复合材料力学讲义

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1、复合材料力学讲义第一部分 简朴层板宏观力学性能1.1 各向异性材料的应力应变关系应力应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为： （11）其中i为应力分量，Cij为刚度矩阵j为应变分量对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的状况)，上述简写符号和常用的三维应力应变张量符号的对照列于表11。按表1l，用简写符号表达的应变定义为：表11 应力应变的张量符号与简写符号的对照注：ij（ij）代表工程剪应变，而ij（ij）代表张量剪应变（12）其中u，v，w是在x，y，z方向的位移。在方程(12)中，刚度矩阵Cij有30个常数但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的存在有弹性位能

2、或应变能密度函数的弹性材料当应力i作用于应变dj时，单位体积的功的增量为： （13）由应力应变关系式(11)，功的增量为： （14）沿整个应变积分，单位体积的功为： （15）虎克定律关系式(11)可由方程(15)导出： （16）于是 （17）同样 （18）因W的微分与顺序无，因此： （19）这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。用同样的措施我们可以证明： （110）其中Sij是柔度矩阵，可由反演应力变关系式来拟定应变应力关系式为 （111）同理 （112）即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数刚度和柔度分量可觉得是弹性常数。在线性弹性范畴内，应力应变关系的一般体现式为：（113）事实

3、上，关系式(113)是表征各向异性材料的，由于材料性能没有对称平面这种各向异性材料的别名是全不对称材料比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中论述多种材料性能对称的应力应变关系式的证明由蔡（Tais）等给出。如果材料有一种性能对称平面应力应变关系式可简化为（114）对称平是z0这种材料称为单对称材料单对称材料有13个独立的弹性常数。如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力应变关系式是：（115）该材料称为正交各向异性材料。注意到正应力1 2 3和剪应变23 31 13之间没有像各向异性材料中存在的(例如由C

4、14的存在)互相作用。同样，剪应力和正应变之间没有互相作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有互相作用。还注意到在刚度矩阵中目前只剩余9个独立常数。如果材料的每一点有一种各个方向的力学性能都相似的平面，那末该材料称为横观各向异性材料例如，假定12平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标l和2是可以互换的这样应力应变关系式中只有5个独立常数且可写成（116）如果材料有无穷多种性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情形，此时刚度炬阵中只有2个独立常数。 （117）五种最常用的材料性能对称情形的应变应力关系式见方程(118)，(119)，(120)，(121)和(122)。各向异性材

5、料(21个独立常数)（118）单对称材料(13个独立常数)(对于z=0的平面对称)（119）正交各向异性材料(9个独立常数)(1-20)横观各向同性材料(5个独立常数)(1-2平面是各向同性平而) （121）各向同性材料(2个独立常数) （122）1.2正交各向异性材料的工程常数工程常数(也称技术常数)是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其他性能常数这些常数可用简朴实验如轴向拉伸和疲劳实验来拟定因而具有明显的物理解释这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。最简朴的实验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变这样柔度矩阵比刚Sij比刚度矩阵Cij能更直接拟定对正交各向异性材料

6、用工程常数表达的柔度矩阵为（123）其中E1 E2 E3分别为1，2，3方向上的弹性模量 ij为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比即 （124）此处i0，其他应力全为零G23 G31 G12依次为23，31，12平面的剪切模量。对于正交各向异性材料，只有9个独立常量，由于 （125）这是由于柔度矩阵是方程(19)证明的对称刚度矩阵(Cij)的逆阵，当用工程常数代入方程(125)时，可得 （126）这样正交各向异性材料必须满足这三个互等关系。只有12 13和23需要进一步研究，由于12 13和23能用前三个泊松比和弹性模量来体现后三个泊松比亦不应忽视，由于在某些实验中它们可以测到在正交各

7、向异性材料中12和21的区别可用图11来阐明，该图表达了两种在单向应力作用下的正方形单元。第种状况应力作用在图11的1方向。由方程(120)和(123)得到应变为 （127）因此变形为 图1-1 12和21的区别 （128）其中裁荷方向由上标表达第二种状况是，伺样的应力值作用在图21中2方向，可得应变为 （129）而变形为 （130）显然，如果E1E2，则1122。但是，由互等关系，不管E1和 E2关系如何，12=21这是用贝蒂(Betti)定理来解决各向异性材料的一种推广。即当应力作用在2方向引起的横向变形(或横向应变)和应力作用在1方向引起的相似。由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆阵，由矩阵代

