高三数学概念、方法、题型、易误点总结九、直线、平面、简单多面体

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1、高三数学概念、方法、题型、易误点总结（九）班级 姓名 九、直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有

2、一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：若Al，A，Bl ，B，则 l ；若A，A，B，B，则AB；若l，Al，则A若A、B、C，A、B、C，且A、B、C不共线，则与重合。上述命题中，真命题是_（答：）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_（答：24）2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观

3、图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（）（答：A）（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_（答：）3、空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。（2）平行直线在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_（答：相交）；（2）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；两异面

4、直线，如果平面，那么不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_（答：）4、异面直线的判定：反证法。 如（1）“、为异面直线”是指：，但不平行于；面，面且ab；面，面且；面，b面；不存在平面，能使面且面成立。上述结论中，正确的是_（答：）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_（答：MNa）；（3）若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC2+BD2= _（答：50）；（4）如果、是异面直线，P是不在、上的任意一点，下列四个结论

5、：过点P一定可以作直线与、都相交；过点P一定可以作直线与、都垂直；过点P一定可以作平面与、都平行；过点P一定可以作直线与、都平行。其中正确的结论是_（答：）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_（答：24）；（6）已知平面求证：b、c是异面直线5、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_（

6、答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为_（答：90）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有_条（答：2）；（4）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是_（答：）；6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ADC折起，使ADBC，求证：BD是异面直线AD与B

7、C的公垂线；（2）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有_条（答：1）；7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。9、直线与平面的位置关系：（1）

8、直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是 、若直线平行于平面内的一条直线b , 则 / 、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则b、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP

9、BD1，则动点P的轨迹是_（答：线段B1C）。10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分不必要条件是A、，aB、b，且abC、ab且bD、且a（答：D）；（2）正方体ABCD-ABCD中，点N在BD上，点M在

10、B1C上，且CM=DN，求证：MN面AA1B1B。11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，、是平面，下列条件中能得出直线a平面的是 A、ab，其中，B、ab ，C、， D、，

11、（答：D）；（3）AB为O的直径，C为O上的一点，AD面ABC，AEBD于E，AFCD于F，求证：BD平面AEF。12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中

12、最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为_（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是_（答：）；（3）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_（答：）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角，则sin的值为_（答：）。14、平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直

13、线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边，且B、内有不共线的三点到的距离都相等C、都垂直于同一条直线D、是两条异面直线，且（答：B）；（2）给出以下六个命题：垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_（答

14、：）；（3）正方体ABCD-ABCD中AB=。求证：平面AD1B1平面C1DB；求证：A1C平面AD1B1 ；求平面AD1B1与平面C1DB间的距离（答：）；16、二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：转

15、化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为_（答：）；（2）将A为60的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是_（答：）；（3）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC1所成的为30，则二面角C1BD1B1的大小为_（答：）；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角B-PA-C的余弦值

16、是_（答：）；（5）二面角-的平面角为120，A、B，AC，BD，AC，BD，若AB=AC=BD=1，则CD的长_（答：2）；（6）ABCD为菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为_（答：）。17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_（答：5）；（

17、2）在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD（答：）；（3）过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC90，求证：平面ABC平面BSC。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：；。其中正确的命题是_（答：）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：若则；若，则；若，则或；若则。其中正确的命题是_（答：）18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，

18、二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。如已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为，则异面直线BD与B1C的距离为_（答：）。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_（答：）；（2）点P是120的二面角-内的一点，点P到、的距离分别是3、4，则P到的距离为_（答：）；（3）在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到

19、棱A1B1与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为_（答：抛物线弧）。（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。如（1）长方体的棱，则点到平面的距离等于_（答：）；（2）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为_（答：a）。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：

20、求球面上两点A、B间的距离的步骤：计算线段AB的长；计算球心角AOB的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长。如（1）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离（答：）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为_（答：）；（3）三棱锥的三个侧面两两垂直，若四个点都在同一球面上，则此球面上两点A、B之间的球面距离是_（答：）。19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线

21、：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。20、棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相

22、邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱A1B1C1ABC，各棱长为，A1B=A1C=，则侧面BCC1B1是_形，棱柱的高为_（答：正方；）；（2）下列关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_（答：）。21、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；（3）性质：平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面

23、体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c6，全面积为11，则其对角线为_（答：5）22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_（答：18）23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点

24、在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体中，有如下命题：若，则；若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；若四个面是全等的三角形，则为正四面体。其中正确的是_（答：）（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，其中分别表示底面边长、侧棱长、

