人教版数学必修一初等函数难题

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1、 【考点训练】基本初等函数I-1一、选择题（共10小题）1方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，xn+1=（nN+），则（x1）=（）ABC1D02（泸州二模）设a，b为正实数，（ab）2=4（ab）3，则logab=（）A1B1C1D3（天津二模）设ab0，a+b=1且x=（）b，y=loga，z=a，则x，y，z的大小关系是（）AyxzBzyxCyzxDxyz4（广州模拟）若2x3，Q=log2x，则P，Q，R的大小关系是（）AQPRBQRPCPRQDPQR5设a，b，xN*，ab，已知有关x的不等式lgblgalgxlgb+lga的解集X的元

2、素个数为50个，当ab取最大也许值时，=（）AB6CD46函数f（x）的定义域为D，满足：f（x）在D内是单调函数；存在D，使得f（x）在上的值域为a，b，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（cxt）（c0，c1）是“优美函数”，则t的取值范畴为（）A（0，1）B（0，）C（，）D（0，）7（湖北模拟）已知定义域为（O，+）的单调函数f（x），若对任意x（0，+），均有ff（x）+=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A3B2C1DO8在下图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象也许是（）ABCD9已知函数f（x）=loga（x+1），g（

3、x）=2loga（2x+t）（a1），若x0，1），t4，6）时，F（x）=g（x）f（x）有最小值是4，则a的最小值为（）A10B2C3D410（自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大体是（）ABCD二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）11已知函数f（x）=，a0，b0，且a1，b1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当ab时，运用（1）中的结论，证明不等式：12已知函数f（x）=2x+|x|（1）解不等式：f（x）；（2）若有关x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+）上有解，求实数a的取值范畴13设f（x）=（）x3x，解有

4、关x的不等式f（）+f（x）014已知，满足等式，试求+的值15如果函数f（x）=ax（ax3a21）（a0且a0）在区间0，+）单调递增，那么实数a的取值范畴是什么？16（浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x）=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的xD，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素（1）判断函数f（x）=x+1，g（x）=2x1与否是M的元素；（2）设函数f（x）=loga（1ax），求f（x）的反函数f1（x），并判断f（x）与否是M的元素；（3）若f（x）x，写出f（x）M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数17（徐州一模）设P1（x1，y

5、1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若，求Sn；（3）记Tn为数列的前n项和，若对一切nN*都成立，试求a的取值范畴；18（哈尔滨模拟）已知f（x）=aex+cosxx（0x1）（1）若对任意的x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范畴；（2）求证：19（金山区一模）已知函数f（x）=loga在定义域D上是奇函数，（其中a0且a1）（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+）上的单调性，并加以证明；（3）当x（r，a2）时，f（x）的值的范畴恰为（1，+），求a及r的值20（宝山区一模）

6、已知f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一种交点；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一种公共点，求实数a的取值范畴【考点训练】基本初等函数I-1参照答案与试题解析一、选择题（共10小题）1方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，xn+1=（nN+），则（x1）=（）ABC1D0考点：对数的运算性质菁优网版权所有专项：函数的性质及应用分析：函数f（x）=有唯一不动点有唯一实数根，化为ax2+（2a1）x=0，由于a0，可得=0，解得a=f（x）=

7、由于x1=2，xn+1=，可得，再运用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出解答：解：函数f（x）=有唯一不动点，有唯一实数根，化为ax2+（2a1）x=0，a0，=（2a1）20=0，解得a=f（x）=且x1=2，xn+1=，xn+1=，数列xn1是等比数列，（x1）=故选：B点评：本题考察了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考察了等价转化能力，考察了推理能力与计算能力，属于难题2（泸州二模）设a，b为正实数，（ab）2=4（ab）3，则logab=（）A1B1C1D考点：对数的运算性质菁优网版权所有专项：综合题分析：由a，b为正实数，知a+b，由（ab）2=4（ab