8、数可得正交各向异性材料的矩阵之间的关系为（132）其中 （133）在方程(132)中，符号S和C在每一处都可互换以得到逆转关系式用工程常数表达正交各向异性材料的刚度矩阵Cij可由方程(123)表达的柔度矩阵Sij的求逆得到，或者把Sij代入方程(132)和(133)得到方程(115)中的非零刚度是（134）其中（135）特别指出，如果要明确一种材料与否是正交各向异性的，可以从多种角度进行力学性能实验，看它与否存在剪力耦合影响的方向，由此拟定材料与否是正交各向异性的、各向同性的、或是其他的。拟定材料主方向的最简朴措施是直观法但是，应用直观法材料的特性必须能很容易地用肉眼看出。例如在用硼环氧带制成

9、的纤维增强简朴层板中(图19)，容易看出纵向就是l方向同样，2方向在带平面中垂直于纵向的方向而3方向则由垂直于带平面定出。1.3 弹性常数的限制1.3.1 各向同性材料对各向同性材料，弹性常数必须满足某些关系式如剪切模量可由弹性模量贝E和泊松比，拟定 （136）为了使E和G总是正值，即正的正应力或剪应力乘上相应的正应变或剪应变产生正功，于是 （137）同样，如果各向同性体承受着静压力P的作用，体积应变(即三个正应变或拉伸应变之和)定义为 （138）于是体积模量 （139）是正值只要E是正值，则 （140）由于如果体积模量是负值，则静压力将引起各向同性材料体积膨胀因此对各向同性材料，泊松比的范畴

10、是 （141）1.3.2 正交各向异性材料正交各向异性材料弹性常数间的关系较为复杂为了避免陷入基于各向同性材料工作基本上的错觉，那些关系式应认真研究，一方面，应力分量和相应的应变分量的乘积表达应力所做的功，所有应力分量所做的功必须是正值，以免产生能量该条件提供了弹性常数数值上的热力学限制事实上对前面各向同性材料所做的就是这个限制的成果该限制由伦普里尔(lempriere)推广到正交各向异性材料。她规定联系应力应变的矩阵在形式上是正定的，即有正的主值或不变量于是，刚度和柔度矩阵两者都是正定的这个数学条件可由下述物理论证来替代，如每次只有一种正应力作用，相应的应变由柔度矩阵对角线元素决定于是，这些

11、元素必须是正的，即 （142）或用工程常数表达 （143） 同样，在合适的限制下，也许只有一种拉伸应变的变形再则，功只是由相应应力产生的这样，由于所作的功是由刚度矩阵的对角线元素决定的，这些元素必须是正的，即 （144）由方程(134) （145）同步，由于正定矩阵的行列式必须是正的，得 （146）由方程(132)，根据刚度矩阵是正值导出 （147）运用柔度矩阵的对称性方程(112)，得 （148）于是方程(145)可以写为 （149）如果Sij用工程常数表达，方程(149)也可以从方程(147)得到同样，方程(146)可以表达为（150）亦可改写为（151）为了得到用此外二个泊松比32和13

12、来体现一种泊松比21界线，方程(151)可进一步化为(152)对32和13可得相似的体现式。 前述对正交各向异性材料工程常数的限制，可以用来检查实验数据，看它们在数学弹性模型的范畴内与否与实际相一致在硼环氧复合材料的实验中，迪克森(Dickerson)和戴马蒂诺(DiMartino)报道说，在1方向加载荷引起2方向应变的泊松比(12) 高达1.97，两个方向的弹性模量是E1=11.86*106磅/英寸2，E2=1.33*106磅/英寸2，于是 (153) 和条件 (154)是满足的。因此，虽然我们按照各向同性材料的直觉知识不能接受这样大的数值，但12197却是一种合理的数据。文献没有报道充足的

