水文统计学实验

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1、水文统计学实验报告学 院班 级：姓 名：学 号:指导老师：日 期：实验一PIII曲线在Excel下的实现一、P-HI曲线的重要性P-III曲线适应性很强，计算很方便。1924年福斯特首先将它用于水文现象，以后得到 各国水文学者的广泛研究，也是我国水利水电工程水文计算规范中推荐采用的分布线型我 国水文工作者对其参数估计的方法做了大量研究，现行广泛采用的是适线法。二、基本概念f (x):为 P-III型分布的概率密度f (X)二(x- a ”1 e-P(x-ao) , x ar(a)ooaE(x):随机变量X的数学期望E(x)=直+ aoC :偏态系数C =：vv xC :离势系数，实际计算中常令

2、Cs等于Cv的若干倍。s三、适线法估计适线法不是给出估计量的计算公式，而是由实测样本直接推求参数的估计值。设随机变量X的超过制分布函数P ( X x )=G(X, u0，u0 )的函数类型已知,1i其中的参数u0，u0未知，待估计，又设x,x为X的一个容量为n的样本。1l1n将x ,x由小到大排列：1nx* x* x* x*12mn按式E( X*)=m/(n+1)计算经验频率Pm=P( X x*),将点P(Pm, x* )(m=1n)(称为经验 nmm点据)点绘在坐标纸上，由于样本来自总体，因此，只要n足够大，这些点分布于X的的分 布函数曲线附近，据此，选取一组参数值u ,u代入P=G(u ,

3、u )，从而可在Px坐标1i1i图像上画出曲线，这就是理论频率曲线，观察该曲线与经验点据拟合的程度，如拟合不好, 重新选取一组参数，重复上述步骤，直到拟合满意为止，则最后的一组参数即为X分布函 数中参数u0，u0的估计值。1i在x轴和P轴都是等分分格的坐标纸上，P ( X x ) =G (x, u0，u0 )曲线是1iS形的，不便于配线和外延，因此，设计了一种专门的坐标纸，它的概率坐标不是等分的， 而是能使（累积）频率曲线画在上面成为直线，这种坐标纸常称为概率格纸。水文上常用的 是正态概率格纸（又称海森机率格纸），正态分布函数画在上面成为直线。四、海森机率格纸的绘制（以课本P182表7-1资料

4、为例）海森机率格纸的横向网格线为均匀分布，可直接由Excel软件的图表功能自动生成，而 纵向网格线不能直接由Excel软件的图表功能自动生成,因为海森机率格纸要求的纵向网格 线是不均匀的。纵向网格线的绘制可以通过向图表中添加一个系列的XY散点图来完成，下 面以某站流量频率计算用海森机率格纸的绘制为例进行介绍，具体方法如下：（1）在“流量机率格纸数据点”工作表A6、A7单元格中分别输入“0.01”，在A8、A9 单元格中分别输入“0.02” ，依此类推，在A列后续单元格中输入海森机率格纸纵向网 格线对应的频率值，直至最后在A234、A235单元格中分别输入“99.99”。（2）在“流量机率格纸数

5、据点”工作表B6中输入“=N0RMSINV（A6%） ”，选中B6单元格， 通过Excel填充柄向下进行填充直至B235单元格，则得到频率P对应的标准正态分布分位 数。（3）在“流量机率格纸数据点”工作表C6中输入“ =-$B$6+B6”，选中C6单元格，通 过Excel填充柄向下进行填充直至C235单元格，则得到海森机率格纸中频率P对应的横坐 标值Lp值。（4）在“流量机率格纸数据点”工作表D6、D7、D8、D9中分别输入“=$D$3”、“=$D$2”、 “=$D$2”、“=$D$3”，选中D6、D7、D8、D9单元格，通过Excel填充柄向下进行填充直至D235单元格。绘制海森机率格纸纵向

