ch时间序列模型

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1、计量经济学计量经济学 EconometricsEconometricsChapter8时间序列计量经济学时间序列计量经济学模型模型Time Series Econometrics Models8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验 Stationary Time Series8.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型 Stochastic Time Series Model8.3 协整与误差修正模型协整与误差修正模型 Cointegration and Error Correction Model7/29/20228.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验

2、Stationary Time SeriesChapter8时间序列计量经济学时间序列计量经济学模型模型Time Series Econometrics Models7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 38.1.1时间序列模型时间序列模型8.1.2非平稳变量与经典回归模型非平稳变量与经典回归模型8.1.3时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性8.1.4平稳性的图示判断平稳性的图示判断8.1.5平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验8.1.6单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳

3、随机过程8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 48.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series时间序列：时间序列：就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间序列排列起来的经济数据序列排列起来的经济数据时间序列模型：时间序列模型：就是揭示时间序列自身的变化规律和相互联系的就是揭示时间序列自身的变化规

4、律和相互联系的数学表达式。数学表达式。时间序列模型分时间序列模型分确定性模型确定性模型和和随机模型随机模型两大类两大类8.1.1时间序列模型时间序列模型时间序列分析方法由时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)年提出。它适用年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。于各种领域的时间序列分析。这种建模方法这种建模方法不以经济理论为依据不以经济理论为依据，而是依据变量自身，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。明确考虑时间序列的明确考虑时间序列的非平稳性非平稳性。如果时间序列非平稳，。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通

5、过建立模型之前应先通过差分差分把它变换成平稳的时间序列，把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题再考虑建模问题 7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 58.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time SeriesXt=Xt-1+t 这里，t特指一白噪声特指一白噪声，(3)自回归移动平均模型自回归移动平均模型ARMA(p,q)Autoregressive moving-average model11221122tttktptttpt qXXXX （1）k阶自回

6、归模型（阶自回归模型（Autoregressive Model AR(p)（2）q阶移动平均模型阶移动平均模型 （Moving Average Model MA(q)）1122tttktptXXXXp=1时：时：1tttXX1122ttttpt qX 7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 68.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series8.1.2非平稳变量与经典回归模型非平稳变量与经典回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济

7、模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 7经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据

8、是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致性一致性”要求被要求被破坏。破坏。经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量是非随机变量放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X,)=0依概率收敛：依概率收敛：nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim(2)第（第（1）条是）条是OLS估计的需要估计的需要第（第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性一致性”特性：特性：)(limnP

9、经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 8nxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2如果如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基于，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。大样本的统计推断也就遇到

10、麻烦。因此：注意：注意：在双变量模型中：在双变量模型中：8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 9 表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的有很高的相关性（有较高的R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有

11、意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中：在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检

12、验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 10 时间序列分析模型方法就是在这样的情况下时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中容，并广泛应用于经济分析与预测当中。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序

13、列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 118.1.3时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。稳性问题。假定某个时间序列是由某一随机过程（假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成）生成的，即假定时间序列的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个）的每一个数值都是从一个概率分布

14、中随机得到，如果满足下列条件：概率分布中随机得到，如果满足下列条件：(1)均值均值E(Xt)=是是与时间与时间t 无关的常数无关的常数 (2)方差方差Var(Xt)=2是是与时间与时间t 无关的常数无关的常数 (3)协方差协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔是只与时期间隔k有关，与时间有关，与时间t 无无关的常数关的常数 则称该随机时间序列是平稳的（则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是，而该随机过程是一平稳随机过程（一平稳随机过程（stationary stochastic process）8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验St

15、ationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 12 例例8.1.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：值同方差的独立分布序列：Xt=t ，tN(0,2)例例8.1.2另一个简单的随机时间列序被称为另一个简单的随机时间列序被称为随机游走随机游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：），该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t这里，这里，t是一个白噪声。是一个白噪声。该序列常被称为是一个该序

16、列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。）。由于由于X Xt t具有相同的均值与方差，且协方差为零具有相同的均值与方差，且协方差为零,由由定义定义,一个白噪声序列是平稳的。一个白噪声序列是平稳的。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 13为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为的初值为X0，则易知则易知 X1=X0+1 X2=X1+