13、资料以证明行列式条件(246)，这个条件也许是比较严格的。文献报道了另一种泊松比21为0.22，这个值满足对称条件或互等关系(148)。只有测定的材料性能满足限制条件，我们才有信心着手用这种材料设计构造物。否则，我们就有理由怀疑材料模型或实验数据，或者两者都怀疑。1.4 正交各向异性简朴层板的强度1.4.1 强度概念在描述层合板时，正交各向异性简朴层板的强度特性犹如刚度特性同样是一种重要的基本。由于要得到简朴层板所有也许方向的强度特性事实上是不也许的，必须拟定一种措施，以得到用材料主方向的特性表达任意方向上的特性。在此，众所周知的主应力和主应变的概念是无价值的。这里的中心点是主应力和主应变是与

14、材料方向无关的最大值；应力和应变的方向对各向同性材料毫无意义。由于正交各向异性材料的主应力轴和主应变轴不一定是一致的。尚有，在一种方向的强度比另一种方向低，因此最大应力不一定是控制设计的应力，必须合理比较实际的应力场和许用的应力场。前面几节中在刚度关系方面已完毕的工作可用作计算实际应力场的基本，尚待拟定的是许用应力场。建立在材料主方向的许用应力或强度，是研究正交各向异性简朴层板强度的基本。对于应力作用在其自身平面内的简朴层板，如果简朴层板的拉伸强度和压缩强度是相等的，它具有三个基本强度：X轴向或纵向强度Y横向强度S剪切强度(单位：力面积，即许用应力)。这些强度的方向表达在图12中；显然，这些强

15、度是应力1、2、12。单独作用的成果图12 单向增强简朴层板基本强度的拟定X=50000磅/英寸2Y=1000磅/英寸2S=磅/英寸2根据纤维的方向，像强度同样刚度在l方向高而在2方向低。假定在12平面内的应力是1=45000磅/英寸22=磅/英寸212=1000磅/英寸2那末，最大主应力显然低于最大强度。然而，2比Y大，这样简朴层板必然在所加应力下破坏。在正交各向异性简朴层扳中，要注意的核心是强度是应力方向的函数。相反，对各向同性材料，强度和施加于物体上的应力方向无关。如果材料的拉伸和压缩性能不相等（多数复合材料都是如此)，那末下述强度是必须的：Xt轴向或纵向拉好强度XC轴向或纵向压缩强度Y

16、t横向拉伸强度Yc横向压缩强度，S剪切强度上述强度必须定义在材料主方向上。材料主方向的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，它必须由纯剪应力拟定。即对于拉伸和压缩呈现不同性能的材料，不管剪应力是正的还是负的，都具有相似的最大值。观察图13中单向增强简朴层板上作用着正的或负的剪应力，可知上述陈述是合理的。剪应力正负的规定和帕加诺与周(Chou)的规定是一致的。在图13中，标明了正的和负的剪应力的应力场之间没有区别。这两个应力场彼此镜面对称。虽然用图13的下半部分来检查主应力时也是如此。于是在两种状况下的剪应力的最大值是相似的。 图13在材料主方向上的剪应力 图14 在和材科主方向成45o角的剪应力

17、但是，在非材料主方向上的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号。例如，在和材料主方向成45o时，正的和负的剪应力在纤维上产生符号相反的正应力，如图14所示。图中对于正的剪应力，纤维方向有拉伸应力，而垂直纤维的方向上有压缩应力对于负的剪应力，纤维方向存在着压缩应力，而拉伸应力垂直于纤维然而材料的法向强度和法向刚度在拉伸和压缩时是不同的。因此对于作用在和材料主方向成45o的正的和负的剪应力的表观剪切强度和剪切刚度是不同的。这个道理可以由简朴的单向增强简朴层板推广到织物材料。上述例子只是分析具有不同拉伸和压缩性能的正交各向异性材料所遇到的因难之一。此外这个例子也阐明了，在材料主方向上的那些基本资料是如何转

18、换到其他有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向这样的转换仅仅指出不管是强度还是刚度，这些基本资料是张量形式的，因此服从张量转换的常用规则。对于拉伸和压缩具有不同强度和刚度的材料的这个课题，不准备探入研究(除了报道不同强度之外)，由于对这种材料的研究仍处在初始阶段但是这个课题对于一般的复合材料是十分重要的，虽然不是纤维增强层合复合材料。1.4.2 强度和刚度的实验拟定对于拉伸和压缩性能相等的正交各向异性材料，可以进行一定的基本实验来得到材料主方向的性能。如果对的地进行实验，一般可以同步求得材料的强度和刚度特性刚度特性是述月E1 E2 12 21中只有三个是独立的强度特性是X轴向或纵向强度(1方向)

