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1、1 证明平面上的格林公式：证明平面上的格林公式：22()CDuvvuuv dvudsnn 其中其中 C 是区域是区域 D 的边界曲线，的边界曲线，ds 是弧微分是弧微分.()cos(,)cos(,)CDPQdPn xQn ydsxy 首先证明第一格林公式首先证明第一格林公式()DDPQdPdyQdxxy ()DDQPdxdyPdxQdyxy 格林公式一般表示为：格林公式一般表示为：sin(,)cos(,)DPxQxds cos(,)cos(,)DPn xQn yds D n Dxydydx(,)(,)2n xx (,)(,)n yx ,vvPuQuxy 2222()Du vvu vvuudx
2、xxyyy 左左2(GradGrad)DDvuvuv dudsn ()DPQdxy cos(,)cos(,)DPn xQn yds cos(,)cos(,)Dvvun xun ydsxy 右右=2(GradGrad)DDuuvvu dvdsn 两式相减得两式相减得22()DDuvvuuv dvudsnn 2.验证验证 是二维拉普拉斯方程的解是二维拉普拉斯方程的解(称为称为基本解基本解),其中其中 1lnu 2200()(),xxyy 00(,)xy只要证明除只要证明除 以外，这个函数满足二维以外，这个函数满足二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程.02200()()xxuxxxyy 2220022220
3、0()()()()xxyyuxxxyy 3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。：建立二维情况下调和函数的积分表达式。1ln(,),v 取取基基本本第第二二题题解解 见见()利利用用第第二二格格林林公公式式第第一一题题见见取取 u 为调和函数，为调和函数，221ln111lnlnln Duuu dudsnn =0 0MD 11lnln0uudsnn 0MD 在圆周在圆周 上，上，1111lnlnn 2200()()xxyy 1ln1122udsudsuun .uu 其其中中是是在在圆圆周周上上的的平平均均值值111lnlnln2uuudsdsnnn 代入到等式：代入到等式：12ln2011ln
4、lnuudsnuunn 02()u M 0同理同理11lnln0uudsnn 011()(ln)1lnd2uu Musnn ,0 令令则则4.平面上平面上狄氏问题解的表达式狄氏问题解的表达式20,|(),.uuMM 在在内内，011()(ln)1lnd2uu Musnn 22()vuuvvu duvdsnn 在第二格林公式在第二格林公式中，取中，取 u,v 为为 内内调和函数调和函数，则，则 0vuuvdsnn 注意到积分区间相同，二式相加注意到积分区间相同，二式相加 01111lnln22()duvvu Musnn 如果存在调和函数如果存在调和函数 v,使得使得 并并|n,11l2v 0()
5、dGu Msn 引入记号：引入记号：011ln2,vG M M 则则 0.Gu MudSn 称称 为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程格林函数。格林函数。0,G M M则平面上则平面上狄氏问题狄氏问题20,|(),.uuMM 在在内内，解的表达式为解的表达式为6 用二维问题的格林函数法求下列上半平面用二维问题的格林函数法求下列上半平面 狄氏问题的解：狄氏问题的解：222200,0|(),yuuxyxyuxx 0()dGu Msn 建立建立半平面半平面 y 0 内的格林公式内的格林公式y000(,)Mxyx100(,)M xy nP0(,)M x y 010111,lnln.2M MM MG M Mrr 22002200()()1ln2()()xxyyxxyy 0022001()yyGGnyxxy 因此因此上半平面上半平面狄氏问题解：狄氏问题解：0022001()yyGGnyxxy 00002201(,)()d()yu xyxxxxy 5 求证圆域求证圆域 的格林函数为的格林函数为222xyR 010111(,)lnln2MMMMRG M Mrr其中其中00.OMr 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
数理方程难题解答