6、网格线（如图1所示）图1（1）选择“流量机率格纸数据点”工作表中的“$C$6:$D$235”，通过Excel图表向导， 依次选择“XY散点图”一“无数据点折线散点图”一“下一步”一“下一步”一“设置标 题各项、设置网格线（Y轴主要、次要网格线显示）、设置图例（不显示图例）一“下一步” -“作为新工作表插入（命名为流量频率曲线” 一 “完成”。（2）设置纵向网格线数据系列格式：选择合适的样式、颜色与粗细。（3）设置纵向网格线数据点（P对应“流量机率格纸数据点”工作表的$F$6:$F$30各 单元格中的数据）格式：选择合适的样式、颜色与粗细。进行图表的有关设置（如图1所示）（1）设置绘图区格式：边

7、框设置为黑色，选择合适的样式与粗细；区域选择为无。(2) 设置纵坐标轴格式：设置刻度最大值为3000，刻度最小值为0,主要刻度单位为 100,次要刻度单位为20,字号为6。(3) 设置横向次要网格线格式：选择合适的样式、颜色与粗细。(4) 设置横坐标轴格式：坐标轴与刻度线标签为无、设置刻度最大值为7.438,刻度最小 值为0。二、海森机率格纸频率刻度的标注1、在“流量机率格纸数据点”工作表$F$6:$F$30单元格中分别输入“0.01”“0.05”， 依此类推，在F列后续单元格中输入海森机率格纸频率刻度对应的频率值，直至最后在F30 单元格中输入“99.99”2、根据计算海森机率格纸中频率P对

8、应的横坐标值Lp的方法计算$G$6:$H$30各单元 格的值。在$I$6:$I$30单元格中输入0。3、在“流量频率曲线”工作表的图中设置源数据：添加系列，以“流量机率格纸数据 点”工作表$H$6:$H$30单元格的数据为X值，以$I$6:$I$30单元格的数据为Y值。4、设置该系列数据系列格式：选择数据标志中的X数据标签。5、设置该系列数据标志格式：设置字号为6,标签位置在下方。五、计算Cv、Cs及流量均值X1 y-nX = 乙X n i i=1厂乞（K1）3C 二 （K - 1）2C = +V n 一 1 is （n 一 3）C31i=1V代入教材 P183 数据得 Cv=0.66, Cs

9、=1.11, X =853.1六、绘制频率曲线将“经验频率计算”表中计算出的与实测洪水相对应经验频率逐一填至“频率曲线” 表中的A歹U，将实测洪水值相应填至表中D歹U;另外应在A列中按顺序适当添加一些建立频 率曲线所必须的频率数值，如0.01%、1%、99%、99.9%等o在表中E2单元格中输入公式： =$F$2*(1-2*$H$2/$I$2)+GAMMAINV(1-A2%,4/P0WER($I$2,2),$F$2*$H$2*$I$2/2) 拖动单元格右下角的填充柄，将公式复制到本列其他单元格中。将海森机率格纸图复制粘贴至“频率曲线”表，右键单击图中空白区域，点击“原数 据”，在对话框内点击“

10、系列”按钮。在“系列”栏下点击“添加”按钮，在“系列 2”栏“x值”文本框内选取数据区域“频率曲线！ $C$2:$C72” ,在“Y值”文本 框内选取数据区域“频率曲线！ $D$2:$D72”。继续点击“添加”按钮，在“系列3” 栏“x值”文本框内选取数据区域“频率曲线！ $C$2:$C72” ,在“Y值”文本框内 选取数据区域“频率曲线！ $E$2:$E72”，点击“确定”按钮后，右键单击在图形内出 现的比较圆滑的散点，在出现的对话框内点击“图表类型”，在“子图标类型”栏内 选择“无数据点平滑线散点图”，按“确定”按钮后，光滑散点就变成一条光滑曲线。 自此一幅完整的频率曲线图就基本完成了。之

11、后读者可根据自己的喜好，对图形进行 必要的修改后完善。如图：七、配线?5CZR-l C + li-ldl-ll*l；l!l!l：lllllgwgISi! I!lBUM|=r=Zt,=%-:一：囂黑一甘計舄_=E -=5=-=a=- -=-=-=-= *4-=書Z rZI岂调整“频率曲线”表格中Cv值（H2单元格）、Cs值（I2单元格），直至图内光滑曲线与 散点较好配合。实验二叠加马尔科夫链在年降水量预测中的运用降水量是影响区域气候的重要气象因子，与蒸发量、地表反照率、积雪量等各种气象要 素密切相关，同时也对农业生产等人类的生产生活活动有重要影响。在气象学、水文学中, 降水量预测是一项重要的研究

