算法设计与分析基础课后习题答案中文版

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1、Program算法设计与分析基本中文版答案习题1.1 5.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明: l 如果d整除u和v, 那么d一定能整除uv; l 如果d整除u,那么d也可以整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。数对(m,n)和(n,r)具有相似的公约数的有限非空集，其中也涉及了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一种数不不小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将

2、会如何解决?该算法在解决这种输入的过程中,上述状况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0=m0 temp2*a x1(-b+sqrt(D)/temp x2(-b-sqrt(D)/temp return x1,x2 else if D=0 return b/(2*a) else return “no real roots”else /a=0 if b0 return c/b else /a=b=0 if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”5. 描述将十进制整数体现为二进制整数的原则算法a.用文字描述b.用伪代码描述解

3、答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一种正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2.)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则反复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码 算法 DectoBin(n)/将十进制整数n转换为二进制整数的算法/输入：正整数n/输出：该正整数相应的二进制数，该数寄存于数组Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(int)n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)

4、对这个算法做尽量多的改善.算法 MinDistance(A0.n-1)/输入:数组A0.n-1/输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.3 1. 考虑这样一种排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一种元素,计算比它小的元素个数,然后运用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.例如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.

5、额外空间for S and Count4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应当如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.a.删除数组的第i个元素(1=i0时,(g(n)= (g(n)解:a. 这个断言是对的的。它指出如果t(n)的增长率不不小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率不小于或等于t(n)的增长率 由 t(n)cg(n) for all nn0, where c0 则： for all nn0b. 这个断言是对的的。只需证明。设f(n)(g(n),则有： for all n=n0, c0 for all n=n0, c1=c0即：f(n)(g(n

6、)又设f(n)(g(n),则有： for all n=n0,c0 for all n=n0,c1=c/0即：f(n)(g(n)8证明本节定理对于下列符号也成立：a.符号b.符号证明：a。we need to proof that if t1(n)(g1(n) and t2(n)(g2(n), then t1(n)+ t2(n)(maxg1(n), g2(n)。由 t1(n)(g1(n)， t1(n)c1g1(n) for all n=n1, where c10由 t2(n)(g2(n)， T2(n)c2g2(n) for all n=n2, where c20那么，取c=minc1,c2,当n

7、=maxn1,n2时： t1(n)+ t2(n)c1g1(n)+ c2g2(n) c g1(n)+c g2(n)cg1(n)+ g2(n) cmax g1(n), g2(n)因此以命题成立。b. t1(n)+t2(n) (证明：由大的定义知，必须拟定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有：由t1(n)(g1(n)知，存在非负整数a1,a2和n1使： a1*g1(n)=t1(n)=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2(n)=t2(n)=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+ b1*g2(n)=t1(n)+t2

8、(n) = a2*g1(n)+ b2*g2(n)令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则 C1*(g1+g2)= t1(n)+t2(n) =c2(g1+g2)-(3)不失一般性假设max(g1(n),g2(n)=g1(n).显然，g1(n)+g2(n)2g1(n)，即g1+g20，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。则（3）式转换为：C1*max(g1,g2) = t1(n)+t2(n) =n0时上述不等式成立。证毕。习题2.41. 解下列递推关系 （做a,b）当n1时a. 解：当n1时b.解：2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归

9、调用次数的递推关系并求解。解：3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n) /输入：正整数n /输出：前n个立方的和if n=1 return 1else return S(n-1)+n*n*na. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？解：a.7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一种递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法可以计算2n的值。 b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解 c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。 d. 对

10、于该问题的求解来说，这是一种好的算法吗？解:a.算法power(n)/基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n/输入:非负整数n/输出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1)+ power(n-1)c.8.考虑下面的算法 算法 Min1(A0.n-1) /输入:涉及n个实数的数组A0.n-1 If n=1 return A0 Else tempMin1(A0.n-2) If tempAn-1 return temp Else return An-1a.该算法计算的是什么?b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解解:a.计算的给定数组的最小