8、）3，知（a+b）2=4ab+（ab）2=4ab+4（ab）34=8（ab）2，故，因此a+b=2ab，由此可以求出logab解答：解：a，b为正实数，a+b，（a+b）2=4ab+（ab）2=4ab+4（ab）34=8（ab）2，故a+b=2ab，由中档号成立的条件知ab=1，与联立，解得，或logab=1故选B点评：本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用3（天津二模）设ab0，a+b=1且x=（）b，y=loga，z=a，则x，y，z的大小关系是（）AyxzBzyxCyzxDxyz考点：对数值大小的比较菁优网版权所有专

9、项：函数的性质及应用分析：运用对数函数和指数函数的单调性即可得出解答：解：ab0，a+b=1，y=logaz=a，即yzab0，a+b=1，0ba1z=a=0，=1xzyzx故选：C点评：本题考察了对数函数和指数函数的单调性，属于难题4（广州模拟）若2x3，Q=log2x，则P，Q，R的大小关系是（）AQPRBQRPCPRQDPQR考点：对数值大小的比较；指数函数的定义、解析式、定义域和值域菁优网版权所有专项：计算题；综合题分析：运用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到P，Q1，R，再构造函数x=22t，通过度析y=2t 和 y=2t的图象与性质，得到结论解答：解：P=在x（2，3）上单调递

10、减，P；Q=log2x在x（2，3）上单调递增Q1；R=在x（2，3）上单调递增，R，显然需要比较的是Q，R的大小关系令x=22t，这是一种单调递增函数，显然在x（2，3）上x与t 一一相应，则1Q=log2x=2t，R=2t，tlog23log24=1，在坐标系中做出 y=2t 和 y=2t的图象，两曲线分别相交在 t=1 和 t=2 处，可见，在 t1 范畴内 y=2t 不不小于 y=2t，在 1t2 范畴内 y=2t 不小于 y=2t，在 t2 范畴内 y=2t 不不小于 y=2t，t1，2t2t，即 RQ；当2x3时，RQP故选D点评：本题考核对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较

11、，考察构造函数，通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题，考察学生综合分析与解决问题的能力，属于难题5设a，b，xN*，ab，已知有关x的不等式lgblgalgxlgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大也许值时，=（）AB6CD4考点：对数的运算性质菁优网版权所有专项：函数的性质及应用分析：由不等式lgblgalgxlgb+lga可得，运用对数函数的单调性可得，由于a，b，xN*，有关x的不等式lgblgalgxlgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得，化为由于ab可得ab51+1，再运用基本不等式即可得出解答：解：由不等式lgblgalgxlgb+lga可得，a，b

12、，xN*，有关x的不等式lgblgalgxlgb+lga的解集X的元素个数为50个，52，a，b，xN*，ab（a=1时不成立），令g（a）=，a2，可知g（a）单调递减当a=2时，取ab=68时，b=34取ab=69，b不是整数，舍去因此ab的最大值为68当ab取最大也许值时，=6故选：B点评：本题考察了集合的意义、基本不等式的性质，考察了推理能力，属于难题6函数f（x）的定义域为D，满足：f（x）在D内是单调函数；存在D，使得f（x）在上的值域为a，b，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（cxt）（c0，c1）是“优美函数”，则t的取值范畴为（）A（0，1）B

13、（0，）C（，）D（0，）考点：对数函数的图像与性质菁优网版权所有专项：函数的性质及应用分析：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论解答：解：若c1，则函数y=cxt为增函数，y=logcx，为增函数，函数f（x）=logc（cxt）为增函数，若0c1，则函数y=cxt为减函数，y=logcx，为减函数，函数f（x）=logc（cxt）为增函数，综上：函数f（x）=logc（cxt）为增函数，若函数f（x）=logc（cxt）（c0，c1）是“优美函数”，则，即，即，是方程x2x+t=0上的两个不同的正根，则，解得0