12、工作。由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不 确定性、较难精确预测的特点，尤其是对于较长时间段内降水量的预测，更难以通过物理成因的分析来准确预测该时段内的降水量。因此，水文工作者采用叠加马尔科夫链方法，利用 位于川西高原的小金站19612000年的年降水量资料，探讨了叠加马尔科夫链在年降水量 预测中的运用。一、马尔科夫链与叠加马尔科夫链预测方法1、马尔科夫链 马尔科夫链是随机过程的一种，具有“无后效性”的特点，即在已 知某一随机过程“现在”的条件下，其“将来”与“过去”是独立法的，它是一个时间离散、 状态离散的时间序列。其数学表达如下：定义在概率空间Q，F，P）上的随机序列x（t），

13、 t G T加马尔科夫链，其中T=0, 1 , 2, . 状态空间I =0,1, 2, . 对任意正整数1、m、k及任意非负整数j . j j (m j )、i 、i、2 、 2 、il2 1lm+kmjij2j1有 P X = i|x = i , X = i.X = i , X =i = P X=i|X= i成(m+k)m+k(m)m(j.)jjj?(jj人(m+k)m+k(m)mI立，这里要求上式左端有意义，即假定PX = i , X =i，X = i , X=i 0。(m)m(j.)j(j2)j2(jj实际应用中，通常考虑齐次马尔科夫链，即对任意n, k e N +，有P （n,k） =

14、 P （k）（i, j = 0,1,2, .，.式中P （n，k ）表示“处于时刻n的状态为i经k ijij心步转移至状态j的概率”；P ,（k ）则表示“状态i经k步转移至状态j的概率”齐次马 ij尔科夫链 x（）可由其初始状态和概率转移矩阵完全决定。（t ）2、叠加马尔科夫链预测方法对于一列相依的随机变量，利用各阶（各种步长）马尔 可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，称之为“叠加马尔科夫链预测方法”，是一种较 为常用的马尔科夫链预测方法。叠加马尔科夫链模型预测的基本步骤可简要概括为:计算 序列均值x和均方差s,建立序列值的分级标准；根据已建立的序列值的分级标准，确定 序列中各时刻所处的状

15、态；计算得到不同步长的马尔科夫链的状态转移矩阵；设与待预 测年份相距步长k的年份所处状态为i ,利用各状态均值向量a（） 和步长为k的状态转移矩阵P （）的第i个行向量，来叠加预测该年的年降水量值，即（k）a = 1 aT P （i,.）（i = 1,2,3,.）；对比预测值与实际观测值，评价预测效果。（m）N（ m） （k）k=1二、实例分析1、年降水量的分级 利用均值一均方差分级法对19612000年小金站的年降水量进行分 级。对于序列x、x、x ,其均值为X，均方差为s,将序列值划分为五级：12n（g, x a s）、x a s, x a s）、x a s, x + a s）、x + a

16、 s, x + a s）、x + a s,+s）。11223344其中，一般aa勺取值范围为lO,l5，a2、的取值范围为03,0.6。2、年降水量的预测 利用19612000年这4 0年间的降水时间序列对年降水量进行预 测，并与实际观测值进行对比，评估叠加马尔科夫链预测方法对高原地区降水量的预测效果。 首先，以19612000年小金站年降雨量序列来预测2 0 0 1年的年降水量，并与实际观测 值进行对比。经计算，19612000年年降水量的均值为6 0 8 2 mm，均方差为6 9 7 mm，在划分状态时取a =a = 1.1， a = 0.5，将年降水量序列值划分为5个不同的状态1423（