11、值for all n1n=1b.9.考虑用于解决第8题问题的另一种算法,该算法递归地将数组提成两半.我们将它称为Min2(A0.n-1)算法 Min(Ar.l) If l=r return Al Else temp1Min2(Al.(l+r)/2) Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r) If temp1temp2 return temp1 Else return temp2a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解b.算法Min1和Min2哪个更快?有其她更好的算法吗?解:a.习题2.6 1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一种计数器来对核心比较次数进行计数.算法SortAn

12、alysis(A0.n-1)/input:涉及n个可排序元素的一种数组A0.n-1/output:所做的核心比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Ajv do countcount+1 Aj+1Aj jj+1 Aj+1vreturn count比较计数器与否插在了对的的位置?如果不对,请改正.解:应改为:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:涉及n个可排序元素的一种数组A0.n-1/output:所做的核心比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Aj

13、v do countcount+1 Aj+1Aj jj+1 if j=0 count=count+1 Aj+1vreturn count习题3.14. a.设计一种蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并拟定该算法的最差效率类型.b.如果你设计的算法属于(n2),请你为该算法设计一种线性的算法.C.对于该问题来说,能不能设计一种比线性效率还要好的算法呢?解:a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂

14、到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在给定点x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+Pi*powerreturn p算法效率分析:基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶nb. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move

15、from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在给定点x的值 P=P0 power=1 for i1 to n do powerpower*x pp+Pi*power return p基本操作乘法运算总次数M(n):c.不行.由于计算任意一种多项式在任意点x的值,都必须解决它的n+1

16、 个系数.例如: (x=1,p(x)=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法运算) 5.应用选择排序对序列example按照字母顺序排序.6.选择排序是稳定的吗?(不稳定)7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相似的(n2)效率?Yes.Both operationfinding the smallest element and swapping it can be done as efficiently with the linked list as with an array. 9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有互换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止

17、了.b.结合所做的改善,为冒泡排序写一段伪代码.c.请证明改善的算法最差效率也是平方级的.Hints:a. 第i趟冒泡可以表达为:如果没有发生互换位置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort(A0.n-1)/用改善的冒泡算法对数组A0.n-1排序/输入:数组A0.n-1/输出:升序排列的数组A0.n-1countn-1 /进行比较的相邻元素对的数目flagtrue /互换标志while flag do flagfalse for i=0 to count-1 do if Ai+1Ai swap(Ai,Ai+1) flagtrue countcount-1c最差状况是数

18、组是严格递减的,那么此时改善的冒泡排序会蜕化为本来的冒泡排序.10.冒泡排序是稳定的吗?(稳定)习题3.21. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数:a. 在最差状况下b. 在平均状况下.假设成功查找的概率是p(0=p=1)Hints:a. Cworst(n)=n+1b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的也许性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,也许性是1-p.6.给出一种长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一种最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.Hints:文本:由n个0构成的文本模式:前m-1个

19、是0,最后一种字符是1比较次数: m(n-m+1)7.为蛮力字符匹配算法写一种伪代码,对于给定的模式,它可以返回给定的文本中所有匹配子串的数量.Algorithms BFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)/蛮力字符匹配/输入:数组T0.n-1长度为n的文本,数组P0.m-1长度为m的模式/输出:在文本中匹配成功的子串数量count0for i0 to n-m do j0 while j1 C(1)=0 设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =22 C(2k-2)+1+1=22C(2k-2)+2+1 =222C(2k-3)+1+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1

20、 =. =2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1 =. =2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +.+2+1=2k1=n-1可以证明C(n)=n-1对所有n1的状况都成立（n是偶数或奇数）d.比较的次数相似，但蛮力算法不用递归调用。2、a.为一种分治算法编写伪代码，该算法同步求出一种n元数组的最大元素和最小元素的值。b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一种比较。c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一种比较。解答： a.同步求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相似的措施找出这两个部分中的最大值和最小值，然后通过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。 算

