数据处理与误差分析报告

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1、物理实验课的基本程序物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 1 实验前的预习为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实 验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目：实验名称写出本次实验的名称。实验目的应简单明确地写明本次实验的目的要求。实验原理扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。实验内容简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应

2、根据 实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要 正确地表示出有效数字和单位。2 课堂操作进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如，千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有 间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错， 不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测

3、量量的单位。实 验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据 则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要 既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方 能离开实验室。 3 实验报告实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的 习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。完整的实验报告应包括下述几部分内容：数据表格在实验报告纸上设计好合理的表格，将原

4、始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式-代入数据 -结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式-结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先 列出各单项误差，按如下步骤书写，公式-代入数据-用百分数书写的结果。结果表达 按下面格式写出最后结果：N（待测量）=N（.测量结果）土 AN（总绝对误差）Er （相对误差）=竺x 100%N结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思

5、考题。还 可以谈谈实验的心得体会。如果实验是为了观察某一物理现象或者观察某一物理规律，可只扼要地 写出实验结论。以上是对报告的一般性要求。不同的实验，可以根据具体情况有所侧重和取舍，不必千篇一律。误差处理物理实验的任务，不仅仅是定性地观察物理现象，也需要对物理量进行定量测量，并找出各物 理量之间的内在联系。由于测量原理的局限性或近似性、测量方法的不完善、测量仪器的精度限制、测量环境的不理 想以及测量者的实验技能等诸多因素的影响，所有测量都只能做到相对准确。随着科学技术的不断 发展，人们的实验知识、手段、经验和技巧不断提高，测量误差被控制得越来越小，但是绝对不可 能使误差降为零。因此，作为一个测

6、量结果，不仅应该给出被测对象的量值和单位，而且还必须对 量值的可靠性做出评价，一个没有误差评定的测量结果是没有价值的。下面介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等基本知识，这些知识 不仅在后面的实验中要经常用到，而且也是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1 测量与误差一、测量及其分类所谓测量，就是借助一定的实验器具，通过一定的实验方法，直接或间接地把待测量与选作计 量单位的同类物理量进行比较的全部操作。简而言之，测量是指为确定被测对象的量值而进行的一 组操作。按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。直接从仪器或量具上读出待测量的大小，称为直接测量。

7、例如，用米尺测物体的长度，用秒表 测时间间隔，用天平测物体的质量等都是直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算后才获得的，则称为间接测量。例如，先直接测出铁圆柱体的质量m、直径D和高度h，再根据公式p = _i计算出铁的的密度 冗D 2hP，这就是间接测量，P称为间接测量量。按照测量条件的不同，测量又可分为等精度测量和不等精度测量。在相同的测量条件下进行的一系列测量是等精度测量。例如，同一个人，使用同一仪器，采用 同样的方法，对同一待测量连续进行多次测量，此时应该认为每次测量的可靠程度相同，故称之为 等精度测量，这样的一组测量值称为一个测

8、量列。在不同测量条件下进行的一系列测量，例如不同的人员，使用不同的仪器，采用不同的方法进 行测量，则各次测量结果的可靠程度自然也不相同，这样的测量称为不等精度测量。处理不等精度 测量的结果时，需要根据每个测量值的“权重”，进行“加权平均”，因此在一般物理实验中很少采 用。等精度测量的误差分析和数据处理比较容易，下面所介绍的误差和数据处理知识都是针对等精 度测量的。二、误差与偏差1 真值与误差任何一个物理量，在一定的条件下，都具有确定的量值，这是客观存在的，这个客观存在的量 值称为该物理量的真值。测量的目的就是要力图得到被测量的真值。我们把测量值与真值之差称为 测量的绝对误差。设被测量的真值为X

9、0测量值为X，则绝对误差8为 = X - X（1）由于误差不可避免，故真值往往是得不到的。所以绝对误差的的概念只有理论上的价值。2. 最佳值与偏差在实际测量中，为了减小误差，常常对某一物理量X进行多次等精度测量，得到一系列测量值X 1, X2，Xn，则测量结果的算术平均值为 洋=1 乎 x（2）nn ii =1算术平均值并非真值，但它比任一次测量值的可靠性都要高。系统误差忽略不计时的算术平均 值可作为最佳值，称为近真值。我们把测量值与算术平均值之差称为偏差（或残差）：v =x-又（3）三、误差的分美正常测量的误差，按其产生的原因和性质可分为系统误差和随机误差两类，它们对测量结果 的影响不同，对

10、这两类误差处理的方法也不同。1. 系统误差在同样条件下，对同一物理量进行多次测量，其误差的大小和符号保持不变或随着测量条件的 变化而有规律地变化，这类误差称为系统误差。系统误差的特征是具有确定性，它的来源主要有以 下几个方面：仪器因素 由于仪器本身的固有缺陷或没有按规定条件调整到位而引起误差。例如，仪器标 尺的刻度不准确，零点没有调准，等臂天平的臂长不等，砝码不准，测量显微镜精密螺杆存在回程 差，或仪器没有放水平，偏心、定向不准等。理论或条件因素 由于测量所依据的理论本身的近似性或实验条件不能达到理论公式所规定 的要求而引起误差。例如，称物体质量时没有考虑空气浮力的影响，用单摆测量重力加速度时