17、2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于由于X0为常数，为常数，t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此Var(Xt)=t 2 即即Xt的方差与时间的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。有关而非常数，它是一非平稳序列。容易知道该序列有相同的均值：容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 14 后面将会看到后面将会看到:如果一个时间序列是非

18、平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。事实上，随机游走过程是下面我们称之为事实上，随机游走过程是下面我们称之为1 1阶自回归阶自回归AR(1)AR(1)过程的特例过程的特例 Xt=Xt-1+t 不难验证不难验证:1)|1|1时，该随机过程生成的时间序列是时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升发散的，表现为持续上升(1)1)或持续下降或持续下降(-1)-1)，因此是非平稳的；因此是非平稳的；然而，对然而，对X取一阶差分（取一阶差分（first difference）:Xt=XtXt-1=t由于由于 t是一

19、个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。是平稳的。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 15 8.2中将证明中将证明:只有当只有当-1-1 10，样本自相关系数近似地服从以，样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差为方差的正态分布，其中的正态分布，其中n为样本数。为样本数。也可检验对所有也可检验对所有k0，自相关系数都为，自相关系数都为0的联合假设，这可的联合假设，这可通

20、过如下通过如下QLB统计量进行：统计量进行：8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 20mkkLBknrnnQ12)2(该统计量近似地服从自由度为该统计量近似地服从自由度为m的的 2分布（分布（m为滞后长度）。为滞后长度）。因此因此:如果计算的如果计算的Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为 的临界值，则有的临界值，则有1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k(k0)同时为同时为0的假设。的假设。例例8.

21、1.3:表表8.1.1序列序列Random1是通过一随机过程（随机函数）是通过一随机过程（随机函数）生成的有生成的有19个样本的随机时间序列。个样本的随机时间序列。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022表表 9 9.1 1.1 1 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17)LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17)LBQ 1-0.031 K=0,1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1,-0.

22、051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2,-0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4-0.455 K=3,-0.147 4.216-0.191-0.069 5.241 5-0.426 K=4,0.280 6.300-0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5,0.187 7.297-0.229-0.016 5.269 7-0.156 K=6,-0.363 11.332-0.385-0.219 6.745 8 0.204 K=7,-0.148 12.058-0.181-0.063 6.876 9-0.340 K=8,0.

23、315 15.646-0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9,0.194 17.153-0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10,-0.139 18.010-0.136-0.249 10.229 12-0.315 K=11,-0.297 22.414-0.451-0.404 18.389 13-0.377 K=12,0.034 22.481-0.828-0.284 22.994 14-0.056 K=13,0.165 24.288-0.884-0.088 23.514 15 0.478 K=14,-0.105 25.162-0.406-0.066 2

24、3.866 16 0.244 K=15,-0.094 26.036-0.162 0.037 24.004 17-0.215 K=16,0.039 26.240-0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17,0.027 26.381-0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 22 （a）（b）-0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81

25、.224681012141618RANDOM1AC 从图形看：它在其样本均值从图形看：它在其样本均值0 0附近上下波动，且样本自相关附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近波动且逐渐收敛于附近波动且逐渐收敛于0 0。容易验证：容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0，方差为，方差为0.0789。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 23 可以看出

26、可以看出:k0k0时，时，r rk k的值确实落在了该区间内，因此的值确实落在了该区间内，因此可以接受可以接受 k k(k0)k0)为为0 0的假设的假设。同样地，从从Q QLBLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后1717期的计算值期的计算值为为26.3826.38，未超过，未超过5%5%显著性水平的临界值显著性水平的临界值27.5827.58，因此，因此,可以可以接受所有的自相关系数接受所有的自相关系数 k k(k0)k0)都为都为0 0的假设。的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。4497.0,4497.019/196.1,19/196.1,025.

