构建公式模型

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1、构建公式模型，实现“原理”简约化一我这样教学抽屉原理的第1 课时2011-06-28 20:58:41|分类：典型教案篇|举报|字号订阅构建公式模型，实现“原理”简约化我这样教学抽屉原理的第1课时湖北省襄阳市保康县二堂八一希望小学 宋 瑜设计背景自己上过、也曾听过其他教师执教抽屉原理一课。在该内容的教、学中， 学生往往很难透彻理解 “总有、至少”的意思。而教师为了让学生明白其意思、 掌握其求法，可谓是“想千方设百计”。尽管如此，学生却依然“雾里看花”，而导 致教师“愁在心头”。为此，我一直在思索、寻求一种能把这节课上的轻松、简明 易懂的方法。现将自己的教学实践与所思浅呈出来，与同行探讨。教材简

2、析：抽屉原理是人教版课标操作教材六年级下册p70-p73页数学广角内容， 它主要研究的是与“存在性”有关的一类数学问题，如3名学生中，一定有2名学 生同一个性别；367 名学生过生日，一定有 2 个或 2 个以上的同学在同一天过生 日在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不 需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物 体（或人）找出来。这类问题依据的理论，就称之为“抽屉原理”。教材这部分内容由3个例题和一个练习组成，分3课时完成（根据实际情 况也可划分为2课时）。它借助3个例题呈现了抽屉原理的2种基本形式：【原理1】如果把a+1只鸽子分成a个

3、笼子，那么不管怎么分，都存在一个 笼子，其中至少有两只鸽子。【原理2】如果有a个笼子，Ka+1只鸽子，那么不管怎么分，至少有 一个笼子里有 K+1 只鸽子。具体编排如下：通过课时主题图可以看出：教材编排十分注重以“操作、观察、交流、推理、 表述”等学习方式，引导学生经历“数学证明”的过程，理解“抽屉原理”隐藏和蕴含 的数学方法，培养“模型”思想，在建模过程中引导学生学会用一般性的数学方法 思考问题，发展学生解决问题的能力。认知基础分析：在日常生活中，在学生的身边， “抽屉原理”的应用例子很多。除了前面提到 的，还有，如：把3个足球放进2个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子至少 放进2个或2个以上

4、的足球。又如：任意1 3个人中,至少有2个人或2个以上 的人是在同一个月份出生的。可见，这类问题在学生现实生活中是有一定感性经 验的。教学内容：六年级下册第五单元数学广角p70-p72:例1、例2教学目标：1 、在具体情境中感知“抽屉原理”的存在与应用。2、从具体问题情景的结果分析入手，引导经历“抽屉原理”的探究过程，理 解“总有和至少”的意思，掌握“至少数”的求法。3、通过操作、观察、推理、交流、表述等学习活动，发展学生的推理能力， 构建公式模型，渗透建模思想。4、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，通过“抽屉原理”的灵活应用感受数 学的魅力。教学重难点：理解“总有和至少”的意思、构建公式模

5、型求“至少数”教具准备：课件、 3 个文具盒、 4 支铅笔教学过程一、开门见山，宣读课题，引出内容出示课题： “抽屉”师：认识这两个字吗？我们一起大声读出它。问：在生活中，抽屉是用来干什么的？（装东西）师：对，抽屉是用来装东西的，不过，生活中除了抽屉，能装东西的容器还 有很多，那装东西的事件里面隐藏着什么学问呢？这节课我们就一起来研究“抽 屉原理”。【板书：原理】教学思考：“抽屉”是学生非常熟悉的物体，生活中见的多，用的多。开课和 学生齐读课题，然后用简洁的语言说明抽屉的作用，以“装东西的事件里面隐藏 着什么学问呢？”宣布探究内容。由于好奇，学生会质疑：抽屉还有学问？这种“熟 悉而又陌生”、“

6、一知还有不解”的心理会促使学生产生强烈的继续探究欲望。二、操作验证，经历过程，发现规律1、实物操作，初次感知“总有、至少”把3 支笔装进 2 个笔筒。（1）动手分一分，看看有几种不同的分法。（2）指名边演示、边口述、边课件显示：问：谁看清楚了每种分法他是怎样拿、放铅笔的？边说边做给大家看。生 1 ：第一种是一次拿 3 支放到第一个笔筒里。生 2 ：第二种是先拿 2 支放到第一个笔筒里，再把剩下的 1 支放到第二个笔 筒里。师：第二种情况还有不同的拿、放方法吗？生：先把每个笔筒各放 1 支，然后再把剩下的 1 支放进其中的一个笔筒。随生的回答，板书图示师：引导学生看图这种拿放方法，可以让我们一目