11、要求 摆角0 -0,而实际中难以满足该条件。人员因素 由于测量人员的主观因素和操作技术而引起误差。例如，使用停表计时，有的人 总是操之过急，计时比真值短；有的人则反应迟缓，计时总是比真值长；再如，有的人对准目标时， 总爱偏左或偏右，致使读数偏大或偏小。对于实验者来说，系统误差的规律及其产生原因，可能知道，也可能不知道。已被确切掌握其 大小和符号的系统误差称为可定系统误差；对于大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统 误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除，或在测量结果中进行修正。而后者一般难以 做出修正，只能估计其取值范围。2. 随机误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，即使已经

12、精心排除了系统误差的影响，也会发现每次 测量结果都不一样。测量误差时大时小，时正时负，完全是随机的。在测量次数少时，显得毫无规 律，但是当测量次数足够多时，可以发现误差的大小以及正负都服从某种统计规律。这种误差称为 随机误差。随机误差的特征是它的不确定性，它是由测量过程中一些随机的或不确定的因素引起的。 例如，人的感受（视觉、听觉、触觉）灵敏度和仪器稳定性有限，实验环境中的温度、湿度、气流 变化，电源电压起伏，微小振动以及杂散电磁场等都会导致随机误差。除系统误差和随机误差外，还有过失误差。过失误差是由于实验者操作不当或粗心大意造成的， 例如看错刻度、读错数字、记错单位或计算错误等。过失误差又称

13、粗大误差。含有过失误差的测量 结果称为“坏值”，被判定为坏值的测量结果应剔除不用。实验中的过失误差不属于正常测量的范畴， 应该严格避免。3. 精密度、正确度和准确度评价测量结果，常用到精密度、正确度和准确度这三个概念。这三者的含义不同，使用时应注 意加以区别。精密度反映随机误差大小的程度。它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复 性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。但是，精密度不能确定系统误差的大小。正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较少，测量的 系统误差小。但是，正确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。准确度反映系统误差与随

14、机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确，即随 机误差与系统误差均小。现以射击打靶的弹着点分布为例，形象地说明以上三个术语的意义。如图1所示，其中图（a） 表示精密度高而正确度低，图（b）表示正确度高而精密度低，图（c）表示精密度和正确度均低， 即准确度低，图（d）表示精密度和正确度均高，即准确度高。通常所说的“精度”含义不明确，应 尽量避免使用。精密度和正确度均高精密度高，正确度低正确度高，精密度低精密度和正确度均低图1精密度、正确度和准确度示意图2 误差处理一、处理系统误差的一般知识1. 发现系统误差的方法系统误差一般难于发现，并且不能通过多次测量来消除。人们通过长期实践和理

15、论研究，总结 出一些发现系统误差的方法，常用的有：理论分析法包括分析实验所依据的理论和实验方法是否有不完善的地方；检查理论公式所要 求的条件是否得到了满足；量具和仪器是否存在缺陷；实验环境能否使仪器正常工作以及实验人员 的心理和技术素质是否存在造成系统误差的因素等。实验比对法 对同一待测量可以采用不同的实验方法，使用不同的实验仪器，以及由不同的测 量人员进行测量。对比、研究测量值变化的情况，可以发现系统误差的存在。数据分析法 因为随机误差是遵从统计分布规律的，所以若测量结果不服从统计规律，则说 明存在系统误差。我们可以按照规律测量列的先后次序，把偏差（残差）列表或作图，观察其数值 变化的规律。

16、比如前后偏差的大小是递增或递减的；偏差的数值和符号有规律地交替变化；在某些 测量条件下，偏差均为正号（或负号），条件变化以后偏差又都变化为负号（或正号）等情况，都可 以判断存在系统误差。2. 系统误差的减小与消除知道了系统误差的来源，也就为减小和消除系统误差提供了依据。（1）减小与消除产生系统误差的根源对实验可能产生误差的因素尽可能予以处理。比如采用更符合实际的理论公式，保证仪器装置 良好，满足仪器规定的使用条件等等。（2）利用实验技巧，改进测量方法对于定值系统误差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。交换法 根据误差产生的原因，在一次测量之后，把某些测量条件交换一下再次测量。例如， 用天平称质

17、量时，把被测物和砝码交换位置进行两次测量。设m】和m2分别为两次测得的质量，取物体的质量为m =：mm2，就可以消除由于天平不等臂而产生的系统误差。替代法 在测量条件不变的情况下，先测得未知量，然后再用一已知标准量取代被测量，而不 引起指示值的改变，于是被测量就等于这个标准量。例如，用惠斯通电桥测电阻时，先接入被测电 阻，使电桥平衡，然后再用标准电阻替代被测量，使电桥仍然达到平衡，则被测电阻值等于标准电 阻值。这样可以消除桥臂电阻不准确而造成的系统误差。异号法 改变测量中的某些条件，进行两次测量，使两次测量中的误差符号相反，再取两次测 量结果的平均值做为测量结果。例如，用霍耳元件测磁场实验中，