14、t，故选：D点评：本题重要考察与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的核心，综合性较强，有一定的难度7（湖北模拟）已知定义域为（O，+）的单调函数f（x），若对任意x（0，+），均有ff（x）+=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A3B2C1DO考点：对数的运算性质；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专项：综合题分析：由题设知必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，故3+，左增，右减，有唯一解a=2，故，由此可以导出方程f（x）=2+的解的个数是2解答：解：定义域为（O，+）的单调函数f（x），满足ff（x）+=3，f（x）=2+，必存在唯一的正实数a，满足，

15、f（a）=3，由得：3+，左增，右减，有唯一解a=2，故，f（x）=2，由2=2+，得，令，则t2=2t，此方程只有两个正根t=2，或t=4，x=4，或x=16故方程f（x）=2+的解的个数是2故选B点评：本题考核对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化8在下图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象也许是（）ABCD考点：指数函数的图像与性质；二次函数的图象菁优网版权所有专项：计算题分析：二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象，分别判断a，b，c的符号及关系，由此寻找对的答案解答：解：A中，由二次函数

16、y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0，此时，y=（）x即y=（）x为减函数，故A成立；B中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0此时，0，函数y=（）x无意义，故B不成立；C中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0，此时，y=（）x即y=（）x为增函数，故C不成立；D中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0此时，0，函数y=（）x无意义，故D不成立；故选A点评：本题考察指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能精确地判断系数的取值9已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a1）

17、，若x0，1），t4，6）时，F（x）=g（x）f（x）有最小值是4，则a的最小值为（）A10B2C3D4考点：对数的运算性质；函数的最值及其几何意义；对数函数的值域与最值菁优网版权所有专项：计算题分析：把f（x）和g（x）代入到F（x），然后运用对数的运算性质化简，转化为有关a的不等式，再运用基本不等式即可解答：解：f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a1），x0，1），t4，6）时，F（x）=g（x）f（x）有最小值是4，F（x）=g（x）f（x）=，x0，1），t4，6）a1，令h（x）=4（x+1）+4（t2）+0x1，4t6，h（x）=4（x+1）+4（t

18、2）在0，1）上单调递增，h（x）min=h（0）=4+（t2）2+4（t2）=（t2）+22=t2，F（x）min=logat2=4，a4=t2；4t6，a4=t216，a2故选B点评：此题考核对数的运算性质，规定学生灵活运用对数运算的性质，纯熟运用化归思想解决恒成立问题，易错点转化为a4在于h（x）=4（x+1）+4（t2），该先把最小值解出，再令它等于4，转化为在t4，6）上有解，属于难题10（自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大体是（）ABCD考点：对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化菁优网版权所有专项：数形结合分析：先导出再由函数f

19、（x）=logax是增函数知，a1再由对数函数的图象进行判断解答：解：由函数f（x）=logax是增函数知，a1故选B点评：本小题重要考察了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力此类试题常常浮现，要高度注重二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）11已知函数f（x）=，a0，b0，且a1，b1（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当ab时，运用（1）中的结论，证明不等式：考点：指数函数综合题菁优网版权所有专项：函数的性质及应用分析：（1）分子分母同步除以bx，然后根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数f（x）的单调性；（2）当ab时，运用（1）中的结论，将不等

20、式中的式子转化为相应的函数值，运用函数的单调性即可证明不等式：解答：解：（1）f（x）=，若a=b，则f（x）=a，此时函数为常数函数，不单调若ab，则ba0，则为增函数，根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数若ab，则ba0，则为减函数，根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数综上当ab时，函数f（x）的单调递增（2）f（x）=，f（0）=，f（1）=，f（1）=，f（）=，当ab时，函数f（x）的单调递增且1，f（1）f（）f（0）f（1），即成立点评：本题重要考察函数单调性的判断和应用，规定纯熟掌握符合函数单调性之间的关系，将不等式中的式子转化为相应的函数值是解决本