21、法 MaxMin(Al.r,Max,Min) /该算法运用分治技术得到数组A中的最大值和最小值/输入：数值数组Al.r/输出：最大值Max和最小值Minif(r=l) MaxAl；MinAl; /只有一种元素时elseif rl=1 /有两个元素时if AlArMaxAr; MinAlelseMaxAl; MinArelse /rl1MaxMin(Al,(l+r)/2,Max1,Min1); /递归解决前一部分MaxMin(A(l+r/)2.r,Max2,Min2); /递归解决后一部分if Max1Max2 Max= Max2 /从两部分的两个最大值中选择大值if Min22C(1)=0,

22、C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=22C(2k-2)+2+2=22C(2k-2)+22+2=222C(2k-3)+2+22+2=23C(2k-3)+23+22+2.=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+.+2 /C(2)=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2 /背面部分为等比数列求和=2k-1+2k-2 /2(k-1)=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蛮力法的算法如下： 算法 simpleMaxMin(Al.r)/用蛮力法得到数组A的最大值和最小值/输入：数值数组Al.r/输出：最大值Max和最小值MinMax=Min=Al;for i=l+1 to

23、 r do if AiMax MaxAi;else if Ai1 (n=2k)Cbest(1)=0c. 键值比较次数M(n)M(n)=2M(n)+2n for n1M(1)=0习题4.21.应用迅速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序4. 请举一种n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限位器”.限位器的值应是多少年来?为什么一种限位器就能满足所有的输入呢? Hints: With the pivot being the leftmost element, the left-to-right scan will get out of bounds if and on

24、ly if the pivot is larger than the other elements.Appending a sentinel(限位器) of value equal A0(or larger than A0) after the arrays last element , the quicksort algorithms will stop the index of the left-to-right scan of A0.n-1 from going beyond position n.8.设计一种算法对n个实数构成的数组进行重新排列,使得其中所有的负元素都位于正元素之前.这

25、个算法需要兼顾空间和时间效率. Algorithms netbeforepos(A0.n-1)/使所有负元素位于正元素之前/输入:实数组A0.n-1/输出:所有负元素位于于正元素之前的实数组A0.n-1A-1-1; An1 /限位器i0; jn-1While i1时, Cw(n)=Cw(n/2)+1, Cw(1)=1(略)4.如果对于一种100000个元素的数构成功查找的话,使用折半查找比顺序查找要快多少倍?6 如何将折半查找应用于范畴查找?范畴查找就是对于一种有序数组,找出位于给定值L、U之间（涉及L、U）的所有元素，Lr return -1else m (l+r)/2if K=Am ret

26、urn melse if K Am return BSR(Am+1,r,K)8.设计一种只使用两路比较的折半查找算法，即只用和=, 或者只用和=.Algorithms TwoWaysBinarySearch(Ao.n-1,K)/二路比较的折半查找/有序子数组Al.r和查找键值K/查找成功则输出其下标，否则输出-1l0, rn-1while lr do m (l+r)/2if KAmr melse l m+1if K=Al return lelse return -1习题4.41. 设计一种分治算法来计算二叉树的层数.(空树返回0,单顶点树返回1),并分析效率类型.Algorithms Leve

27、l(Tree T)/递归计算二叉树的层数/输入:二叉树T/输出:二叉树T的层数If T=NULL return 0Else return maxLevel(TL),Level(TR)+1算法效率类型是(n)(同4.4节算法height(T)2.选择一种二叉树的典型遍历算法(前中后序),写出它的递归伪代码,并求它的递归调用次数.Algorithms preorder(T)/先序遍历二叉树T/输入: 二叉树T/输出:先序遍历的结点序列表If TNULL Visit Ts root Preorder(TL) Preorder(TR)递归调用次数C(n)=扩展树中内部结点+外部结点=n+(n+1)=2