18、分别改变磁场和工作电流的方向， 依次为(+B，+I)、(+B，-I)、(-B，+I)、(-B，-I)，在四种条件下测量电势差UH再取其平均值， 可以减小或消除不等位电势、温差电势等附加效应所产生的系统误差。此外，用“等距对称观测法”可消除按线性规律变化的变值系统误差；用“半周期偶数测量法” 可以消除按周期性变化的变值系统误差等等，这里不再详细介绍。在采取消除系统误差的措施后，还应对其它的已定系统误差进行分析，给出修正值，用修正公 式或修正曲线对测量结果进行修正。例如，千分尺的零点读数就是一种修正值；标准电池的电动势 随温度的变化可以给出修正公式；电表校准后可以给出校准曲线等等。对于无法忽略又无

19、法消除或修正的未定系统误差，可用估计误差极限值的方法进行估算。以上仅就系统误差的发现及消除方法做了一般性介绍。在实际问题中，系统误差的处理是一件 复杂而困难的工作，它不仅涉及许多知识，还需要有丰富的经验，这需要在长期的实践中不断积累， 不断提高。二、随机误差及其分布实验中随机误差不可避免，也不可能消除。但是，可以根据随机误差的理论来估算其大小。为 了简化起见，在下面讨论随机误差的有关问题中，并假设系统误差已经减小到可以忽略的程度。1. 标准误差与标准偏差采用算术平均值作为测量结果可以削弱随机误差。但是，算术平均值只是真值的估计值，不能 反映各次测量值的分散程度。采用标准误差来评价测量值的分散程

20、度是既方便又可靠的。对物理量 X进行n次测量，其标准误差(标准差)定义为c (x) = lim !_(x - x )2(4)nT8 i=1在实际测量中，测量次数n总是有限的，而且真值也不可知。因此标准误差只有理论上的价值。 对标准误差c(x)的实际处理只能进行估算。估算标准误差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，它用 实验标准(偏)差S (x)近似代替标准误差c(x)。实验标准差的表达式为S (x)=n -1 .=1本书中我们都是用此式来计算直接测量量的实验标准差，其含义将在下面讨论。2. 平均值的实验标准差如上所述，在我们进行了有限次测量后，可得到算术平均值x。x 也是一个随机变量。在完全相同的

21、条件下，多次进行重复测量，每次得 到的算术平均值本身也具有离散性由误差理论可以证明，算术平均值的 实验标准差为- (x-x)2v;nn(n -1) 一 ，由此式可以看出，平均值的实验标准差比任一次测量的实验标准差图2测量次数对 S (x)的影小。增加测量次数，可以减少平均值的实验标准差，提高测量的准确度。但是，单纯凭增加测量次数来提高准确度的作用是有限的。如图2所示，当n10以后，随测量次数n的增加，S减小 得很缓慢。所以，在科学研究中测量次数一般取10-2。次，而在物理实验教学中一般取6-10次。3. 随机误差的正态分布规律随机误差的分布是服从统计规律的.首先，我们用一组测量数据来形象地说明

22、这一点。例如用数 字毫秒计测量单摆周期，重复60次（n=60），将测量结果统计如下表：时间区间/s出现次数An（频数）相对频数A/%n时间区间/s出现次数An（频数）相对频数A/%n2.146-2.150122.166-2.17015252.151-2.155352.171-2.1759152.156-2.1609152.176-2.180582.161-2.16516272.181-2.18523以时间T为横坐标，相对频数竺为纵坐标，用直方图将测量结果表示如图3.如果再进行一组测n量（如100次），做出相应的直方图，仍可以得到与前述图形不完全吻合但轮廓相似的图形。随着次数的增加，曲线的形状基

23、本不变，但对称性越来越明显，曲线也趋向光滑。当n -8时，上述曲一一 一一 -一 一 一一一一-An .一 .一 一一一 -线变成光滑曲线。这表示测值T与频数的对应关系呈连续变化的函数关系。显然，频数与T的n图3统计直方图取值有关，连续分布时它们之间的关系可以表示为空=f （T ）dT n函数f T）=瘁称为概率密度函数，ndT其含义是在测值T附近、单位时间间隔内测值出现的概率。当测量次数足够多时，其误差分布将服从统计规律。许多物理测量中，当n -8时随机误差8服从正态分布（或称高斯分布）规律。可以导出正态分布概率密度函数的表达式为:f（8） = e 20 2m。图4是正态分布曲线。该曲线的横

24、坐标为误差8，纵坐标为误差分布的概率密度函数。f（8 ）的物理含义是：在误差值8附近，单位误差间隔内，误差出现的概率。曲线下阴影面积元产（8 ） d 8 表示误差出现在88+区间内的概率。按照概率理论，误差8出现在区间（-8,+8）范围内是必然的，即概率为100%。所以，图中曲线与横轴所包围的面积应恒等于1，即j8 f（8）d8 三 1（8）8 由概率理论可以证明。就是标准差。在正态分布的情况下，式（7）中。的物理意义是什么呢？ 首先定性分析一下：从式（7）可以看出，当8 =0时，f （0） = U可2兀。因此，。值越小，f （0）的值越大。由于曲线与横坐标轴所包围的面积恒等于1，所以曲线峰值

