数理统计5.1大数定律【竹菊书苑】

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1、目录上页下页结束概率统计教研室第一节第一节 大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结目录上页下页结束概率统计教研室 例例2 2 测量一个长度测量一个长度a,a,一次测量的结果不见得就等于一次测量的结果不见得就等于a,a,量了若干次量了若干次,其算术平均值仍不见得等于其算术平均值仍不见得等于a,a,但当但当测量的次数很多时测量的次数很多时,算术平均值接近于算术平均值接近于a a几乎是必然几乎是必然的的.例例1 1 掷一颗均匀的正六面体的骰子掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率出现一点的概率是是1/6,1/6,在掷的次数比较

2、少时在掷的次数比较少时,出现出现一一点的频率可能与点的频率可能与1/61/6相差得很大相差得很大.但是在掷的次数很多时但是在掷的次数很多时,出现出现一一点的点的频率接近频率接近1/61/6几乎是必然的几乎是必然的.一、问题的引入一、问题的引入目录上页下页结束概率统计教研室这两个例子说明：这两个例子说明：在大量随机现象中在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频不仅看到了随机事件的频率具有稳定性率具有稳定性,而且还看到而且还看到大量测量值的平均结果大量测量值的平均结果也具有稳定性也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。数定律的客观背景。大数定律

3、以确切的数学形式表达了这种规律性大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并并论证了它成立的条件论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性定性.目录上页下页结束概率统计教研室定理定理5.1 契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX 取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.则有则有的概率密度为的概率密度为设设),(

4、xfX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2)(1|)(|XDXEXP 目录上页下页结束概率统计教研室.22XP xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 22XP .122XP 得得XP xxxfd)(目录上页下页结束概率统计教研室 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的对于给定的 0,当方当方差越小时，事件差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X的的取值越集中在取值越集中在E(X)附近这

5、进一步说明方差确实是一个附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量 当当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了已知时，切比雪夫不等式给出了X与与E(X)的偏的偏差小于差小于 的概率的估计值的概率的估计值 切比雪夫不等式的用途：切比雪夫不等式的用途：（1 1）证明大数定律；）证明大数定律；（2 2）估计事件的概率或区间内取值的下界。）估计事件的概率或区间内取值的下界。目录上页下页结束概率统计教研室例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞，每一毫升白细胞数平均是数平均是7300，均方差是，均方差是700.

6、利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)做题时如何选取做题时如何选取？目录上页下页结束概率统计教研室2)2100()(1XD 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|21002)2100700(1 98911 即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不之间的概率不小于小于8/9.P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)21

7、00)=P|X-E(X)|2100目录上页下页结束概率统计教研室【例例5-2】已知已知n重伯努利试验中参数重伯努利试验中参数p=0.75，问，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在在0.74和和0.76之间的概率不低于之间的概率不低于0.90？解：解：设需做设需做n次试验，其中成功的次数为次试验，其中成功的次数为X，则则XB(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1 p)。因为因为根据契比谢夫不等式应有根据契比谢夫不等式应有 76.074.0nXP2201.0)1(11pnpn 01.0|75.0|nXP201.0)(176.074.0nXDn

8、XP 目录上页下页结束概率统计教研室令令 解得解得所以至少应做所以至少应做18750次试验次试验90.001.0)1(1122 pnpn201.01.0)1(ppn1875001.01.025.075.02 目录上页下页结束概率统计教研室41424|20|22XP 例例3:在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均温度为住房的平均温度为20度度,标准差为标准差为2度度,试估计住房温度与平均温度的试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于偏差的绝对值小于4度的概率的下界度的概率的下界.解解4|20|XP4|20|1XP43411目录上页下页结束概率统计教研室【练习练习】若某班某次考试的平均分为若某班某次考试的平均分为80分，标分，标准差为准差为10，试估计及格率至少为多少？，试估计及格率至少为多少？解：解：用随机变量用随机变量X表示学生成绩，则数学期表示学生成绩，则数学期望望E(X)=80，方差，方差D(X)=100，所以，所以P60 X 100 P60 X 100 =P|X 80|1）,则则 证：证：因为因为X1，X2，Xn独立同分布，独立同分布，所以所以 独立同分布。独立同分布。又又 =k存在，由辛钦大数定律：存在，由辛钦大数定律：)(kiXE nikikXnA11)(,nAkPk knkkXXX,.,21)(kiXEkPnikikXnA 11