19、Y横向强度(2方向)S剪切强度(12平面内)通过下述几种实验，可以得到上述的基本刚度和强度数据。实验的基本原则是，当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力应变关系是线性的这样的线性关系对玻璃环氧复合材料是典型的，对于硼环氧复合材料也是十分合理的。而剪切性能却完全是非线性的，直到破坏为止。这个到破坏为止的线弹性特性和直到塑性开始之前呈现线弹性性能的物体的分析是完全相似的因此塑性理论的某些概念例如屈服函数，对于强度理论是有用的模拟，这点将在背面讨论。简朴层板的刚度和强度特性的实验测定中的核心，是使试件承受均匀应力状态。对于各向同性材料达样的加裁是比较容易的。然而，对于正交各向异性复合材料当载

20、荷作用在非材料主方向时此时的应力应变关系式由方程(155) 给出，这个正交各向异性性能将导致：(1)正应力和剪应变(2)剪应力和正应变(3)正应力和弯曲曲率(4)弯曲应力和正应变之间浮现藕合影响这样为了保证得到所盼望的数据，必须特别谨慎。(155)一方面考虑一单向增强简朴层板平片在1方向的单向拉伸实验如图15所示。在这个实验中测量应变1和2，由定义： (156)其中A是垂直于作用载荷的试件横截面积。第二，考虑一单向增强简朴层扳平片在2方向的单向拉伸实验如图16所示像第一种实验那样，测出1和2，这样 (157)其中A也是垂直于作用载荷的试件横截面积。图15在1方向作用单向载荷 图16在2方向作用

21、单向载荷此时，刚度性能必须满足互等关系式： (158)否则就存在着三种也许性(1)测量的数据不精确(2)进行的计算有错误(3)材料不可以用线弹性应力应变关系式描述 第三考虑一简朴层板平片，在和l方向成45o角的单向拉伸实验如图17所示。单独测量x，显然 (157)应用方程(159)中转换关系式 (158) (159) 其中，只有G12是未知的。于是 (160)对于强度，不存在像方程(160)同样的关系式由于强度没有必要像刚度同样转换因此，不也许依赖这个实验来决定极限剪应力S，由于随着的剪切破坏并不引起纯剪切变形因此，必须考虑得到S的其他措施。(161)然而，在转到决定剪切强度的其他措施之前，评

22、论进行第三种实验的难易限度是合适的。显然，由方程(161)可见，由于S16的存在，在正应力x和剪应变xy之间存在着藕合影响这样，虽然只有P力表达在图17中，实验并不能对的地进行，除非作用力是均匀地横贯于端部，且简朴层板的端部像图18的左图那样自由变形否则，如果简朴层板的端部嵌在实验机中，并作用着合力P则简朴层板将由剪切变形受到限制而扭曲成如图18右图中的形式如果和宽度相比试件足够长，在这种试件的中部，其变形相似于图18所示的没有限制的简朴层板的剪切和拉伸。这就是说，远离圣绍南(gtvenant)端部效应，实验的方式是无关紧要的然而在正常状况下，我们不能选用足够多的材料来得到有用的标距段。图17

23、单向裁荷作用在和1方向成45o角 图18载荷自纤维成45o角的单向增强简朴层扳的变形图17和18表达的非铀向实验的另一种特性，事实上不是测弹性模量Ex，而是测量了转换后的二维刚度Q11除非试件有高的长宽比。这个矛盾的因素在于，在试件中几何上容许的应变状态强烈地依赖于几何形状。如果试件是长而细的，按照圣维南原理，试件端部夹紧的边界条件是不重要的因此可以得到纯正的单向应变： (162) 然而，对短而粗的试件端部限制：x0，y=xy =0将导致应力应变关系： (163) 读者可运用所述条件和推导x的关系来证明方程(162)和(163)。方程（262）的Ex和方程(163)中的Q11的区别是明显的，它