25、高， 两侧下降就较快。这说明测量值的离散性小，测量的精密度高。相反，如果值大，f （0）就小，误 差分布的范围就较大，测量的精密度低。这两种情况的正态分布曲线如图5所示。图4正态分布曲线图5 。的物理意义4. 置信区间与置信概率我们还可以从另一个角度理解a的物理意义。计算一下测量结果分布在-aa之间的概率，可 得P =卜 f （e ）d = 0.683 = 68.3%（9）1-a6这就是说，在所测的一组数据中平均有68.3%的数据测值误差落在区间-a , a 之间。同样也可以认为在所测的一组数据中，任一个测值的误差落在区间-a , a 内的概率为68.3%.我们把称作 置信概率，-a, a僦是

26、68.3%的置信概率，所对应的置信区间。显然，扩大置信区间，置信概率就会提高。可以证明，如果置信区间分别为-2a，2a 和-3a， 3a ，则相应的置信概率为P =卜 f（6）d6 = 95.5%（10）2 -2aP = j3a f（6）d6 = 99.7%（11）3 -3a一般情况下，置信区间可用-ka，ka表示，k称为包含因子，对于一个测量结果，只要给出置信 区间和相应的置信概率就表达了测量结果的精密度。对应于-3a，3a 这个置信区间，其置信概率为99.7%，即在1000次的重复测量中，随机 误差超出-3a，3a 的平均只有3次。对于一般有限次测量来说，测量值超出这一区间的可能性非 常小

27、，因此常将土 3a称为极限误差。5. t分布根据误差理论，当测量次数很少时（例如，少于10次），测量列的误差分布将明显偏离正态分 布，这时测量值的随机误差将遵从t分布。这个分布是1908年由戈塞特首先提出来的，由于发表 时使用了笔名“Student”，故也称“学生分布”t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区 别是t分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄，下部较宽，如图1 -6。这样，在有限次测量的情 况下，就要将随机误差的估算值取大一些，包含因子k应转换成t，t值与测量次数有关，也与置 信概率P有关，表1给出了 t与测量次数n、置信概率P的对应关系，供查用。表1 t 值表2345678910

28、2080.681.841.321.201.411.111.091.081.071.061.031.000.9512.714.303.182.782.572.452.362.312.262.091.960.9963.669.925.844.604.033.713.503.363.262.862.58由表1可见，当置信概率P=68%时，t因子随测量次数增加而趋向于1。当n6以后，t与 1的偏离并不大，故在进行误差估算时，当n6时置信概率取68.3%，包含因子可以不加修正。三. 坏值的剔除在一列测量值中，有时会混有偏差很大的“可疑值”。一方面，“可疑值”可能是坏值，会影响 测量结果，应将其剔除不用。

29、另一方面，当一组正确测量值的分散性较大时，尽管概率很小，出现 个别偏差较大的数据也是可能的，即“可疑值”也可能是正常值，如果人为地将它们剔除，也不合 理。因此要有一个合理的准则，判定“可疑值”是否为“坏值”。下面介绍三种常用的准则。1. 拉依达准则如前所述，土勿 可认为是极限误差，它的估算值土 3S3)也可以认为是极限偏差。按照拉依达 准则，将偏差大于士 3S3)的数据视为坏值而将它剔除。剔除坏值时，首先应算出测量列尤x ,x的算术平均值X和任一次测量值的标准偏差S(X)，然后检验每一个测值的偏差，如12n果冬-X 3 S(X)，则确定七为坏值予以剔除。对剔除后的测量列再重复进行上述步骤，直到

30、无坏 值为止。应该指出的是，拉依达准则只有在测量次数n1。时才能应用。因为根据S(x)的定义式(5)， 当n C(n)S(x)，则认为x为坏iii值，予以剔除。式中C(n)称为肖维涅系数，其值与测量次数n有关，下表给出了不同测量次数对应 的C(n)值。测量次数越多，C(n)越大；当n 100时，C(n)值接近于3,和拉依达准则相当。 但当n 4时，准则无效，所以表中的系数n从5开始.表2肖维涅系数nC (n)nC (n)nC (n)51.65142.10232.3061.73152.13242.3171.80162.15252.3389101T12131.86f921.962.002.032.

31、07172.1730182.2040192.2250202.247521 2.2610022 2282002.392T492.582.712.813.023. 格拉布斯准则格拉布斯准则比肖维涅准则更为科学，它同时考虑了测量次数n和置信概率P的影响。该准则认 为，如果|七-可g（n，P）S 时，测量值七为坏值的置信概率为P。式中g值为格拉布斯系数， 其值见表3。表3格拉布斯系数g（n, p）Xn 、0.950.9750.990.995Xn 、0.950.9750.990.99531.151.161.161.16152.412.552.702.8141.461.481.491.50162.442.

