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1、于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题方略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，有关新函数的选用，不同的转化措施就自然会选用不同的函数.已知函数有两个不同的零点，其极值点为（1）求的取值范畴；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一种零点，舍去；则必有，得在上递减， 在上递增，要使有两个不同的零点，则须有（严格来讲，还需补充两处变化趋势的阐明：当时，；当时，）（3）由所证结论可以看出，这已不再是极值的点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数，则来源:学。科。网 （4）（i）同上；（ii）
2、构造函数，则当时，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，在上递增，故，点评：虽然做出来了，但鉴定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到抱负的函数再次回到题设条件：，记函数，则有接下来我们选用函数再解（3）、（4）两问（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时， 由不妨设 【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅这阐明在极值点偏移问题中，若函数选获得当，可简化过程，
3、减少难度注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范畴？这是由于的范畴较的范畴小，以第（3）问为例，若给定，由于所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：若，则，结论成立；当时，类似于原解答而给字，则不会遇到上述问题固然第（4）问中给定或的范畴均可，请读者自己体会其中差别【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1）应当用哪个函数来做呢？提示：用函数来做，用函数来做练习2 ：（安徽合肥高三第二次质量检测）已知（1）求的单调区间；（2）设, ，为函数的两个零点，求证.提示：将，两边取对数转化为指数方程解决.【招式演习】已知函
4、数有两个零点，求证：.只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，学*科网同理构造函数，运用单调性证明，下略.已知的图像上有两点，其横坐标为，且.（1）证明：；（2）证明：.又构造函数：，则，故在上单调递增，由于时，且，故必存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又时，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，再由，且在上单调递增，故，即证：成立.综上：即证成立.从而对恒成立，同理得出：.综上：即证成立，也即原不等式成立. 学*科网已知函数（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： 【答案】（1）；（2）当时， ，当时
5、， ，当时， ；（3）证明见解析.试题解析：（1）由于点在曲线上，因此，解得由于，因此切线的斜率为0，因此切线方程为（2）由于，当时， ， ，因此函数在上单调递增，则；当，即时， ， ，因此函数在上单调递增，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；当，即时， ， ，函数在上单调递减，则综上，当时， ；当时， ；当时， 令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，因此，即成立，因此原不等式成立因此，即成立，因此原不等式成立【措施点晴】本题重要考察导数与切线的问题，考察导数与极值、最值的问题，考察构造函数法证明不等式的措施.第一问波及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，波及切线问
6、题运用导数和斜率的相应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的根据是导数的零点与否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一种参数，然后运用导数求其最小值来求.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范畴；（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明： 0.【答案】（1）（2）（3），理由见解析用分离参数在上恒成立，即求的最大值. （3）有两个实根， ，两式相减，又， 要证： ，只需证：，令可证.试题解析：（1） 函数在,1是增函数，在1,2是减函数，因此 于是 要证： ，只需证：只
7、需证：(*) 令，(*)化为 ，只证即可在（0，1）上单调递增，即 点睛：本题考察函数的单调性极值及恒成立问题，波及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题解决导数大题时，注意分层得分的原则，力求第一二问答对，第三问争取能写点，一般波及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后运用函数导数求函数的最大值或最小值，对于具有不等式的函数问题，一般要构造函数，运用函数的单调性来解决，但波及技巧比较多，需要多加体会已知函数()求的单调区间；（）设极值点为，若存在，且，使，求证：【答案】（1）增区间为： 减区间为： ；（2）见解析.试题解析：（） 的定
8、义域为，由得: 由得增区间为： 由得减区间为： （）要证，只需证由（）知在上为增函数， 在上是增函数， ，即又成立，即已知函数.(1)求的单调区间；(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数与否变号进行讨论，当时， ， 递增，当时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为，减区间为；（2）运用分析法先等价转化所证不等式：要证明，只需证明 ，即证明，即证明，再令，构造函数，运用导数研究函数单调性，拟定其最值： 在上递增，因此，即可证得结论.试题解析：(1) 的定义域为， 当时， ， 递增当时，
9、 递增； 递减综上：当时， 的单调增区间为，单调减区间为当时， 的单调增区间为 即证明，即证明 令，则则， 在上递减， ，在上递增， 因此成立，即点睛：运用导数证明不等式常用类型及解题方略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，拟定差函数单调性，运用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目的函数.一般思路为运用条件将求和问题转化为相应项之间大小关系，或运用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数与的图象有关直线对称.（1）不等式对任意恒成立，求实数的最大值；（2）设在内的实根为， ，若在区间上存在，证明： .【答案】（1）1（2）见解析 ：要证： ，即证： ，只要证
10、，即证，构造函数，其中.运用导数可得 在上单调递增，即得试题解析：（1）由，因此，设，.由， 在上单调递增；， 在上单调递减，因此，即，因此实数的最大值为.而，故，而，从而，因此当，即单调递增.从而当时， ，即，故得证.已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， .【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析. 已知.（）求的单调区间；（）设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（）见解析； （）见解析.【解析】试题分析: （）根据导数，分类讨论，当时， ；当时， ，由得， 时， ， 时， ，即可得出单调区间；（）由（）
11、知的单调递增区间为，单调递减区间为不妨设，由条件知，即，构造函数， 与图像两交点的横坐标为， ，运用单调性只需证构造函数运用单调性证明点睛：本题考察函数的单调性极值及恒成立问题，波及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题解决导数大题时，注意分层得分的原则，力求第一二问答对，第三问争取能写点，一般波及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后运用函数导数求函数的最大值或最小值，对于具有不等式的函数问题，一般要构造函数，运用函数的单调性来解决，但波及技巧比较多，需要多加体会已知函数， （）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范畴；（）若函数
12、存在两个极值点， ，且，证明： 【答案】（1）（2）详见解析.若，即，方程的两根为， ，当时， ，因此函数单调递减，当时， ，因此函数单调递增，不符合题意综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范畴为（）由于函数有两个极值点，因此在上有两个不等的实根，即在有两个不等的实根， ，于是， 且满足， ，同理可得，令， ， ，又时， ，则在上单调递增，因此，即，得证已知函数与的图象在点处有相似的切线（）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范畴；（）若函数有两个极值点，且，证明：【答案】（）；（）证明过程见解析； （）由题意，函数，其定义域为，令，得，其鉴别式，函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故因此，且， ，令， ，则，由于，故在上单调递减故因此，因此点睛：此题重要考察函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，运用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范畴；在问题（）中，由（）可求出函数的解析式，根据导数与极值点的关系求出参数的范畴，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.
极值点偏移第五招---函数的选取-玩转压轴题-突破140分之高三数学解答题高端精品(解析版)