27、0025.0ZZ根据根据Bartlett的理论：的理论：kN(0,1/19)因此任一因此任一rk(k0)的的95%的置信区间都将是的置信区间都将是由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此因此该序列为一白噪声。该序列为一白噪声。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 24 （a）（b）-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00

28、.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC序列序列Random2是由一随机游走过程是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。生成的一随机游走时间序列样本。其中，第其中，第0项取值为项取值为0，t是由是由Random1表示的白噪声表示的白噪声8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page

29、25 图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到关图看，虽然自相关系数迅速下降到0 0，但随着时间的推移，但随着时间的推移，则在则在0 0附近波动且呈发散趋势。附近波动且呈发散趋势。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series样本自相关系数显示：样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间，落在了区间-0.4497,0.4497之外，因此在之外，因此在5%的显著性水平上拒绝的显著性水平上拒绝 1的真的真值为值为0的假设。的假设。该随机游走序列是非平稳的。该

30、随机游走序列是非平稳的。7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 26例例 9.1.9.1.4 4 检验中国支出法 GDP 时间序列的平稳性。表表 9.1.2 9.1.2 1978200019782000 年中国支出法年中国支出法 GDPGDP（单位：亿元）（单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.719794073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4

31、198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076.3199121280.4199982673.119847164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.68.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 27 图图 9 9.1 1.5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年

32、中中国国 G GD DP P 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断，可初步判断是是非平稳非平稳的。的。样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平稳非平稳性。性

33、。7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 28从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看：统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部期之后的值全部为为0的假设。的假设。结论结论:19782000年间中国年间中国GDP时间序列是非平稳序列。时间序列是非平稳序列。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series

34、Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 29 例例8.1.58.1.5 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。图图 9.1.6 19811996中中国国居居民民人人均均消消费费与与人人均均 GDP 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原图 样本自相关图 8.1 时间序列的平稳性及

35、其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 30 从图形上看：从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的是非平稳的。从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：统计量看：CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性。表明它们的非平稳性。就此来说，运用传统的回归方法建立它们的就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实

36、际意义的。回归方程是无实际意义的。不过，不过，8.38.3中将看到，如果两个非平稳时间中将看到，如果两个非平稳时间序列是序列是协整协整的，则传统的回归结果却是有意义的，的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是而这两时间序列恰是协整协整的。的。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 31四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Sta

37、tionary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 328.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。行统计检验则是更为准确与重要的。单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检是统计检验中普遍应用的一种检验方法。验方法。1、DF(迪基迪基Dic

38、ky、福勒、福勒Fuller)检验检验我们已知道，随机游走序列我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是是非平稳的，其中非平稳的，其中 t是白噪声。是白噪声。而该序列可看成是随机模型而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参数中参数=1时的情形。时的情形。7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 33也就是说，我们对式也就是说，我们对式 Xt=Xt-1+t （*）做回归，如果确实发现做回归，如果确实发现=1，就说随机变量，就说随机变量Xt有一个有一个单位根单位根。（*）式可变形式成差分形式：

39、）式可变形式成差分形式：Xt=(-1)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（检验（*）式是否存在单位根）式是否存在单位根=1，也可通过（，也可通过（*）式）式判断是否有判断是否有 =0。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 34 一般地一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验带的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型有截距项的一阶自回归模型 Xt=+Xt-1+t （

40、*）中的参数中的参数 是否小于是否小于1。或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0。在第二节中将证明，（*）式中的参数 11或或=1=1时，时，时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是 00或或 =0。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 35 因此，针对式因此，针对式 X Xt t=+

41、X Xt-1t-1+t t 我们关心的检验为：我们关心的检验为：零假设零假设 H0：=0。备择假设备择假设 H1：0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。检验无法使用。Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统计量服从的分统计量服从的分布（这时的布（这时的t统计量称为统计量称为 统计量统计量），即），即DF分布分布（见表（见表8.1.3）。）

42、。由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。布。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 36 因此，可通过因此，可通过OLS法估计法估计 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临分布表中给定显著性水平下的临界值比较：界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临

43、界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series表表8.1.3 DF 分布临界值表分布临界值表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=）0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 7/29/2022Ch8T

44、ime Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 378.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于临界值的绝对统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝值，则拒绝=0”的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。7/29/2022Ch8Time Series Econometri

45、cs Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 38 进一步的问题进一步的问题：在上述使用在上述使用 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会法进行估计均会表现出随机误差项出现自

46、相关表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致），导致DF检验检验无效。无效。另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差自相关随机误差项问题项问题。为了保证为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和和Fuller对对DF检验进行了扩充，形成了检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验）检验。2 2、ADFADF检验检验8.1 时间序列的平稳

47、性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 39ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型 1：tmiitittXXX11 （*）模型 2：tmiitittXXX11 （*）模型 3：tmiitittXXtX11 （*）8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种，代表了