32、592.752.8551.6731.751.76172.482.622.782.8961.821.891.941.97182.502.652.822.9371.942.022.102.14192.532.682.852.9782.032.132.222.27202.562.712.883.0092.112.222.322.39242.642.782.993.11102.182.292.412.48282.712.883.073.20112.232.362.482.56322.772.943.143.27122.282.412.552.64362.822.993.193.33132.332.46

33、2.612.70402.873.043.243.38142.372.512.662.76502.963.133.343.48必须指出，按以上准则判别时，若测量数据中存在两个以上测值需要剔除，只能先剔除偏差最大的 测值，然后重新计算平均值项及标准偏差S（ x），再对余下的测值进行判断，直至所有的测值均不是 坏值为止。由于大学物理实验中大多数情况下重复测量次数小于9次，所以实验课程中不使用拉依达准则。 格拉布斯准则较为科学，但是涉及置信概率的考虑，较为复杂。我们一般可采用肖维涅准则，必要 时采用格拉布斯准则判断坏值.四、仪器误差1. 仪器的示值误差（限）测量仪器的误差来源往往很多，逐项进行深入的分

34、析处理是很困难的，在绝大多数情况下也没 有必要。实际上，人们最关心的是仪器提供的测量结果与真值的一致程度，即测量结果中各仪器的 系统误差与随机误差的综合估计指标。在物理实验中，常常把国家技术标准或检定规程规定的计量 器具最大允许误差或允许基本误差经过适当的简化称为仪器误差（限）.仪器示值差（限）用来 表示，它代表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值.仪器的示值误差（限）通常是由制造工厂或计量部门使用更精确的仪器、量具，经过检定比较 合格给出的，一般写在仪器的标牌上或说明书中，有的仪器直接给出了仪器的准确等级。各类仪器 的示值误差（限）与其准确度等级之间都存

35、在着一定的关系.一般由仪器的量程和准确度等级可以 求出仪器示值误差（限）的大小。不同的仪器、量具，其示值误差（限）有不同的规定。例如，游 标卡尺不分精度等级，测值范围在300mm以下的示值误差一律取游标的分度值。螺旋测微计分零 级和一级两类，通常实验室使用的为一级，其示值误差随测量范围的不同而不同，量程在。25mm， 及2050mm的一级千分尺的示值误差均为A =0.004mm。天平的示值误差以标尺分度值的倍数形式给出，它与天平的称量载荷有关，本讲义中约定，取 天平标尺分度值的一半做为仪器的示值误差。电表的示值误差，可以根据其量程和准确度等级计算：A疽量程x准确度等级如果测量仪器是数字式仪表，

36、则取其末位数最小分度单位为示值差。在我们不能知道仪器的示 值误差（限）或准确度等级的情况下，也可以取其分度值的一半做为示值误差（限）。还有一些仪器（如电阻箱，电桥，电势差计等）的误差用基本误差来表示，其值需用专用公式 来计算。仪器误差提供的是误差绝对值的极限值，而不是测量的真实误差，也无法确定其符号。2. 仪器的标准误差在对测量结果的误差评定中，随机误差是用标准误差来估算的，相应地，也需要知道仪器的标准误差。仪器的标准误差用a表示，它实际上是一个等价标准误差，下面要讨论的是如何确定仪 仪器的标准误差，以及它与仪器误差Am间的关系。/以）图7均匀分布一般仪器误差的概率密度函数近似服从如图7所示的

37、均匀分布规律。在-AA J范围内，误 差出现的概率相同，-A，A 区间以外出现的概率为零。例如，游标卡尺的仪器误差，仪器度盘 或其它传动齿轮的回差所产生的误差，机械秒表在其分度值内不能分辨引起的误差，指零仪表判断 平衡的误差等，都属于均匀分布。均匀误差的概率密度函数为1f （A）=一2Am根据标准误差的定义，可以求出仪器的标准误差与仪器误差（限）A的关系:m-仪器标准误差a的物理含义与标准误差a类似。仪3 .仪器的灵敏阈仪器的灵敏阈是指足以引起仪器示值可察觉变化的被测量的最小变化值，即当被测量值小于这 个阈值时，仪器将没有反应。例如，数字式仪表最末一位数所代表的量就是数字式仪表的灵敏阈。 对指

38、针式仪表，由于人眼能察觉到的指针改变量一般为0.2分度值，于是可以把0.2分度值所代表 的量作为指针式仪表的灵敏阈。灵敏阈越小，说明仪器的灵敏度越高。一般地讲，测量仪器的灵敏 阈应该小于示值误差（限），而示值误差（限）应该小于最小分度值。但是也有一些仪器，特别是实 验室中频频使用的仪器，准确度等级可能降低了或灵敏阈变大了，因而使用这样的仪器前，应检查 其灵敏阈。当仪器灵敏阈超过仪器示值误差限时，仪器示值误差（限）便应由仪器的灵敏阈来代替， 这一点并不难理解。 3有效数字的记录与运算一、有效数字的一般概念为了理解有效数字的概念，我们先举一个例子。如图8所示，用米尺测量一个物体的长度，测 量结果记

39、为13.4cm、13.5cm、13.6cm都可以。换不同的测量者进行测量，前两位数不会变化， 我们称之为准确数字，但最后一位数字各人估计的结果可能略有不同，我们把这位数称为欠准数字 或可疑数字。虽然最后这位数字欠准，但是记上它能客观地反映出该物体比13cm长，比14cm短 的实际情况，比较合理。我们把测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字，统称为测量结果 的有效数字。有效数字的上述定义，适用于直接测量量和间接测量量。图8 有效数字概念需要特别指出的是，一个物理量的测量值和数学上的一个数有着不同的意义。在数学上，13.5cm 和13.50cm没有区别，但是从测量的意义上看，13.5cm表示十