21、题的核心12已知函数f（x）=2x+|x|（1）解不等式：f（x）；（2）若有关x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+）上有解，求实数a的取值范畴考点：指数函数综合题菁优网版权所有专项：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）将函数表达为分段函数形式，然后根据分段函数即可解不等式：f（x）；（2）运用换元法将方程转化为有关t的方程形式，然后运用基本不等式即可得到结论解答：解：（1）当x0时，f（x）=2x+|x|=22x=2x+12，当x0时，f（x）=2x+（）x由不等式f（x）得：当x0等价为2x+1，即22x+1，x+1，即x0，当x0等价为2x+（）x，设t=2x，则

22、t1，即4t217t+40，解得，此时1t4，此时12x4，解得0x2综上不等式的解为x2，即不等式的解集为x|x2（2）当x0时，f（x）=2x+（）xf（2x）+af（x）+4=0在（0，+）上等价为：，即，设t=，则当x0时，t2，此时方程等价为t2+at+2=0，即，当t2时，g（t）=单调递增，g（t）g（2）=3，g（t）=（）3，要使有解，则a3，即实数a的取值范畴是a3点评：本题重要考察不等式的解法以及基本不等式的应用，将函数表达为分段函数形式，运用换元法是解决本题的核心，综合性较强，难度较大13设f（x）=（）x3x，解有关x的不等式f（）+f（x）0考点：指数函数综合题菁优

23、网版权所有专项：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据指数函数的性质判断函数f（x）的单调性和奇偶性，运用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转换，然后根据不等式的解法讨论a的取值即可得到结论解答：解：根据函数单调性的性质可知f（x）=（）x3x为减函数，且f（x）=（）x3x=3x3x，则f（x）=3x3x=（3x3x）=f（x），f（x）是奇函数，则不等式f（）+f（x）0等价为f（）f（x）=f（x），x即+x=0若a=1，则不等式=10恒成立，此时不等式的解集为x|x1若a1，则由不等式0得xa或x1，即不等式此时的解集为x|xa或x1，若a1，则由不等式0得xa或x1，即不等式此

24、时的解集为x|xa或x1，综上：若a=1，不等式的解集为x|x1若a1，不等式此时的解集为x|xa或x1，若a1，不等式此时的解集为x|xa或x1点评：本题重要考察不等式的解法，运用函数的单调性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的核心，本题综合考察函数的性质，综合性较强，有一定的难度14已知，满足等式，试求+的值考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算菁优网版权所有专项：计算题；函数的性质及应用分析：由，所满足的等式联想构造函数f（x）=x33x2+5x3，由g（t）=f（t+1）=（t+1）33（t+1）2+5（t+1）3=t3+2t是奇函数，令p+1=，q+1=得到f（）=2，f（）=2从而

25、有g（p）=g（q），即p+q=0，而p=1，q=1由此可求得+的值解答：解：由，设f（x）=x33x2+5x3，g（t）=f（t+1）=（t+1）33（t+1）2+5（t+1）3=t3+2t是奇函数令p+1=，q+1=，f（）=g（p）=p3+2p=2，f（）=g（q）=q3+2q=2g（p）=g（q）则p+q=0，而p=1，q=1即：1+1=0得到：+=2点评：本题考察了函数的性质及其应用，考察了学生的灵活思维能力，解答此题的核心在于构造函数f（x）=x33x2+5x3，是压轴题15如果函数f（x）=ax（ax3a21）（a0且a0）在区间0，+）单调递增，那么实数a的取值范畴是什么？考点

26、：指数函数综合题菁优网版权所有专项：函数的性质及应用分析：运用换元法将函数转化为一元二次函数形式，运用符合函数单调性之间的关系即可得到结论解答：解：设t=ax，当x0时，则函数f（x）=ax（ax3a21）（a0且a0）等价为：y=g（t）=t（t3a21）=t2（3a2+1）t，对称轴t=若a1，则当x0时，t1，此时函数t=ax单调递增，要使函数f（x）在区间0，+）单调递增，则g（t）在1，+）单调递增，即对称轴t=1，即3a21，即0a，此时不成立，若0a1，则当x0时，则0t1，此时函数t=ax单调递减，要使函数f（x）在区间0，+）单调递增，则g（t）在0t1单调递减，即对称轴t=