7、了然的看出：3 支铅笔放进2个笔筒，不管怎么装，总有一 个笔筒会装进 2 支铅笔。板书：总有问：“总有”是什么意思？生：就是一定会有的意思。课件显示师：引导学生看图通过分的结果可以看出：把3 支铅笔装进 2 个笔筒，虽 然分法不同，拿、放的过程不同，但是不管怎么分，每种分法中总有一个笔筒会 装进2 支或 2 支以上的铅笔。这时，我们就说：“3 支铅笔装进 2 个笔筒，不管 怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2 支铅笔。”【课件显示表格，并完善内容（师在“总有”、“至少”下面加着重号，以强调引起重视）】待分物品要分的份数操作结论3支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。教学思考：

8、从最小数据开始操作研究，便于让学生简洁、明了的经历不同 的拿、放过程,使学生“一看就懂”，为正确理解“至少”作铺垫；同时体现数学建模 简约性原则。2、勾忆“平均分”，切入新知“生长点”把4 支铅笔装进 3 个笔筒。（1）动手分一分，看看有几种不同的分装法，说一说，你是怎么拿的。（2）全班交流：指名边演示，边口述，教师根据交流有序显示不同的分法师：在这些分法中，你能发现什么吗？生 1 ：第三种两个笔筒都装了 2 支，一样多。生 2 ：第三种、第四种分法中，都有一个笔筒装了 2 支。生 3 ：第一、二种分法中，有一个笔筒的铅笔数都多于 2 支。 师：谁能综合表述一下这些同学的发现？生：把4 支铅笔

9、装进 3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒会装进2 支或 2 支以上的铅笔。师：说得真好。这时，我们就可以说：把 4 支铅笔装进 3 个笔筒，不管怎 么分，总有一个笔筒至少会装进 2 支铅笔。师边说边完善表格里的内容待分物品要分的份数操作结论3支铅2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。笔4支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。师：刚才有同学们提到了“一样多”这几个字，你能根据这几个字联想起我们 学过的什么知识吗？生：在除法中，每份分的一样多，就是平均分。 板书：平均分师：那我们能把 4 支铅笔平均分到 3 个笔筒吗？会遇到什么问题？学生操作，指名演示给大家看。生

10、：我先把每个笔筒各放进1 只，但是还余下了1 支铅笔。然后把余下的1 支铅笔在放进其中任意一个笔筒。师：是这样吗？随着学生的操作表述，师用图示板书： 9 吒（余师：引导学生看图示这种先平均分总数，再分余数的方法，我们一目了然 就可以看出：“4 只笔装进 3 个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2 支铅笔”。完善板书： 水余下的1支不管放进哪个笔筒， 订余）总有一个笔筒至少会裝进2支铅笔。教学思考:教学中要善于捕捉学生学习活动中出现的与探究新知有利的一切 资源，以促进教学目标的有效达成。如：这一环节，学生动手摆放铅笔后，发现、 交流：有2 个笔筒装的一样多，都是2 支。此时，我抓住“一样

11、多”这个词，引导 学生联想到“平均分”时，每份要分的“一样多”，从而诱导学生发现 4（2、1、1）这种分法不仅可以 2 支、1 支、1 支的拿，还可以先1 支、1 支、1 支的拿，然 后再装余下的 1 支。最后再借助简明的图示表述不同的分法，把学生的“逐次罗 列” 繁琐思维慢慢转移到“平均分”的简洁思维上来，为后面构建公式模型作铺 垫。3、自主合作，再次感知、理解“至少”的意思把5 支铅笔装进 3 个笔筒。（1）同桌合作：动手分，用“塔式”分解法记录出所有不同的分装法，说一 说你们的发现。建议：罗列时注意有序操作和记录（2）全班交流：指名投影展示记录的分法。教师板书_ 一师：罗列出所有的不同分

12、法，我们把这种方法称为“枚举法”。板书：枚举法对比观察罗列出的分法，你有什么发现？生 1 ：我发现每种分法中都有一个笔筒装进了 2 支或 2 支以上的铅笔。生2：我发现每种分法中，笔筒中装得最多的支数分别是5、4、3、2支。 师板书：最多 （并用圆圈圈出 5、4、3、2）师：在每种分法中，你发现了哪个笔筒中铅笔支数最多，那在这些最多的支 数中，谁又是最少的呢？生：2 支最少。 师：板书：最少（再次用方框圈出 2）师：像我们刚才这样，在罗列的所有分法中，先找出每种分法中笔筒装铅笔 的最多数，然后再找出的最多数中的最少数，这个数就是我们要认识的“至少” 数。板书：至少师：现在，能用自己的话说一说什