40、分位上的“5”是欠准数字，而 13.50cm表示十分位上的“5”是准确测量出来的，而百分位上的“0”才是欠准的。因为有效数字只有最后一位是欠准的，因此大体上说有效数字的位数越多，相对误差就越小。 一般来说。测量结果有两位有效数字时，对应于10-110-2量级的相对误差；有三位有效数字时， 对应于10-210一3量级的相对误差。在表示物理实验的测量结果时，为了更方便地反映有效数字的位数，应尽量采用科学记数法， 即在小数点前只写一位数字，用10的几次幂来表示其数量级。例如，3.8X105m，4.123X10-7S分 别表示两个量的有效数字是2位和4位，而如果将3 .8X 105记成380 000m

41、不但繁琐，而且有效 数字的位数错误，人为地将精度提高了 4个数量级。二. 直接测量量的有效数字的读取在进行直接测量时，要用到各种各样的仪器和量具。从仪器和量具上直接读数，必须正确读取 有效数字，它是进一步估算误差和数据处理的基础。一般而言，仪器的分度值是考虑到仪器误差所在位来划分的。由于仪器多种多样，读数规则也 略有区别。正确读取有效数字的方法大致归纳如下：1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位，但不一定估读十分之一，也可根据情况（如分度的 间距、刻线、指针的粗细及分度的数值等）估读最小分度值的1/5、1/4或1/2。但无论怎样估计， 最小分度位总是准确位，最小分度的下一位是估计的欠准位。2

42、. 有时，读数的估计位就取在最小分度位。如仪器的最小分度值为0.5，则0.1、0.2、0.3、 0.4及0.6、0.7、0.8、0.9都是估计的；如仪器最小分度值为0.2,则0.3、0.5、0.7、0.9都是 估计的。这类情况都是不必再估到下一位。3. 游标类量具，只读到游标分度值，一般不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。4. 数字式仪表及步进读数仪器（如电阻箱）不需要进行估读，仪器所显示的末位就是欠准数字。5. 特殊情况下，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如，在测量灵敏电流计临界电阻 时，调节电阻箱的“X10”Q挡，仪表上才刚刚有反应，所以尽管电阻箱的最小步进值为0.1Q， 测量

43、值也只能记录到“X10”Q，如记为R=8.53X103Q.6. 在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补0”，一直补到可疑位。例如，用最小刻度 为1mm的钢卷尺测量某物体的长度恰为12 mm时，应记为12.0mm;如果改用游标卡尺测量同 一物体，读数也为整数，应记为12.00mm;如再改用千分尺来测量，读数仍为整数，则应记为12.000 mm;切不可一律记为12mm。三、间接测量量有效数字的运算间接测量量测量结果的有效数字，最终应由测量不确定度的所在位来决定（详见 4有关内容）。 但是在计算不确定度之前，间接测量量需要经过一系列的运算过程。运算时，参加运算的量可能很 多，有效数字的位数也不一

44、致。如果数字相乘，位数会增加；如果相除而又除不尽，位数可以无止 境。为了简化运算过程，一般可以按以下规则进行运算：1. 几个数进行加减运算时，其结果的有效数字末位和参加运算的诸数中末位数数量级最大的那 一位取齐，称为“尾数取齐”。例如，278.2+12.451=290.7。2. 几个数进行乘除运算时，其结果的有效数字的位数与参与运算的诸数中有效数字位数最少的 那个相同，称为“位数取齐”。例如，5.348X20.5=110。3. 一个数进行乘方、开方运算，其结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效数字位数相同。 例如，、疝=14.1.4. 一般说来，函数运算的有效数字，应按间接量测量误差传递公式

45、进行计算后决定。在普通实 验中，为了简便统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数按如下规则处理：对数函数运 算结果的有效数字中，小数点后面的位数取成与真数的位数相同；指数函数运算结果的有效数字中， 小数点后的位数取成与指数中小数点后的位数相同；三角函数结果中有效数字的取法，可采用试探 法，即将自变量欠准位上、下波动一个单位，观察结果在哪一位上波动，结果的欠准位就取在该位 上。以上所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则，在实际问题中，为防止多次取舍而造成误 差的累积效应，常常采用在中间运算时多取一位的办法。在计算器和微机已经相当普及的今天，中 间过程多取几位有效数字不会给我们带来太多的麻

46、烦，所以在中间运算过程中，可以适当多取几位 （如多取2、3位）。最后表达结果时，有效数字的取位再由不确定度的所在位来一并截取。四、有效数字尾数的舍入法则过去对有效数字的尾数采用“四舍五入”的规则来修约，但是这样处理“入”的机会总是大于“舍”的机会，引起最后结果偏大。为了弥补这一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶”的规则来修约。例如，将下列数据保留三位有效数字的修约结果是:等于五凑偶大于五进位小于五舍去寸3.542 23.543.546 63.553.535 03.54小于五舍去大于五进位等于五凑偶3.545 03.543.545 013.553.544 993.54 4 测

