偏微分方程习题精练2【教学内容】

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1、 数学物理方程数学物理方程习题精练习题精练2(波动方程初值问题波动方程初值问题)内内 容容 1.1.决定任意函数法决定任意函数法;2.Poisson 2.Poisson公式与降维法公式与降维法;3.3.唯一性与稳定性唯一性与稳定性.1 1决定任意函数法决定任意函数法 决定任意函数法是求解偏微分方程（主要是双曲型方程）定决定任意函数法是求解偏微分方程（主要是双曲型方程）定解问题的一种古典方法，如同常微分方程的初值问题的求解那样：解问题的一种古典方法，如同常微分方程的初值问题的求解那样：人们先求包含任意常数的所谓人们先求包含任意常数的所谓“通解通解”，然后再由初始条件确定，然后再由初始条件确定任意

2、常数对于偏微分方程的定解问题而言，人们也试图先求满任意常数对于偏微分方程的定解问题而言，人们也试图先求满足泛定方程的包含任意函数的所谓足泛定方程的包含任意函数的所谓“一般解一般解”，然后再由初始条，然后再由初始条件确定任意函数，这便形成了所谓的决定任意函数法件确定任意函数，这便形成了所谓的决定任意函数法1优学课堂例例求解第一问题求解第一问题)21()21().121(),(),210(),(),0(,02121212102xxuxxuyuyuuyxyxyyyxx 解解 当当0y时，方程属于双曲型，其特征线为时，方程属于双曲型，其特征线为 cyx 2 作自变量代换作自变量代换 ,2,2yxyx

3、则可将方程化成则可将方程化成 0u（这是（这是 巧合，不要误以为所有的双曲型方程都能化成这种最简形）因而泛定巧合，不要误以为所有的双曲型方程都能化成这种最简形）因而泛定 方程有一般解方程有一般解)2()2(),(21yxfyxfyxu，其中其中21,ff均为两次连续可微的任意函数均为两次连续可微的任意函数 2优学课堂),()12()1(),()0()2(221121xxffxfxf,)21()21()0()1(2121ff).1()21()(),0()2()(122211fYYffXXf)21()21(21由定解条件，有由定解条件，有 即即),1()()12(),0()()2(122211fx

4、xffxxf 从而从而 故故 )2()2(),(21yxfyxfyxu.)0()1()212()22(2121ffyxyx 3优学课堂例例 求解第二问题（求解第二问题（Cauchy 问题）问题）解解 因因04)3(112211212aaa，故所给方程为双曲型，故所给方程为双曲型 其特征线为其特征线为 .,321cyxcyx 作自变量代换作自变量代换 ,3yxyx 可将原方程化成可将原方程化成 0u (1)从而泛定方程有一般解从而泛定方程有一般解 )()3(),(21yxfyxfyxu (2)于是于是 )()3(21yxfyxfuy (3)4优学课堂(6)()3(31 (5),0)()3(4),

5、3)()3(2121221cxfxfxfxfxxfxf由定解条件，有由定解条件，有 由由(4),(6)解得解得.434)(434)3(4349)3(,4343)(2122122cXXfcxcxxfcxxf 故故 )()3(),(21yxfyxfyxu .3)(43)3(412222yxyxyx 5优学课堂 附注附注 从“决定任意函数法”的过程我们看到，在求出泛定方程的一般从“决定任意函数法”的过程我们看到，在求出泛定方程的一般解后，利用定解条件决定任意函数，往往得到任意函数满足的函数方程组，再解后，利用定解条件决定任意函数，往往得到任意函数满足的函数方程组，再从中解出任意函数从中解出任意函数.

6、一般的讲，并无普遍的方法可寻，只能具体问题具体分析一般的讲，并无普遍的方法可寻，只能具体问题具体分析.有些书上将“决定任意函数法”称之为“特征线法”或“行波法”，“特有些书上将“决定任意函数法”称之为“特征线法”或“行波法”，“特征线法”是从几何的角度出发而命名的，事实上，我们从上述求解过程曾看到，征线法”是从几何的角度出发而命名的，事实上，我们从上述求解过程曾看到，首先从特征线入手，引入所谓的“特征变量”，试图将方程化为较简单的容易首先从特征线入手，引入所谓的“特征变量”，试图将方程化为较简单的容易积分的标准形，然后求出泛定方程包含任意函数的一般解，再由定解条件决定积分的标准形，然后求出泛定