13、么是“至少”吗？生：就是先找最多，然后在最多的数中再找最少，这个数就是至少。师：谁听清楚了？谁还能和他说的一样好？指多名学生说师：“至少”数，我们可以这样精要、简明的说它是“最多的最少”。完善板书：最多中的最少生 3 ：我还发现“2 、2 、1” 的分法，可以用“ 平均分 ” 的方法分。也就是先每个 笔筒各放1 支，然后把余下的 2 支再平分到任意的 2 个笔筒中。随生的交流， 板书图示飞i余下的2支再平分到任意的2个笔筒中 足（、余 总会有一个笔筒中至少装进2支铅笔.师：通过这种分法，我们可以较快的知道：“5支铅笔装进 3 个笔筒，不管 怎么装，总有一个笔筒至少会装进 2 支铅笔”。这种先平

14、均分，再平分余数的方 法，我们称为“假设法”，当待分的物品数较大时，用“假设法”更简便。板书：假 设法问：通过刚才的分析，我们可以得出什么结论？生：把“5 支铅笔装进 3 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进 2 支 铅笔”。完善表格待分物品要分的份数操作结论5支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔。教学思考：“至少”到底是什么意思？这是理解抽屉原理的难点和关键点，在 以往的教学经验中，学生认为“至少”就是“最少”。如果用单纯的讲解是很难让学 生明白的。为了突破这个难点，我以教材为指针，给学生提供充分的实验操作、 自主合作、发现交流机会，引导学生充分经历“枚举法”：找“最

15、多中的最少”；“假 设法”：先平均分总数，再平均分余数等探究活动，让学生在具体、清晰的拿、 放操作中，在简明形象的图示观察中，充分经历知识的构建过程，逐步实现思维 由具体形象到抽象的过渡，透彻理解“至少”的含义，有效突破教学重难点。4、寻找规律，构建公式模型求解“至少数”把“5 支铅笔装进 2 个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进几支铅 笔？师：请同桌合作：分一分、写一写、想一想、说一说,用刚才的方法尝试着 得出结果。生尝试探究后交流。生 1 ：“5 支铅笔装进 2 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进 3 支铅 笔”。生 2 ：我同意他的结论。师：说说你是怎样得出这个答案的？生1：

16、我先把2个笔筒都放进2 支，再把余下的1支放进其中任意一个笔筒， 就发现，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进 3 支铅笔。 随生的回答，板书 图示师：这位同学用的是“假设法”，先把 2 个笔筒各装进 2 支，这样就装进了 4 支，然后再把余下的放进其中一个笔筒。所以得出：“5 支笔放进2 个笔筒，不 管怎么分，总有一个笔筒至少装进 3 支铅笔”。还有不同的方法吗？生 2：我用的是枚举法，我发现在每种分法中，最多的支数分别是 5、4、3 支，在5、4、3 中，最少的是3 支，所以我知道“5 支铅笔装进 2 个笔筒，不管 怎么放，总有一个笔筒至少装进 3 支铅笔”。 随生的回答，板书图示师：条理很清

17、晰，现在我们可以在表格中填上自己的发现了。完善表格5支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进3支铅笔。5、对比、感受优化的方法师：现在我要考考同学们，看谁能够又快又对的答出我的问题！借助表格 依次显示待分物品分的份数操作结论我的发现7支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进？ 支铅笔。8支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进？ 支铅笔。15支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进？ 支铅笔。25支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进？ 支铅笔。65支铅笔8个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进？ 支铅笔。生 1 ：7支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一

18、个笔筒至少会装进4 支铅笔。生2：8支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进3 支铅笔。生3：15支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进4 支铅笔。生4：25支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进7 支铅笔。生 5 ：65支铅笔8个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进9 支铅笔。师：你们用什么方法判断的这么快？生：用“先平均分，再分余数”方法。问：有同学用“枚举法”吗？为什么不用“枚举法”？生：铅笔的总支数太多了，不管是画图分析，还是用塔式法记录，都要写很 多，也很费时间。师：是啊，当待份物品数量较大的时候，用枚举法就比较麻烦，而用“假设 法”就非常简便，比如把

19、65 支铅笔，装进8个笔筒，我们先假设每个笔筒各放进 8 支，这样就装进了 64 支铅笔，还余 1 支，把它放进 8 个笔筒中的任意一个笔 筒中，这样就能很快知道：不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 9 支铅笔。教学思考：枚举法是直观形象的让学生知道“至少”的来历，当数据较大时， 再用枚举法就显得麻烦。因此枚举法还兼带着“抛砖引玉”的作用：引出假设法。假设法是解决该类问题的优化方法，也正是我们应该渗透给学生的思想方法。学生在对比中自然会感知到假设法的简明优越性，进而，不难发现“商+1”的规律。6、探究“至少”的形成过程，构建公式模型师：我们已经会正确求解“至少”数，和同桌一起观察表中的结论，说