47、量结果的不确定度评定一、测量不确定度的基本概念1. 不确定度的定义前面对测量中可能存在的各种误差做了简单介绍。这些误差的存在，使得测量结果具有一定程度 的不确定性。所以，对某一物理量进行测量，我们只能知道测量值N与真值N0之差的绝对值以一 定概率分布在-uu之间，用公式表示为|N - N0 u（置信概率为P）（13）其中，u值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度，它表征真值以某置信概率存在的范围， 是对测量结果不确定性的度量。1980年，国际计量局提出了关于“实验不确定度”的建议书，建议用不确定度来评价测量的质 量。1981年，第17届国际计量大会通过了采纳“建议书”的决议。我国计量科学院

48、在1986年也 发出了用不确定度作为误差指标名称的通知。国家技术监督局决定于1992年10月1日正式开始 采用不确定度进行误差的评定工作。在实验中全面采用不确定度来评价测量的结果已成为必然的趋 势。严格的不确定度理论比较复杂。考虑到本课程的性质，对不确定度评定的介绍将在保证其科学性 的前提下，适当加以简化，以免初学者不得要领。2. 不确定度的分量由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般也包含几个分量。在修正了可定系统误差之后， 把余下的全部误差归为A、B两类不确定度分量。不确定度A类分量ua：多次重复测量，用统计方法求出的分量。直接测量量的A类不确定度分量 就用平均值的实验标准差表示，即u

49、= S (14)不确定度日类分量u ：用其他非统计方法估算的分量。在实验中尽管有多方面的因素存在，本 B讲义中一般只考虑仪器误差这一主要因素。我们用仪器的等价标准差=二 近似表示不确定度B类分量，式中Am可以是仪器的示值误 仅 c差(限)、基本误差或仪器的灵敏阈。因子c与仪器误差的分布规律有关。如果仪器误差服从均匀 分布规律，则c =& ;若服从正态分布，则c=3;在不能确定其分布规律的情况下，本着不确定度 取偏大值的原则，也取c =：、3。本讲义中，我们一律将c取为、3，即A(15)U = b、= m二、直接测量结果的不确定度评定1.合成不确定度在各不确定度分量相互独立的情况下，将两类不确定

50、度分量按“方和根”的方法合成，构成合成 不确定度，即(16)u(x) =、: 2 + U2在许多情况下，需要采用95%、99%或99.7%等较高的置信概率。这时，可以在合成不确定度 前乘以一个包含因子k来求扩展不确定度(x)。待测量的不确定度服从正态分布时，对应于置信 概率P=68.3%，近似地取k=1；对应于置信概率P=95%，近似地可取k=2;对应与置信概率 P=99.7%，k = 3。我们认为，物理实验课对误差处理的要求，主要在于建立正确的概念，而不拘泥于对某一值的精 确计算，从这一观点出发，置信概率均取68.3%。2. 测量结果的不确定度表示按照国际计量局198。年的建议书，直接测量量

51、x的测量结果可表示为x = X士u(x)(单位)(P=)(17)对于测量结果，同时还可以用相对不确定度表示：E (x) = B x 100%(18)这里应特别注意两点：(1) 不确定度有效数字的取位由于不确定度本身只是一个估计范围，所以其有效数字一般只取 一或二位。在本课程中为了教学规范，我们约定对测量结果的合成不确定度(或总不确定度)只取 一位有效数字，相对不确定度可取两位有效数字。此外，我们还约定，截取剩余尾数一律采取进位 法处理，即剩余尾数只要不为零，一律进位，其目的是保证结果的置信概率水平不降低。(2) 测量结果有效数字的取位对测量结果本身有效数字的取位必须使其最后一位与不确定度最 后

52、一位取齐。截取时，剩余尾数按“小于5舍去，大于5进位，等于5凑偶”的规则修约。所以， 尤=(9.80 0.03) cm是正确的表示，而尤=(9.804 0.03) cm或尤=(9.8 0.03) cm均是不正确 的表示。例如，用数字毫秒计测得某单摆周期的算术平均值为2.18305s，经计算，求出置信概率P=68.3% 时的不确定度为0.0031s，其结果应表示为T = (2.183 0.004) s (P=68.3%)该式表示此单摆周期的真值落在2.183 0.004,2.183 + 0.004范围内的概率有68.3%。这一 测量列的相对不确定度为E(T) = 0.17%3. 直接测量量不确定

53、度评定的步骤假设某直接测量量为X，其不确定度评定的步骤归纳如下：(1) 修正测量数据中的可定系数误差；(2) 计算测量列的算术平均值？作为测量结果的最佳值；(3) 计算测量列任一次测量值的实验标准差S3)；(4) 审查各测值，如有坏值则予以剔除，剔除后再重复步骤(2)、(5) 计算平均值的实验标准差S(力作为不确定度A类分量uA;A(6) 计算不确定度B类分量uB；(7)求合成不确定度u (x)=寻：+ uB=：S(X)2+(&2及扩展不确定度U(x) = ku(x)，当 v3不确定度正态分布时，置信概率取68.3%、95%和99.7%时,k可分别取近似值为1、2、3；(8)写出最终结果表示式