7、方程包含任意函数的一般解，再由定解条件决定任意函数；而“任意函数；而“行波法”则是从物理的角度出发而命名的，它是从设想寻求行波法”则是从物理的角度出发而命名的，它是从设想寻求 泛定方程具有形如泛定方程具有形如 )(),(txftxu 的所谓“行波解”入手，以此代入的所谓“行波解”入手，以此代入 泛定方程，看常数泛定方程，看常数应满足怎样的条件，求出应满足怎样的条件，求出 的值，从而求出泛定方程的值，从而求出泛定方程 包含任意函数的“一般解”，但这只有当泛定方程有行波解时方行得通包含任意函数的“一般解”，但这只有当泛定方程有行波解时方行得通.所以，所以，无论是“特征线法”还是“行波法”，都有一定

8、的局限无论是“特征线法”还是“行波法”，都有一定的局限性，只能对某些特性，只能对某些特殊殊 6优学课堂的方程才能适用的方程才能适用.但无论怎样，其基本思想都是设法先求泛定方程包含任意函数的但无论怎样，其基本思想都是设法先求泛定方程包含任意函数的解，然后再由定解条件决定任意函数解，然后再由定解条件决定任意函数.故人们一般的称之为“决定任意函数法”故人们一般的称之为“决定任意函数法”.在用“决定任意函数法”求得波动方程（一维）的一般解后，我们很容易得在用“决定任意函数法”求得波动方程（一维）的一般解后，我们很容易得到其解的某些重要性质，例如：就方程到其解的某些重要性质，例如：就方程xxttuau2

9、而言，设而言，设ABCD是其特征线所是其特征线所组成的任一平行四边形，则其解组成的任一平行四边形，则其解),(txu满足满足 DBCAuuuu.利用这一性质，我们可以求解第四问题利用这一性质，我们可以求解第四问题 )0().0()0(),(),(,01010uuu 此时得到的是级数形式的解此时得到的是级数形式的解.7优学课堂2.2.高维波动方程初值问题的高维波动方程初值问题的PoissonPoisson公式与降维法公式与降维法(1)Poisson(1)Poisson公式的应用公式的应用,PoissonPoisson公式给出了波动方程公式给出了波动方程CauchyCauchy问题解的表达式，直接

10、利用问题解的表达式，直接利用PoissonPoisson公式求公式求解（实则是写出）波动方程的解（实则是写出）波动方程的CauchyCauchy问题，问题，其关键在于当其关键在于当 已给定时，具体求出表已给定时，具体求出表达式中的积分达式中的积分.8优学课堂.0,)0(),(02302tttzzyyxxttuzyxutuuuau,0),(,),(23zyxzyxzyx例例2 2 利用利用PoissonPoisson 公式求解波动方程公式求解波动方程CauchyCauchy问题问题 解解 由于由于故由故由PoissonPoisson公式，得公式，得 9优学课堂.sin .cos,sinsin)0

11、 ,20(,cossinddatdSatzatyatx.3222223ztazyxtax sin)cos()sinsin()cossin(141220032datatzatyatxdtta)(141),(232MatSdSttatzyxu 令令 10优学课堂例例3 利用利用Poisson公式求解波动方程初值问题公式求解波动方程初值问题.0),()0(),(0202tttyyxxttuyxxutuuau解解 由于由于,0),(,)(),(2yxyxxyx故由故由Poisson公式，得公式，得11优学课堂)(21),(2222Matddrtatatyxu .)()(,)()(:222222Maty

12、xrtayx 令令)20 ,0(,sin,cosatrryrx .rdrddd)cos(sin )cos(1 212002222rdrryxrxrtadtaat).3()(222yxtayxx 12优学课堂（2 2）降维法）降维法 所谓“降维法”是指把低维问题看成高维问题的“特例”，利用高维所谓“降维法”是指把低维问题看成高维问题的“特例”，利用高维 问题的求解公式来导出低维问题解的表达式的一种方法，它是求解数学问题的求解公式来导出低维问题解的表达式的一种方法，它是求解数学 物理方程某些定解问题常采用的一种方法物理方程某些定解问题常采用的一种方法.例例 4 利用降维法导出初值问题利用降维法导出