24、可通过石墨环氧试件的图19得到最佳的阐明图中，对于和纤维方向成30o角的非轴向实验，Q11的值比Ex大10.4倍Q66和Qxy相比亦存在相似的差别。对于E1E2的值较低的材料，Q11和Ex之间的差别是较小的Q11和Ex之间的差别的实际意义是非轴向试件的长宽比必须足够大以保证测量的是Ex而不是Q11。图19 刚度圆Q66和Qxy与弹性模量Gxy和Ex 的比较讨论的最后一种实验事实上涉及测定剪切模量和强度的一组实验。讨论了几种实验。由于每一种实验均有缺陷并且在某种限度上，它们没有被普遍承觉得是最佳的剪切性能实验。由惠特尼，帕加诺和派普斯描述的管子扭转实验简要地表达在图110中。图中，薄的圆管在两端

25、承受扭矩T管子由所有平行于管轴，或者所有周向的多层纤维薄片构成。如果管壁很薄，有理由确信在整个壁厚内是等应力状态的。然而，由于管壁簿，端部夹固困难。一般，管子的端部由附加胶按层来加厚，以使加栽时，破坏发生在管子中间的均匀应力部分。制造扭转试件管子的费用高，且需要比较完善的测试设备如果测得在剪应力12作用下的剪应变12则 (164) (165)也可得到应力应变曲线的线性部分的剪切弹性模量 (166)然而，典型的剪应力剪应变曲线是完全非线性的，如图110所示因此，如像韩(Hahn)和蔡(tsai)所做的那样，在实际分析中应当用完全的应力应变曲线替代初始“弹性”模量。尽管如此，大多数复合材料仍然是用

26、方程(166)给出的初始弹性模量进行分析的。图110 管子扭转实验另一种用来测量复合材料剪切模量和剪切强度的实验是肖克(Shockey)提供的“十字梁”实验，她评价的复合材料简朴层板为夹层梁的面板，梁的芯子的弹性模量约比简朴层板小二个数量级。如图111表达的承受着载荷的十字梁。这样产生了一种薄膜应力状态，与x抽成45o方向，也许是均匀纯剪应力。然面由于交叉角处的应力集中，均匀应力状态只是在十字中心才达到。破坏在交叉角处开始。因此十字梁实验不是一种合适的测量剪切强度和剪切刚度的措施。 尚有一种剪切强度和剪切刚度实验，它是由惠特尼(Whitney)，斯坦斯巴杰(Stansbarger)和豪厄尔(h

27、owell)所描述的 “轨道剪切”实验。用两根轨道在简朴层板两对边用螺栓连结起来，如图112所示，一对在层合板的顶部伸出而另一对在层合板的底部伸出，组合件放置在万能实验机加载夹头之间加压。这样，简朴层板中引起剪切，考虑到端部影响(例如简朴层板顶部和底部的自由边)，这种试件的几何形状必须仔细选择。这些和其他某些影响也许导致测定的强度低于实际状况。尽管如此“轨道剪切”实验在航空工业中是广泛应用的，由于它简朴、便宜并且还能用来做高下温的实验。图111 夹层十字梁实验 图112 “轨道剪切”实验 第二部分 简朴层板的微观性能2.1 刚度的材料力学分析措施材料力学措施的重要特点是对复合材料的力学性能作某

28、些简化假设。最重要的假设是：在单向纤维复合材料中，纤维和基体在纤维方向的应变是一致的，如图21所示，由于基体和纤维的应变是相似的，显然垂直于1轴的截面在承载前是平面，在承载后仍是平面上述假设是材料力学措施最基本的假设，如在梁、板和壳体理论中常用的那样。在此基本上，我们将导出单向纤维增强复合材料的表观正交各向异性弹性模量的材料力学体现式。图21 在1方向承裁的代表性体积单元2.1.1 E1 的拟定要确它的第一种弹性模量是在复合材料的1方向上，即纤维方向的弹性模量。由图21 （21）根据基本假设，式中1合用于纤维和基体两者的应变。如果两种组分材料都处在弹性状态，则应力是 （22）平均应力1作用在描