54、：x = x u G)()U(x)=)E vx )= x 100%x例 用一级千分尺对一小球直径测量8次，测量结果见下表第二行数据，千分尺的零点读数为 0.008mm，试处理这组数据并给出测量结果。次数12345678D/mm2.1252.1312.1212.1242.1262.1232.1292.127D/mm2.1172.1232.1132.1162.1182.1152.1212.119解(1)修正千分尺的零点误差：D = (D 0.008)mm，填入上表第三行;(2) 直径的算术平均值D =2.118mm；(3) 某次测值的实验标准差为1 vS(D) = I商 (D D)2 =0.003

55、3 mm (中间运算多取一位，下同)=1(4) 按肖维涅准则n = 8时，系数C(n) = 1.86,则应保留测值范围为(2.188-1.86X0.0033) mm (2.118+1.86X0.0033) mm,即 2.1112.124mm。经检查，无坏值。(5) A类分量的估算值(平均值的实验标准差)：些=0.0011 mmB类分量的估算值：按照国家计量标准，一级千分尺在测量范围0100mm内的仪器误差限仪=0.004mm; u广% = 0.0023 mm；合成不确定度 u (D) = ：S( D)2 + (二)2 = 0.0025mm0.003mm;3测量结果为D = (2.118+0.0

56、03) mmE(D) = 0003 =0.15%2.118若取P=95%，则扩展不确定度U (D) =2Xu (D)=0.006mm，测量结果为D = (2.118+0.006) mm (P=95%)E(D) = 0006 =0.29%2.118在这里，我们还应该特别说明对于单次测量的不确定度处理。在实际测量中，有些量是随时间 变化的，无法进行重复测量；也有些量因为对它的测量精度要求不高，没有必要进行重复测量；还 有些量由于仪表的精密度较差，不能反映测量值的随机误差，几次测量值都相同，这时可按单次测 量来处理。一般情况下，我们就约定单次测量的不确定度简单地取。m(8)(P=68.3%)三、间接

57、测量量的不确定度评定设间接测量量N与直接测量量x ,y,z,的函数关系为N = f (x ,y,z,)(19)由于x ,y,z具有不确定度u(x),u(y),u(z),，N也必然具有不确定度u(N),所以对间接测量量N的 结果也需采用不确定度评定。1.间接测量量的最佳值在直接测量中，我们以算术平均值X,亍,元作为最佳值。在间接测量中，可以证明N = f (云亍,/)为间接测量量的最佳值，即间接测量量的最佳值由各直接测量量的算术平均值代 入函数关系式而求得。2.间接测量量不确定度的合成由于直接测量量具有不确定度，从而导致间接测量量也具有不确定度。因为不确定度是一个微小量，故可以借助于微分手段来研

58、究。对式(19)两边取微分：dfdfdfdN =dx +dy +dz + dxdydz也可以先对(19)式两边取自然对数，再取微分，得dN d ln f 1d In f 1d In f 1=dx + dy + dz + dydzNdx(20)(21)其中dN对应于u(N), d(%)对应于u (% )，式(20)和式(21)中各求和项称为不确定度项， 各直接测量量不确定度前面的系数 当、当、当及nLnL、性称为不确定度传递系 ox oy czexcycz数。当直接测量量% ,y,z,彼此独立时，间接测量量N的不确定度为各分量的均方根：(22)+ fcu (y) j2 +L (z )2 +Aly

59、)顷z) u (x)I y+ flnL u (z)A 2 +Ak z)(23)再用岑求相对不确定度比较求均方根时要保证各项是独立的。如果出现多个 x (或%，*)项，要先合并同类项，再求均方 根。y对于以加减运算为主的函数，先用式(22)求不确定度u(N)，简便；而对以乘除运算为主的函数，则先用式(23)求出其相对不确定度 E (N)，再用u(N) = N - E(N)求不确定度比较简便。3. 间接测量结果不确定度评定的步骤(1) 按照直接测量量不确定度评定的步骤，求出各直接测量量的不确定度u(% ),u(y),u(z),;(2) 求间接测量量的最佳值n = f (x, y, z,)；(3)

60、用不确定度合成公式(22)或(23)，分别求出N的不确定度u(N)和相对不确定度E (N);(4) 写出最后结果的表示式：N = N + U(N )(P=)N )=竺 x 100%I N对于不确定度u(N)、E (N)及算术平均值N，有效数字的取位与直接测量量的取位规则相同。例 已知质量m = (213.04+0.05)g，(P=68.3%)的铜圆柱体，用。125mm、分度值为 0.02mm的游标卡尺测量其高度h六次；用一级025mm千分尺测量其直径D也是六次，其测值 列入下表(设仪器零点示值均为零)，求铜的密度。次数123456高度h/mm80.3880.3780.3680.3880.3680.37直径D/mm19.46519.46619.46519.46419.46719.466解 铜的密度P=，可见P是间接测量量，由题意，质量m是已知量，直径D、高度h 冗D 2h是直接测量量。(1)高度h的最佳值及不确定度：h = 80.37 mmS(h) = (h - h)2 =0.0089 mm(按肖维涅准则检查无坏值) 6 - 1 iS (h)=挫) =0.0036mmV6游标卡尺的