27、1，即3a21，即a1，即实数a的取值范畴是a1点评：本题重要考察符合函数单调性的应用，根据同增异减的原则是解决本题的根据，本题还使用了换元法，注意对a要进行分类讨论16（浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x）=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的xD，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素（1）判断函数f（x）=x+1，g（x）=2x1与否是M的元素；（2）设函数f（x）=loga（1ax），求f（x）的反函数f1（x），并判断f（x）与否是M的元素；（3）若f（x）x，写出f（x）M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数考点：对数函数图象与性质的综合应用

28、；元素与集合关系的判断；反函数菁优网版权所有专项：综合题分析：（1）依题意，可求得f（f（x）=x，g（g（x）=4x3，从而可作出判断；（2）由y=，a1时可求得其反函数为y=（x0），0a1时，反函数为y=（x0），可求得f（f（x）=x，从而可判断f（x）与否是M的元素；（3）f（x）x，f（x）M的条件是：f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）=f（x），举例即可解答：解：（1）对任意xR，f（f（x）=（x+1）+1=x，f（x）=x+1M（2分）g（g（x）=2（2x1）1=4x3不恒等于x，g（x）M（4分）（2）设y=，a1时，由01ax1解得：x0，y0；由y=，解得其反

29、函数为y=，（x0）（6分）0a1时，由01ax1解得：x0，y0解得函数y=的反函数为y=，（x0）（8分）f（f（x）=xf（x）=M（11分）（3）f（x）x，f（x）M的条件是：f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）=f（x）（13分）函数f（x）可以是：f（x）=（ab0，acb2）；f（x）=（k0）；f（x）=（a0，x0，）；f（x）=（a0，a1）；f（x）=sin（arccosx），（x0，1或x1，0），f（x）=cos（arcsinx）；f（x）=arcsin（cosx），（x0，或x，），f（x）=arccos（sinx）以“；”划分为不同类型的函数，评分原则如下

30、：给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得（3分）属于以上同一类型的两个函数得（1分）；写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；函数定义域或条件错误扣（1分）点评：本题考核对数函数图象与性质的综合应用，考察反函数，考察抽象思维与综合分析与应用的能力，属于难题17（徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若，求Sn；（3）记Tn为数列的前n项和，若对一切nN*都成立，试求a的取值范畴；考点：指数函数综合题；数列的应用；数列的求和菁优网版权所有专项：计算题；证明题分析：（1）由得到P是P1P

31、2的中点x1+x2=1y1+y2=1得到yp即可；（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而能写成，两者相加可得Sn；（3）先表达Tn的同项公式，求出之和，根据运用基本不等式求出a的取值范畴即可解答：解：（1），P是P1P2的中点x1+x2=1=1（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，相加得=2f（1）+1+1+1=n+32（n1个1）（3），当且仅当n=4时，取“=”，因此，点评：考察学生运用数列及数列求和的能力，理解掌握指数函数性质的能力，以及会用基本不等式证明的能力18（哈尔滨模拟）已知f（x）=aex+cosxx（0x1

32、）（1）若对任意的x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范畴；（2）求证：考点：对数函数图象与性质的综合应用菁优网版权所有专项：综合题分析：（1）由f（x）0，得a（xcosx）ex，记g（x）=（xcosx）ex，求出g（x）的导数，运用导数判断g（x）在（0，1）的单调性，再由函数的单调性进行求解（2）构造函数h（x）=（0x1），且h（0）=0，求出h（x）的导数，再由导数判断h（x）在（0，1）上的单调性，再借助函数的单调性进行求解解答：解：（1）由f（x）0，得a（xcosx）ex，记g（x）=（xcosx）ex，则g（x）=（1+sinx）ex+（xcosx）ex=（1+s

