos护23U线I线cos（1一30）Q=3Q相=3U相I相sin（j）=V3U线I线sin（1一31）S=3S相=3U相I相=23U线I线（1一32）式中P有功功率（瓦特）；Q无功功率（乏）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”）S视在功率（伏安）；（注：法定计量单位中已统一为“瓦特”）U线、U相一一线电压、相电压（伏特）；I线、I相一一线电流、相电流（安培）；相电压与相电流的相位差角（度）