28、n+17.设计一种算法计算有根有序树的高度.Algorithms height(T)/递归计算有根有序树的高度/输入:一棵有根有序树的高度T/输出:T的高度i=NumChildren(T) /根的孩子个数if i=0 return 0else return maxheight(T1),height(T2),height(Ti)+18.下面的算法试图计算一棵二叉树中叶子的数量Algorithms LeafCount(T)/递归计算二叉树中叶子的数量/输入:一棵二叉树/输出:T中叶子的数量if T=NULL return 0else return LeafCount(TL)+LeafCount(T

29、R)应为:if T=NULL return 0 /empty treeelse if TL =NULL AND TR=NULL return 1 /single-node treeelse return LeafCount(TL)+LeafCount(TR) /general case习题4.61.a.为近来对问题的一维版本设计一种直接基于分治技术的算法,并拟定它的效率类型b.对于这个问题,它是一种好算法吗?解:a. Algorithms ClosestNumber(Al.r)/分治计算近来对问题的一维版本/输入:升序排列的实数子数组Al.r/输出:近来数对的距离If r=l return E

30、lse if rl=1 return ArAl Else return minClosestNumber(Al (l+r)/2 ), ClosestNumber(A (l+r)/2 .r) A (l+r)/2 +1A (l+r)/2 设递归的时间效率为T(n):对n=2k, 则: T(n)=2T(n/2)+c运用主定理求解.T(n)=(n)2.(题略)习题5.12.a.设计一种递归的减一算法,求n个实数构成的数组中最小元素的位置.b.拟定该算法的时间效率,然后把它与该问题的蛮力算法作比较Algorithms MinLocation(A0.n-1)/find the location of th

31、e smallest element in a given array/an array A0.n-1 of real numbers/An index of the smallest element in A0.n-1if n=1 return 0else tempMinLocation(A0.n-2)if Atemp1 C(1)=04.应用插入排序对序列example按照字母顺序排序5.a.对于插入排序来说,为了避免在内部循环的每次迭代时判断边界条件j=0,应当在待排序数组的第一种元素前放一种什么样的限位器?b.带限位器版本和原版本的效率类型相似吗?解: a. 应当在待排序数组的第一种元素

32、前放-或者不不小于等于最小元素值的元素.b. 效率类型相似.对于最差状况(数组是严格递减):7.算法InsertSort2(A0.n-1) for i1 to n-1 do ji-1 while j=0 and AjAj+1 do swap(Aj,Aj+1) jj+1 分析:在教材中算法InsertSort的内层循环涉及一次键值赋值和一顺序号递减,而算法InsertSort2的内层循环涉及一次键值互换和一顺序号递减,设一次赋值和一顺序号递减的时间分别为ca和cd,那么算法InsertSort2和算法InsertSort运营时间的比率是(3ca+cd)/(ca+cd)习题5.21.a.(略)b.

33、4.习题5.31.DFS的栈状态:退栈顺序: efgbcad 拓扑排序: dacbgfe b. 这是一种有环有向图.DFS 从a出发,遇到一条从e到a的回边.4.能否运用顶点进入DFS栈的顺序(替代它们从栈中退出的顺序)来解决拓扑排序问题?Hints:不能.5. 对第1题中的有向图应用源删除算法.拓扑序列: dabcgef习题5.44.下面是生成排列的B.Heap算法.算法HeapPermute(n)/实现生成排列的Heap算法/输入:一种正整数n和一种全局数组A1.n/输出:A中元素的全排列If n=1 Write AElse For i1 to n do HeapPermute(n-1)

34、If n is odd Swap A1 and An Else swap Ai and An对于n=2,3,4的状况,手工跟踪该算法.解:对于n=2 for i=1 do heappermute(1）write A即12这时n not odd, so do A1与A2互换，A=21for i=2 do heappermute(1）write A即21对于n=3For i=1 doHeappermute(2) heappermute(1) write A 即123 这时2 not odd,so,do A1与A2互换，A=213 heappermute(1) write A 即213 这时 2 n