48、时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。趋势（如果有的话）。检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1:500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832

49、.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603

50、.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.387/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 42同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值临界值表检验表检验零假设零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；认为时间序列是平稳的；

51、2）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。间序列是非平稳的。这里所谓这里所谓模型适当的形式模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。自相关）。一个简单的检验过程：一个简单的检验过程：8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与

52、教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 43 例例8.1.6 检验检验19782000年间中国支出法年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。时间序列的平稳性。21101.150.10093.027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26）(1.91)(0.31)(8.94)(-4.95)1）经过偿试，模型）经过偿试，模型3取了取了2阶滞后：阶滞后：通过通过拉格朗日乘数检验拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）对随机）对随机误差项的自相关性进行检验：误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于小于5%显著性

53、水平下自由度分别为显著性水平下自由度分别为1与与2的的 2分布的临界值，分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从从 的系数看，的系数看，t临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间时间T的的t统计量小于统计量小于ADF分布表中的临界值，因此分布表中的临界值，因此不能拒绝不能拒绝不存在趋势项的零假设不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型2。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Seri

54、es Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 442）经试验，模型）经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：21115.165.1057.045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90）(3.38)(10.40)(-5.63)LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。是正确的。从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，统计量为正值，大于临界值，不不能拒绝存在单位根的零假设能拒绝存在单位根的

55、零假设。常数项的常数项的t统计量小于统计量小于AFD分布表中的临界值，分布表中的临界值，不能拒绝不不能拒绝不存常数项的零假设。存常数项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型1。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 453)3)经试验，模型经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶：阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。正确

56、的。从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，统计量为正值，大于临界值，不能不能拒绝存在单位根的零假设。拒绝存在单位根的零假设。可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。211194.1701.1063.0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15）(11.46)(-6.05)LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学

57、管理学院 熊伟 Page 46 例例8.1.7 检验检验2.102.10中关于人均居民消费与人均国内生产总中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。值这两时间序列的平稳性。1)对中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为模型 2：211425.1040.0652.002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78）(3.26)(0.08)(-2.96)43403.1412.0ttGDPPCGDPPC (-0.67)(-2.20)LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=

58、10.92 模型 3：1103.115.036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75）(1.93)(-1.04)(2.31)LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 47 三个模型中参数的估计值的三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，统计量均大于各自的临界值，因此因此不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假

59、设。结论：结论：人均国内生产总值（人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。）是非平稳的。模型 1：211975.0875.0196.0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63）(2.61)(-2.72)LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 482）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为 模型 3：114627.136

60、46.098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477)(2.175)(-1.478)(2.318)LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2：3211027.0655.1508.0545.088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37)(3.37)(1.16)(-3.44)(-0.05)4824.1tCPC (-3.03)LM(1)=3.57 LM(2)=4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time

61、Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 49 三个模型中参数三个模型中参数CPCt-1的的t统计量的值均比统计量的值均比ADF临界值临界值表中各自的临界值大，表中各自的临界值大，不能拒绝该时间序列存在单位不能拒绝该时间序列存在单位根的假设根的假设，因此因此,可判断人均居民消费序列可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的。是非平稳的。模型 1：4321171.108.048.188.037.0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60)(2.37)(-2.97)(0.12)(-2.68)LM(1)=1.83 LM(2)

62、=1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 50五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Pag

63、e 51随机游走序列 Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平稳的。是平稳的。单整单整8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 52 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)

64、。显然，显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现实经济生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常如一些价格指数常常是是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平但

65、也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为稳的。这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。）。如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是是一阶单整一阶单整（integrated of 1）序列序列，记为，记为I(1)。8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 53例例8.1.8 中国支出法中国

66、支出法GDP的单整性。的单整性。经过试算，发现中国支出法中国支出法GDP是是1阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 1212966.0495.025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99)(4.23)（-5.18）(6.42)2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验Stationary Time Series7/29/2022Ch8Time Series Econometrics Models 制作与教学武汉理工大学管理学院 熊伟 Page 54例例8.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现经过试算，发现中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC是是2阶单阶单整的整的，适当的检验模型为，适当的检验模型为 12360.0ttGDPPCGDPPC （-2.17）2R=0.2778，LM(1)=0.31 LM(2)=0.54 同样地，同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为，适当的检验模型为 1