29、截面A上，f作用在纤维的横截面Af上，m作用在基体的横截面Am上。作用在复合材料单元上的合力是 （23）将(22)式代入(23)式并觉得 （24）显然 （25）纤维和基体的体积比可写成 （26）这是纤维方向体现弹性模量的混合律体现式，混合律如图22所示。混合律表达，当Vf从0l变化时，体现弹性模量E1从Em线性变化到Ef图22 E1随纤维体积含量的变化 图23在2方向承载的代表性体积单无2.1.1 E2 的拟定下面研究垂直于纤维方向的“表观”弹性模量E2。在材料力学措施中，假定纤维和基体承受着同一种横向应力2，如图23所示。因此纤维和基体的应变是 （28）f作用的横向尺寸近似乎均值为Vf W。

30、作用的为VmW。总的横向变形为 （29）或 （210）用(28)式代入后，它成为 （211）但 （212）因此 （213）这是在垂直纤维方向的表观弹性模量的材料力学体现式。方程(313)可以无量纲化，成为 （214）表3给出了三个基体对纤维模量比E2Em值表31 对不同EmEf 和Vf值给出E2Em值在图24中，如果Vf1，则预测的模量即为纤维模量。如果作用的是拉伸应力2，那就意味着纤维之间的粘结是抱负的如果作用的是压缩应力2，并不意味着要这种粘结。虽然在Ef10 Em时，需要50%以上的纤维体积含量才干使横向模量提高到基体模量的两倍。这就是说，除非纤维的比例很高，否则纤维对横向模量的提高不能

31、起大的作用。显然，上述推导中涉及的假设并不是完全一致性的按照(28)式，在纤维和基体界面上的横向应变是不一致的，并且纤维和树脂的横向应力也不相似。相反垂直于纤维和基体边界面上的位移完全一致将形成一精确解，以拟定“表观”的横向弹性模量，这种解答只有用弹性力学措施才干得到。这种不一致性只有用实验成果与之比较才干估计。对这一解要注意的此外一点是，如果纤维和基体的泊松比不相似(它们很也许是不同的)，那么在纤维和基体中浮现了纵向应力(纵向的净合力为零)以及在纤维和基体界面上浮现了剪应力。这种剪应力在某些应力状态下必然浮现。因此不能把这一材料特性当作是不合适的或者是一种不合适解的标志。图24 E2Em随纤

32、维体积含量N变化 图35在1方向承截的代表性体积单元2.2.3 12 的拟定主泊松比12可由类似于分析E1的措施得到。当应力1而其他应力全为零时，主泊松比定义为 （215）变形如图35所示。横向变形w是 （216）但 （217）用分析横向弹性模量E2的措施，变形mw和fw近似地为 （218）这就是对主泊松比的混合律，用类似E1的措施绘于图26中。很明显，如果m =f 那么12 =m =f =。图2612随纤维体积含量的变化 图27受剪切裁荷时的代表性体积单元2.2.4 G12的拟定在材料力学措施中，简朴层板的平面内剪切模量G12是由假定纤维和基体中的剪应力相等来拟定的裁荷如图27所示由基本假设

33、 （220）不考虑纤维增强复合材料典型的剪应力剪应变非线性性能，觉得该性能是线性的。 在微观尺度上，变形如图28所示总的剪切变形为 （221）近似地由 （222）构成，由于m+f除以W得 （223）把（220）式代入，并觉得 （224）则（223）式可写成 （225）最后 （226）这和横向弹性模量E2的体现式同样。象E2同样，G12的体现式可用基体模量正化，表达为 （227）用若干GmGf值将上述方程绘于图38中。同E2同样，基体模量是G12体现式中的重要项当GfGm =10时，只有当纤维体积超过总体积的50%时，G12才干提高到Gm的两倍。图28 代表性体积单元的剪切变形图29 G12 随纤维体飘含量的变化2.2.5 小结前面所述仅是使用材料力学措施的某些例子。用物理性质的其他假说对正交各向异性层的四个弹性模量可以导出不同的体现式。例如，欧克凡尔(Ekvall)考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向应力状态而得到了凡E1和E2混合律体现式的修正式 （228）式中： （229）但是，当m 0.25时，对上述体现式的修正并不明显还作出了正方形或矩形纤维替代圆纤维或由于纤维引起的应力集中档多种特点的其他修正。