35、ot odd, do A2与A2互换，A=213 由于 3 is odd,so do A1与A3互换,A=312For i=2 do Heappermute(2) heappermute(1) write A 即312 这时2 not odd,so,do A1与A2互换，A=132 heappermute(1) write A 即132 这时 2 not odd, do A2与A2互换，A=231 由于 3 is odd,so do A1与A3互换,A=231For i=3 do Heappermute(2) heappermute(1) write A 即231 这时2 not odd,so

36、,do A1与A2互换，A=321heappermute(1) write A 即321 这时 2 not odd, do A2与A2互换，A=321 由于 3 is odd,so do A1与A3互换,A=123n=4的的状况:习题5.52.Hints:a. 减常因子b.c.d.折半查找在最坏状况下的查找效率是log2n+1.而习题6.11. hintsort the list and then simply return the n/2th elements of the sorted list.效率:假设排序算法的效率是O(nlogn),那么该算法的效率是O(nlogn)+(1)= O(

37、nlogn)3.hint a. 初始化C=AB= for every element ai in A do (1=i=n) for every element bj in B (1=j=m) If ai=bj add ai to C delete bj from B最差状况:C为空,比较的次数是nm.b.措施一: 排序集合A For every element bj in B 用二分查找的措施在A中查找与bj相匹配的元素a If 查找成功 Add a to C 效率分析:假设排序的效率是O(nlogn),则该算法效率 O(nlogn)+mO(logn)=(n+m)O(logn)措施二:一方面对

38、A和B都分别排序. 然后对A和B应用合并排序,只输出它们的公有元素.效率分析: 假设排序的效率是O(nlogn),则该算法效率O(nlogn)+O(mlogm)+(n+m)=O(slogs) where s=maxn,m措施三: 一方面将A和B合并为L 排序L 从左至右成对扫描L If Li=Li+1 Add Li to C ii+2效率分析: 假设排序的效率是O(nlogn),则该算法效率O(n+m)logn)+ (n+m) =O(slogs) where s=maxn,m4.hint a. 排序数组,然后返回它的第一和最后元素. 假设排序的效率是O(nlogn),则该算法效率O(nlogn

39、)+(1)+(1)= O(nlogn) b.蛮力和分治都是线性的,因此优于基于预排序的算法习题6.32.b. 4.a.5.a.二叉查找树中最大值和最小值分别是树中最右边和最左边的结点.因此,从根开始,沿着向左的途径始终走到这样的结点:它的左孩子为空.这个结点里的值就是最小值.同理,可以找到最大值.最后,这两个值做一次减法运算即可.算法的效率: (logn)+ (logn)+ (1)= (logn)b.错误.8.不成立.例如:列表A,B,查找A,二分查找只做1次比较.而在2-3树中查找则要做2次比较习题6.41.a.b.c.错误.对于列表1,2,3按自顶向下:3,1,2自底向上:3,2,15.a

40、.设计一种算法,寻找并删除堆中最小元素,然后拟定其时间效率Hints: 最小元素一定在堆的叶子中.在堆H1.n的后半部分,(H n/2 +1,Hn)中查找最小元素,并与最后的元素Hn互换,删除最后的元素.堆规模降1,如果必要的话,调节元素Hn,使其满足双亲优势.效率分析:查找:(n)互换并删除: (1)+ (1)调节为堆:O(logn)b.设计一种算法,在给定的堆H中寻找并删除一种涉及给定值v的元素,然后拟定其时间效率.Hints:在H中顺序查找满足条件的第一种元素Hi.Hi与Hn互换.删除最后元素堆规模降1调节元素Hn使其满足双亲优势效率分析:查找:(n)互换并删除: (1)+ (1)调节为堆:O(logn)习题6.51.乘法总次数M(n)加法总次数A(n)