二进制的四则运算

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1、二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相似，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。二进制运算口诀则更为简朴。1加法二进制加法，在同一数位上只有四种状况：000，011，101，1110。只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完毕加法运算。例1 二进制加法（1）101101101；（2）1110101011。解 加法算式和十进制加法同样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。101101101100011 1110101011111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“互换律”，如10111011

2、10110110010。多种数相加，先把前两个数相加，再把所得成果依次与下 一种加数相加。例2 二进制加法（1）10111011110；（2）101（11011110）。解（1）10111011110 （2）101（11011110）100101110 10111011100000； 100000从例2的计算成果可以看出二进制加法也满足“结合律”。巩固练习 二进制加法（1）100111；（2）1001101101；（3）（1101110）110；（4）（10101110）1101。2减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。例3 二进制减法（

3、1）1101011110；（2）100011011。解（1）1101011111010111；（2）100011011110。例4 二进制加减混合运算（1）110101110111111；（2）1011011101111011。解（1）110101110111111100001011111100011（2）10110111011110111001111011101101。巩固练习 二进制运算（1）110101101；（2）11001111；（3）1101011111101；（4）1001111010011。3乘法二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有如下几条：000，010，100，111概括

4、成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。二进制乘法算式和十进制写法也同样。例5 二进制乘法（1）1001101；（2）110011010。解（1）1011101110111；（2）11001101011111010。例6 二进制运算（1）1011101；（2）1101101；（3）（10111）1010；（4）1011010111010。解（1） （2）10111011000001； 11011011000001；（3）（10111）10101010000；（4）10110101110101010000从例6的计算成果可以看出，二进制乘法满足“互换律”；乘法对加法也满足“分派律”。对这一结论，人

5、们还可以进行多次验证。巩固练习 二进制运算（1）10111101；（2）111011001；（3）10101（111101）；（4）（110011111）1014除法除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也同样，并且更简朴，每一位商数不是0，就是1。例7 二进制除法（1）101000101001；（2）10010011111。解 （1） （2）10100010100110010； 1001001111110101。例8 求二进制除法的商数和余数111010101解111010101 所得商数是1011，余数是11。巩固练习 二进制除法（1）1101110101；（2）1101；（3）求商数

6、和余数11010011001在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是相似的。被除数除数商数余数。如例8，111010101101111。二进制的四则运算二进制也可以进行四则运算，它的运算规则如下所示：加运算 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1减运算 1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1当2）乘运算 0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1除运算 二进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0.例1：求（1011101）B与（0010011）B之和例2： 求（1101）B与（0101）B的乘积通过例(1)我们再来简介两

7、个概念：半加和全加。半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。2.3 二进制数的运算二进制数的运算除了有四则运算外，还可以有逻辑运算。下面分别予以简介。2.3.1 二进制数的四则运算二进制数与十进制数同样，同样可以进行加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下：加运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，#逢2进1；减运算：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1，#向高位借1当2；乘运算：00=0，01=0，10=0，11=1，#只有同步为“1”时成果才为“1”；除运算：二进制数只有两个数（0，1），因此它

8、的商是1或0。1加、减法运算示例例如：求（1101）2+（1010）2之和；求（110000）2（10111）2之差，这两个计算过程分别如图2-12的（a）/（b）所示。图2-12 二进制数加、减法计算示例 加法运算环节图2-12（a）所示的加法运算环节如下：（1）一方面是最右数码位相加。这里加数和被加数的最后一位分别为“0”和“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“1”。（2）再进行倒数第二位相加。这里加数和被加数的倒数第二位都为“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“（10）2”，此时把背面的“0”留下，而把第一位的“1”向高一位进“1”。（3）再进行倒数第三位相加。这里加数和被加数的倒数

9、第二位都为“0”，根据加法原则可以懂得，本来成果应为“0”，但倒数第二位已向这位进“1”了，相称于要加“被加数”、“加数”和“进位”这三个数的这个数码位，因此成果应为0+1=1。（4）最后最高位相加。这里加数和被加数的最高位都为“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“（10）2”。一位只能有一种数字，因此需要再向迈进“1”，自身位留下“0”，这样该位相加后就得到“0”，而新的最高位为“1”。通过以上运算，可以得到（1101）2+（1010）2=10101。减法运算环节对于图2-12（b）所示的减法运算，在此专门解释一下。图中的“借位”行中某些位上方有标有“1”，表达该位被借数。具体过程为从被减

10、数的右边第一位开始减去减数，这与十进制数的减法运算同样。在本例中，最低为“0”，由于0减去1，“0”比“1”小，而需要向右数第二位借位，而这里的第二位也为“0”，不够借转，需要继续而向右数第三位，以此类推，最后从右数第五位借得“1”。 下面是具体的去处过程：（1）一方面最后一位向倒数第二位借“1”，相称于得到了（10）2，也就是相称于十进制数中的“2”，用2减去1得1。（2）再计算倒数第二位，由于该位同样为“0”，不及减数“1”大，需要继续向倒数第三位借“1”（同样是借“1”当“2”），但由于它在上一步中已借给了最后一位“1”（此时是真实的“1”），则倒数第二位目前为1，与减数“1”相减后得到