25、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）在三棱锥的四个面中，最多有_个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为_（答：）。24、侧面积（各个侧面面积之和）：（1）棱柱：侧面积直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积底面周长侧棱长。如（1）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为_（答：）；（2）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA1=12cm，则斜三棱柱的侧

26、面积为_（答：）；（3）若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为_（答：120）。（2）正棱锥：正棱锥的侧面积底面周长斜高。如（1）已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧面积是_（答：）；（2）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于_（答：）。提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面积2底面积；棱锥的全面积侧面积底面积。25、体积：（1）棱柱：体积底面积高，或体积直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；

27、三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。如（1）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于_（答：）；（2）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱AA1和AB、AC都成45的角，则棱柱的侧面积为_，体积为_（答：；）。（2）棱锥：体积底面积高。如（1）已知棱长为1的正方体容器ABCDA1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_（答：）；（2）在正三棱锥A-BCD中，E、F是

28、AB、BC的中点，EFDE，若BC=，则正三棱锥A-BCD的体积为_（答：）；（3）已知正三棱锥底面边长为，体积为，则底面三角形的中心到侧面的距离为_（答：）；（4）在平面几何中有：RtABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则。类比这一结论，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥PABC的高为h，则结论为_（答：）特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.如（1）

29、用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，则多面体的体积为_（答：7）；（2）直三棱柱ABCA1B1C1的体积为，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为 （答：）；（3）如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABCDEFG，平面BEFADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为_（答：4）。26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和

30、正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图： 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。如（1）在半径为10的球面上有三点，如果，则球心到平面的距离为_（答：）；（2）已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为_（答：12）28、球的体积和表面积公式：V。如（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49c

31、m2、400cm2，则球的表面积为_（答：）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。（答：表面积，体积）；（3）已知直平行六面体的各条棱长均为3，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为_（答：）；29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个

32、立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_（答：123）；（2）若正四面体的棱长为，则此正四面体的外接球的表面积为_（答：）；（3）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_（答：）；（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_（答：）； 30、你熟悉下列结论吗？三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；AB

33、和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影成，设BAC=,则coscos=cos；如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2。如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30、45，则与第三个面所成的角为_（答：30）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则的关系为_。（答：）若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面

34、面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于_（答：）在三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1。59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线面平行的判定： 线面平行的性质

35、： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直： 60. 三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角，090 （2）直线与平面所成的角，090 （三垂线定理法：A作或证AB于B，作BO棱于O，连AO，则AO棱l，AOB为所求。） 三类角的求法： 找出或作出有关的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。练习 （1）如图，OA为的斜线OB为其在内射影，OC为内过O点任一直线。 （2）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC1所成的为30。 求BD1和底面ABCD所成的角； 求异面直线BD1和AD所成的角； 求二面角

36、C1BD1B1的大小。 （3）如图ABCD为菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。 （ABDC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PFAB，则PF为面PCD与面PAB的交线） 61. 空间有几种距离？如何求距离？ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 如：正方形ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为_； （2）点B到面ACB1的距离为_； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为_； （4）

37、面AB1C与面A1DC1的距离为_； （5）点B到直线A1C1的距离为_。 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 它们各包含哪些元素？ 63. 球有哪些性质？ （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1。 积为（ ） 【例2】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1

38、，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面ABC.（2）证明：AB=CC1，AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1BAB1.又AB1BC1，AB1平面A1BC1.AB1A1C1.又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1.A1C1AB.（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1.A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A1作A1GA

39、C1于点G，AB平面ACC1A1，ABA1G.从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= .8.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2），求V1V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.E为A1B的中点，EFB1B.又C1MB1B，EFMC1.四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM平面A

40、1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）解：作B1HA1N于H，连结BH.BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1为二面角BA1NB1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N，EMA1N.又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在RtA1D1N中，A1N= a，sinA1ND1=.在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a= a.在RtBB1H中，tanBHB1=.（3）解：延长A1

41、N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）S=2aa=a2，S=aa= a2，棱台MNC1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=2a（a2+a2）= a3，V2=2a2aaa3= a3.=.7.已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，（1）求证：D1B1l；（2）若AB=a，求l与D1间的距离.（1）证明：D1B1BD，D1B1平面ABCD.又平面ABCD平面AD1B1=l，D1B1l.（2）解：D1D平面ABCD，在平面ABCD内，由D作DGl于G，连结D1G，则D1Gl，D1G的长即等于点D1与l间的距离. lD1B1BD，DAG=45.DG=a，D1G=a.