13、初值问题（）（）).(),()0(,002xuxutuautttxxtt的求解公式的求解公式.解解 从三维从三维一维：一维：把 所 求 初 值 问 题 的 解把 所 求 初 值 问 题 的 解),(txu看 作 三 维 空 间看 作 三 维 空 间),(tzyx中 的 函 数中 的 函 数),(),(*txutzyxu（即与（即与x轴垂直的平面上的点处其函数值相等），同样，视轴垂直的平面上的点处其函数值相等），同样，视)(x和和)(x为空间为空间),(zyx中的函数中的函数.则则),(*tzyxu应形式的满足初值问题应形式的满足初值问题 13优学课堂 （）（）).(),()0(),(0*0*2

14、*xuxutuuuautttzzyyxxtt 其解由其解由 PoissonPoisson 公式给出：公式给出：MatMatSSdStadSttatzyxu)(41)(1 41),(22*.则问题是：如何将沿球面则问题是：如何将沿球面 22222)()()(:tazyxSMat 的积分化为沿直线的积分（因被积函数的积分化为沿直线的积分（因被积函数和 不含不含，关于这两个变元的积分积出来，关于这两个变元的积分积出来，这便是降维的关键）为此，对球面这便是降维的关键）为此，对球面MatS作如下作如下 分割：分割：14优学课堂 用间距为用间距为d的平行平面的平行平面,constconstd去截球面去截球

15、面(由积分学由积分学知：半径为知：半径为R的球面被间距为的球面被间距为L的平行平面所截，所割出的球带的面积都的平行平面所截，所割出的球带的面积都相等，都等于相等，都等于RL2)，则割出的球带的面积为，则割出的球带的面积为atd 2，以此作为球面，以此作为球面的面元，则我们有的面元，则我们有 datdS 2，以此代入上述以此代入上述 PoissonPoisson 公式，由于公式，由于和和与变量与变量y和和z无关，便得无关，便得 atxatxatxatxdadtatxutzyxu)(21)(21),(),(*.)(21)()(21atxatxdaatxatx 这正是熟知的这正是熟知的 D DAle

16、mbertAlembert 公式公式 15优学课堂从二维从二维一维一维 同样的道理，把初值问题（）的解同样的道理，把初值问题（）的解),(txu看作二维空间看作二维空间),(tyx中的函数：中的函数：),(),(*txutyxu而把而把)(),(xx看作空间看作空间),(yx中的函数，则中的函数，则),(),(*txutyxu应应 形式的满足二维波动方程初值问题（）形式的满足二维波动方程初值问题（）).(),()0(),(0*0*2*xuxutuuautttyyxxtt 其解由其解由 PoissonPoisson 公式给出：公式给出：MatMatrtaddartaddtatyxu,)(21)(

17、21),(222222*此处此处Mat表示以表示以),(yxM为心，以为心，以at为半径的圆盘：为半径的圆盘：2222)()(tayx，而，而 222)()(yxr则问题的关键是：如何将沿平面的二重积分化为沿直线的定积分则问题的关键是：如何将沿平面的二重积分化为沿直线的定积分 16优学课堂由于积分区域由于积分区域Mat的特殊性，的特殊性，)(),(又与又与无关，因而我们可将上述积分无关，因而我们可将上述积分 先先后后进行累次积分：进行累次积分：)()()(21),(),(222222)()(2222*atxatxxtayxtayyxtaddtatxutyxuatxatxxtayxtayyxta

18、dda222222)()(2222)()()(2117优学课堂)(sin)(21222222)()(2221atxatxxtayxtayxtaydta )(sin)(21222222)()(2221atxatxxtayxtayxtayda atxatxatxatxdadta)(21)(21 atxatxdaatxatx)(21)()(21 此即此即 D DAlembertAlembert 公式公式 18优学课堂 .初值问题解的存在、唯一性初值问题解的存在、唯一性例例（姜礼尚等数学物理方程讲义（姜礼尚等数学物理方程讲义P109,6P109,6）试求解初值问题）试求解初值问题 )(),()(),(

19、),(,010 xxuuxxuuxtxuuxttxtxxtt 其中其中1 若初值只给定在 若初值只给定在bxa上，试问它能在什么区域上确定解？上，试问它能在什么区域上确定解？解解 （）在区域（）在区域,),(xtxtx内，泛定方程有解内，泛定方程有解 ).()(),(txgtxftxu 其中其中)(),(gf为适当光滑的任意函数又由初始条件，我们得为适当光滑的任意函数又由初始条件，我们得 )()1()1(0 xuxgxf )()1()1(1xuxgxf 19优学课堂由由得得 xxcduxgxf011)()1(11)1(11 即即 xxcduxgxf0)()1()1()1()1()1(12 ，联