11、“0”。（3）用同样的措施倒数第三位要向它们的上一位借“1”（同样是当“2”），但同样已向它的下一位（倒数第二位）借给“1”（此时也是真实的“1”），因此最后得值也为“0”。（4）被减数的倒数第四位尽管与前面的几位同样，也为“0”，但它所相应的减数倒数第四位却为“0”，而不是前面几位中相应的“1”，它向它的高位（倒数第五位）借“1”（相称于“2”）后，在借给了倒数第四位“1”（真实的“1”）后，仍有“1”余，10=1，因此该位成果为“1”。（5）被减数的倒数第五位本来为“1”，但它借给了倒数第四位，因此最后为“0”，而此时减数的倒数第五位却为“1”，这样被减数需要继续向它的高位（倒数第六位）借

12、“1”（相称于“2”），21=1。（6）被减数的最后一位本来为“1”，可是借给倒数第五位后就为“0”了，而减数没有这个位，这样成果也就是被减数的相应位值大小，此处为“0”。这样（110000）2（10111）2最后的成果应当是：011001，最高位的“0”可以舍掉，就得到了11001这个成果。在二进制数的加、减法运算中一定要联系上十进制数的加、减法运算措施，其实它们的道理是同样的，也是一一相应的。在十进制数的加法中，进“1”仍就当“1”，在二进制数中也是进“1”当“1”。在十进制数减法中我们向高位借“1”当“10”，在二进制数中就是借“1”当“2”。而被借的数仍然只是减少了“1”，这与十进制数

13、同样。2乘、除法运算示例下面再简介二进制数运算的乘、除法运算示例。如求（1110）2（0110）2和（1001110）2（110）2的成果，计算过程分别如图2-13（a）/（b）所示。图2-13 二进制数乘、除法计算示例乘法运算示例n先看图2-13（a）所示的二进制数乘法运算，其实很简朴，我们只要把二进制数中的“0”和“1”所有当成是十进制数中的“0”和“1”即可。根据十进制数中的乘法运算懂得，任何数与“0”相乘所得的积均为“0”，这一点同样合用于二进制数的乘法运算。只有“1”与“1”相乘才等于“1”。有了这样两个原则就很容易理解图2-13（a）所示的乘法运算环节了。下面是具体简介。（1）一方

14、面是乘数的最低位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的最低位为“0”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的所有位相乘后的成果都为“0”。（2）再是乘数的倒数第二位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的这一位为“1”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的高三位相乘后的成果都为“1”，而于最低位相乘后的成果为“0”。（3）再是乘数的倒数第三位与被乘数的所有位相乘，同样由于乘数的这一位为“1”，解决措施与成果都与上一步的倒数第二位同样，不再赘述。（4）最后是乘数的最高位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的这一位为“0”，因此与被乘数（1110）2的所有位相乘后的成果都为“0”。（5）然后再按

15、照前面简介的二进制数加法原则对以上四步所得的成果按位相加（与十进制数的乘法运算措施同样），成果得到（1110）2（0110）2=（1010100）2。除法运算环节n最后看一下图2-13（b）所示的二进制数除法运算。它也与十进制数的除法运算措施同样，但它的商只能是“0”或“1”。在除法运算中还要用到前面简介的二进制数减法运算措施。具体环节如下。阐明：由于除数为“110”，有3位，因此在被除数中也至少要有3位（从高位数起）。被除数的高3位为“100”，比除数“110”小，因此要选到前4位（这与十进制数的除法运算规则是同样的），为“1001”。但要注意的是商只能为“0”，或者“1”，而不能是其她数。

16、（1）一方面用“1”作为商试一下，相称于用“1”乘以除数“110”，然后把所得到的各位再与被除数的前4位“1001”相减。按照减法运算规则可以得到的余数为“011”。（2）由于“011”与除数“110”相比，局限性以被除，因此需要向低取一位，最后得到“0111”，此时的数就比除数“110”大了，可以继续除了。同样用“1”作为商清除，相称于用“1”去乘除数“110”，然后把所得的积与被除数中目前四位“0111”相减。根据以上简介的减法运算规则可以得到此步的余数为“1”。（3）由于“1”要远比除数“110”小，被除数向前取一位后为“11”，仍不够“110”除，因此此时需在商位置上用“0”作为商了。（4）然后在被除数上继续向前取一位，得到“110”。此时正好与除数“110”完全同样，成果固然是用“1”作为商，用它乘以除数“110”后再与被除数相减，得到的余数正好为“0”。证明这两个数可以整除。这样一来，所得的商（1101）2就是两者相除的成果。