《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件【主要内容】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件【主要内容】（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第四节第四节 隐函数及参数方程所确定隐函数及参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率四、相关变化率五、小结思考题五、小结思考题1青苗辅导1一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?(,)0().F x yyy x由方程所确定的函数称为隐函数用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.隐
2、函数求导法则隐函数求导法则:(,)0(,)0F x yxyF x y即：如果在方程中，当 取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的 值存在，那末就说方程在该区间内确定了一个隐函数.()yf x形如的函数称为显函数.sin.yx如等2青苗辅导1例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1(0),xyydyeyx edxx e3青苗辅导1例例2 2.,)23,23(,333线通过
3、原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.4青苗辅导1例例3 3.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对
4、将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代入代入.16110 yxy5青苗辅导1二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu6青苗辅导1例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2
5、)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设7青苗辅导1例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 8青苗辅导1一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxux
6、vxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 9青苗辅导1三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t10青苗辅导1),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数
7、及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx11青苗辅导1,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即12青苗辅导1例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax13青苗辅导1.),12
8、(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即14青苗辅导1例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 15青苗辅导1四、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它
9、们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?16青苗辅导1例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两
10、边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14.0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米50017青苗辅导1五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率.18青苗辅导1思考题思考题设设
11、 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？19青苗辅导1思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 20青苗辅导1一、一、填空题：填空题：1 1、设设01552223 yxyyxx确定了确定了y是是x的函的函数，则数，则)1,1(dxdy=_=_，22dxyd_._.2 2、曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、已知已知 teytexttsincos,则则d
12、xdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、设设yxexy ,则则dxdy=_.=_.练练 习习 题题21青苗辅导1二、二、求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数 y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：1 1、yxey 1；2 2、)tan(yxy ；3 3、yxxy )00(yx，.三、三、用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导法则求下列函数的导数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.22青苗辅导1四、四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、tbytaxsin
13、cos ；2 2、)()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零.五、五、求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 三阶导数三阶导数33dxyd.六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(，求，求)(xf .23青苗辅导1七、七、在中午十二点正甲船的在中午十二点正甲船的 6 6 公里公里/小时的速率向东行小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北驶，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/小时的速小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？少？八
14、、八、注入水深注入水深 8 8 米，上顶直径米，上顶直径 8 8 米的正圆锥形容器中，米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟 4 4 立方米，当水深为立方米，当水深为 5 5 米时，其表米时，其表面上升的速率为多少？面上升的速率为多少？24青苗辅导1一、一、1 1、34,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx；2 2、02311 yx 3 3、022 yx；4 4、32,sincoscossin tttt；5 5、yxyxexye .二、二、1 1、32)2()3(yyey ；2 2、-)(tan)(csc232yxcyx ；3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.练习题答案练习题答案25青苗辅导1三、三、1 1、)1ln2(12 xxx；2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx；3 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx .四、四、1 1、tab32sin；2 2、)(1tf .五、五、3481tt .六、六、212x.七、七、-2.8(-2.8(公里公里/小时小时).).八、八、204.02516 (米米/分分).).26青苗辅导1
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