33、inxcosx+x）ex，0x1，sinx0，1cosx0，ex0，g（x）0，g（x）在（0，1）上为增函数1g（x）（1cos1）e，故a1（2）构造函数h（x）=（0x1），且h（0）=0，则h（x）=ex+cosxx，由（1）知：当a=1时，f（x）=ex+cosxx0（0x1），h（x）在（0，1）单调递减，h（x）h（0）=0，即点评：本题考核对数函数的性质和应用，解题时要注意导数的应用，掌握构造法在解题中的合理运用19（金山区一模）已知函数f（x）=loga在定义域D上是奇函数，（其中a0且a1）（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+）上的单调性，并加以证

34、明；（3）当x（r，a2）时，f（x）的值的范畴恰为（1，+），求a及r的值考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质菁优网版权所有专项：证明题；综合题；转化思想分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（x）=f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数不小于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可；（2）由于本题中参数a的取值范畴未定，故应对它的取值范畴分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；（3）由题设x（r，a2）时，f（x）的值的范畴恰为（1，+），可根据函数的单调性拟定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值解答：

35、解：（1）由于f（x）是奇函数，因此f（x）=f（x），因此loga=loga，（2分）即1m2x2=1x2对一切xD都成立，（3分）因此m2=1，m=1，（4分）由于0，因此m=1（5分）因此f（x）=loga，D=（，1）（1，+）（6分）（2）当a1时，f（x）=loga，任取x1，x2（1，+），x1x2，（7分）则f（x1）f（x2）=logaloga=loga（+1）loga（+1）（9分）由于x1，x2（1，+），x1x2，因此+1+1，得f（x1）f（x2），（10分）【注】只要写出x1，x2（1，+），x1x2，f（x1）f（x2）=，得出f（x1）f（x2）即可即f（x）在

36、（1，+）上单调递减（11分）同理可得，当0a1时，f（x）在（1，+）上单调递增 （13分）（3）由于x（r，a2），定义域D=（，1）（1，+），1当r1时，则1ra2，即a3，（14分）因此f（x）在（r，a2）上为减函数，值域恰为（1，+），因此f（a2）=1，（15分）即loga=loga=1，即=a，（16分）因此a=2+且r=1 （18分）2当r1时，则（r，a2）（，1），因此0a1由于f（x）在（r，a2）上为增函数，因此f（r）=1，a2=1，解得a=1与a0且a1矛盾（舍） （20分）点评：本题考察对数函数性质的综合运用，解答本题核心是纯熟掌握对数的性质，函数单调性的证明

37、措施，单调性的运用等结论，本题中第三小问是难点，第二问证明较繁琐，是本题的重点本题考察了打理证明的能力，等价转化的能力以及转化的思想20（宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一种交点；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一种公共点，求实数a的取值范畴考点：对数函数图象与性质的综合应用；偶函数菁优网版权所有专项：计算题；证明题分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（x），取x=1代入即可求出k的值；（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log4（4x+1）x

38、，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的鉴定措施，我们易拟定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一种公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一种实根，化简可得 有且只有一种实根，令t=2x0，则转化才方程 有且只有一种正根，讨论a=1，以及=0与一种正根和一种负根，三种情形，即可求出实数a的取值范畴解答：解：（1）f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数f（x）=f（x）即log4（4x+1）kx=log4（4x+1）+kx即log4（4x+1）（k+1）x=log4（4x+1）+kx即2k+1=0k=证明：（2）由（1）得f（x）=

39、log4（4x+1）x令y=log4（4x+1）x由于y=log4（4x+1）x为减函数，且恒为正故当b0时，y=log4（4x+1）xb有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一种交点，当b0时，y=log4（4x+1）xb没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一种交点；（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一种公共点即方程 有且只有一种实根化简得：方程 有且只有一种实根令t=2x0，则方程 有且只有一种正根，不合题意；或3若 ，不合题意；若 若一种正根和一种负根，则 ，即a1时，满足题意因此实数a的取值范畴为a|a1或a=3点评：本题重要考察了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同步考察了分类讨论的思想，由于综合考察了多种函数的难点，属于难题