20、立，求得联立，求得 ,2)(21)1(21)(11200cduXuXfXx .2)(21)1(21)(11200cduYuYgYx 111200)(21)1(21)1(21),(txtxdutxutxutxu （）（）此即所求初值问题之解，且从求解过程看出，解的唯一性是不成问题的，因为所给初此即所求初值问题之解，且从求解过程看出，解的唯一性是不成问题的，因为所给初值问题若有解，只能由（）给出值问题若有解，只能由（）给出 20优学课堂（）从求得的解的表达式我们看到：函数（）从求得的解的表达式我们看到：函数),(txu在点在点),(000txM处的值取决于处的值取决于初值函数初值函数)()(10

21、xuxu和在区间在区间1,10000txtx上的值因此，如果初值函数上的值因此，如果初值函数)()(10 xuxu和给在区间给在区间bxa上，则不妨设上，则不妨设10，此时其解，此时其解),(txu的的 定义域便为下列不等式组所确定的定义域便为下列不等式组所确定的),(tx的全体：的全体：21优学课堂它恰好是由分别过点它恰好是由分别过点)0,(),0,(ba的两条特征线的两条特征线axt和和xbt 以及支柱以及支柱xt 所围成的三角形区域所围成的三角形区域xtxbtaxt,内的点组成（如图）内的点组成（如图）例例 （姜（姜 P109,7P109,7）试证明）试证明 CauchyCauchy 问

22、题问题 )(),(,0),(,)(61xxuuuxtxtxuuxttxtxxtt 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是constxxu213)(，如有解，解不唯一试问：，如有解，解不唯一试问：若把初值给定在直线若把初值给定在直线xt 上，为什么在上，为什么在11与的情况下，的情况下，关于存在唯一性的结论不一样？关于存在唯一性的结论不一样？22优学课堂证明证明 （）泛定方程的两族特征线为（）泛定方程的两族特征线为consttx，若令，若令,txtx 则可将方程化成则可将方程化成 46u从而可知泛定方程包含两个任意函数的从而可知泛定方程包含两个任意函数的 解为解为 )()()()(43),(2

23、txgtxftxtxtxu （其中（其中)(),(gf为适当光滑的任意函数）于是，所给为适当光滑的任意函数）于是，所给 CauchyCauchy 问题问题 若有解，只能是如上形式所表达的函数若有解，只能是如上形式所表达的函数 由初始条件，我们得到由初始条件，我们得到 ).()2()0(3,)0()2(,0)2()0(12xuxgfxconstfxgxgf 23优学课堂故可知：所给故可知：所给 CauchyCauchy 问题有解问题有解constfxxu)0(3)(21 显然，当显然，当 CauchyCauchy 问题有解时，由于问题有解时，由于)(),(gf的任意性，可知：解是的任意性，可知：

24、解是不唯一的不唯一的 （）从以上两个问题的讨论我们看到：对于（）从以上两个问题的讨论我们看到：对于 CauchyCauchy 问题而言，当初问题而言，当初值给定在值给定在xt 上时，则当上时，则当11和时，其解的存在唯一性是很时，其解的存在唯一性是很不一样的，前者解是存在唯一的，而后者要么无解，要么解不唯一，这要不一样的，前者解是存在唯一的，而后者要么无解，要么解不唯一，这要看初值是否满足一定的条件 这是因为看初值是否满足一定的条件 这是因为xt恰为以上两个恰为以上两个 CauchyCauchy 问题的问题的泛定方程的两条不同族的特征线泛定方程的两条不同族的特征线 一般的讲，双曲型方程的一般的

25、讲，双曲型方程的 CauchyCauchy 问题，当支柱为特征线是，要么无解，问题，当支柱为特征线是，要么无解，要么解不唯一我们再以如下的要么解不唯一我们再以如下的 CauchyCauchy 问题来说明这一点：问题来说明这一点：24优学课堂考虑考虑 CauchyCauchy 问题问题)(),()(),(),(,0 xxguxxfubyxubyybyxy 泛定方程有解泛定方程有解 )()(),(xGxFyxu，（其中，（其中GF,为适当光滑为适当光滑的任意函数）的任意函数）由定解条件，有由定解条件，有).()0(),()0()(xgGxfGxF 但这一般是不可能的但这一般是不可能的 因此，因此，CauchyCauchy 问题的支柱应当是这样的一条曲线，它处处不与特问题的支柱应当是这样的一条曲线，它处处不与特征方向相切，即它应当是“适当倾斜的”征方向相切，即它应当是“适当倾斜的”25优学课堂再见