17、表1）,并列出小金站19612000年年降水量所处状态（表2）。表1年降水量状态分级状态级别分级标准降水量/mm1偏旱x x - 1.1sx 5315.32旱x - 1.1s x x - 0.5s5315.3 x 5733.53正常x - 0.5s x x + 0.5s5733.5 x 6430.54偏涝x + 0.5s x x + 1.1s6430.5 x x + 1.1sx 6848.7表219612000年小金站年降水量及对应状态年份降水量mm状态年份降水量mm状态19615570219816362319625808319826470419636228319835606219645579

18、2198469185196568555198561453196646221198649221196750371198765894196857232198871375196968064198957913197057473199073915197162703199162943197249461199263093197361023199370005197465644199461233197552451199567834197669765199656282197758173199747741197860313199860603197959583199968444198068344200054042在进

19、行年降水量的叠加预测时，主要利用步长为14的概率转移矩阵进行计算。转移矩 阵P（丘的第i行第j列元素表示由状态i经k步转移至状态j的概率。经计算，可得到步 长为14的各概率转移矩阵如下：步转移矩阵1/61/62/61/61/61/501/51/52/52/151/155/155/152/151/73/72/701/71/605/600二步转移矩阵01/61/63/61/61/504/5002/154/155/152/152/151/602/61/62/62/602/61/61/6三步转移矩阵1/61/63/61/602/51/51/51/502/1404/144/144/141/61/63/6

20、01/602/62/61/61/6四步转移矩阵003/502/51/52/501/51/53/142/145/143/141/141/603/61/61/61/602/61/61/6计算得状态均值向量（由各状态上下限值求均值得到，状态1的下限和状态5的上限分别取序列值的最小值和最大值）为：a = 4968.7,5524.4,6082.0,6639.6,7119.9。根据（m）19972000年降水量所处状态，分别取出相应步长的状态转移矩阵的对应行向量，与均值向量a 作内积得到该步长时2001年的降水量预测值，将不同步长转移矩阵求得的预测值进（m）行叠加平均，即可得到2001年降水量的最终预测值

21、（表3）。由表3可知，利用叠加马尔科 夫链方法预测的2001年降水量为6399mm，与实际观测量6795相比，相对误差为-5.8%,可 认为年降水量的预测较为接近真实情况。表32001年降水量预测年份状态步长预测值（mm）199714649719983363791999426335200021638620016399在年降水量序列中，加入2001年的实际观测值，同时去掉1961年降水量值，保持序列长 度为40年，可得到2002年的年降水量预测值。2002年降水量预测过程:表4年降水量状态分级2状态级别分级标准降雨量/mm1偏旱x x - 1.1sx 5340.92旱x - 1.1s x x -

22、 0.5s5340.9 x 5761.73正常x - 0.5s x x + 0.5s5761.7 x 6463.04偏涝x + 0.5s x x + 1.1s6463.0 x x + 1.1sx 6883.8表519622001年小金站年降水量及对应状态年份降雨量状态年份降雨量状态196258083198264704196362283198356062196455792198469185196568554198561453196646221198649221196750371198765894196857232198871375196968064198957913197057472199073

23、915197162703199162943197249461199263093197361023199370005197465644199461233197552451199567834197669765199656282197758173199747741197860313199860603197959583199968444198068344200054042198163623200167954步转移1/61/62/61/61/61/601/61/21/62/141/144/145/142/142/84/81/801/801/65/600二步转移01/61/63/61/62/51/52/5

24、001/144/145/143/141/142/802/82/82/81/502/51/51/5三步转移1/62/62/61/602/502/51/502/1403/146/143/141/72/73/701/701/52/51/51/5四步转移01/62/61/61/61/52/502/503/132/135/132/131/131/703/72/71/71/502/51/51/5均值向量 4981.445551.276112.326673.377137.38表62002年降水量预测年份状态1 R 步长预测值1998345930.21999435936.92000225547.82001415677.220025773.0对比实测结果可知，叠加马尔可夫链方法能较好预测年降水量，对于大旱或大涝年份 预测结果会出现较大误差，但是由于马尔可夫链的自我调整能力，某年的预测误差不影响 下一年的预测，故而具有很强的实用性，不足的地方需要我们不断改进，以获得更好的结 果。