20、一说“至 少”数是怎样得来的？有没有更简便，更优化的方法得出“至少”数？生讨论交流。待分物品分的份数操作结论我的发现3支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2 支铅笔。4支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2 支铅笔。5支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进2 支铅笔。5支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进3 支铅笔。7支铅笔2个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进4 支铅笔。8支铅笔3个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进3 支铅笔。15支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进4 支铅笔。25支铅笔4个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会

21、装进7 支铅笔。65支铅笔8个笔筒不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进9 支铅笔。生1：我发现“至少”数可以用除法来计算。比如第一题用“32= 1 （支）1 （支），再用 1+1=2”，就知道了总有一个笔筒至少会放进2支铅笔。第二题用 “4一3= 1 （支）1 （支），再用1+1=2”，就知道了总有一个笔筒也至少会放 进2 支铅笔。师：他的发现对不对呢？我们一起用他的方法在本上写一写，算一算。生写后，展示。课件完善板书5-3= 1 （支）.2 （支）1+1=25-2= 2 （支）.1 （支）2+1=37-2= 3（支） .1 （支）3+1=48-3= 2（支） .2 （支）2+1=315-4=

22、3（支） 3 （支）3+1=425-4= 6（支） 1 （支）6+1=765-8= 8（支） 1 （支）8+1=9问：计算的结果与表中的结论相同吗？关于“至少”数的求解方法，你有新发 现吗？生 1：我发现“至少”数可以用我们以前学过的有余数的除法计算得到。生2：我发现了“至少”数，就是用计算出的“商加上1”。板书：商+1师：同学们真是善于观察、善于思考、善于总结。综合2 个同学的回答，你 能用关系式表示出“至少”数的求解方法吗？生1：被除数-除数=商 余数 至少数=商+1生2：待分物品数*要分的份数=每份数余数 至少数=每份数+1师：这两位同学的方法都很好。他们总结的方法可以帮助我们解决生活中

23、类似的许多问题。三、联系实际，拓展运用，巩固方法看谁说的又快又好。（1）23 个梨分给7个人，至少有几个梨要分给一个人？（2）在任意 13 人中，至少有2 个人的生日在同一个月,想一想，这是为什 么？（3）31 个同学做课间操要站成4行，总有1行至少要站几个人？（4）一副扑克牌，去掉大小王，在 52 张牌中任意抽出 5 张，至少有 2 张 牌的花色是一样的，为什么？（5）六（一）班 54 个同学，要分成4 组，不管怎么分，总有一个组至少 要做几个同学？教学思考：思想方法是数学学习的灵魂和精髓。所谓思想，是指对数学知 识和方法本质及其规律的认识；所谓方法，是指解决数学问题的根本策略和程序， 它是

24、数学思想的具体化反应。教学中，做为教师应“授之以渔”，教会学生用一个 方法，解决多个问题，培养他们“迁移类推、举一反三、活学活用”的能力。因此， 每一节课我都十分注重引导学生观察、发现、总结知识的规律、解决问题的方法， 如本节课，借助有余数的除法，引导学生用操作、观察、图示、表格等方法构建 解决“抽屉原理”问题的公式模型，就显的比较简明易懂；让学生遇到这类问题， 觉得“有据可依”！当学生能够利用“商+1”的规律快速判断出至少数是几时，说明 方法已经理解掌握，“模型”已经存在于他们的脑海了。四、抓住重点，精要交流，余味课外师：把你认为在本节课中最重要的知识、认为理解最好的知识或还有疑惑的 知识说

25、给同学们听！生 1 ：我认为最重要得就是找至少数。我知道可以用枚举法找至少数，首先 把所有的分法都罗列出来，然后找出每种分法中最多的数，最后在找出的最多的 数中再找到最少的数，就是“最多中的最少”。生 2：我知道用除法就可以很快找到 “至少数” 。生 3：我知道 “至少数”的意思，就是在分人或分物品的时候，先平均分，然 后把余数再平均分，至少数就是两次平均数的和。【板书：两次平均分】生 4：我知道求 “至少数”就是用“商+1”。师：关于“至少数”的相关问题，早在 19 世纪，就有德国数学家迪里赫莱进 行了研究，后来他把发现的规律、方法进行了总结，推广，并运用于解决其它数 学问题，也就是我们今天

26、学习的内容：抽屉原理，因为是他最先发现研究的，所 以又称为“迪里赫莱原理”，也被称为“鸽巢原理”。希望同学们在生活中也学会用数学的眼光观察问题、发现问题、思考问题， 相信会有更多的原理出现！教学思考：在教学中，艺术的导入和精彩的讲授可以描绘出课堂知识的大 体轮廓，使教学有其形；而课尾的总结，围绕重难点简明、精要的回味却犹如“画 龙点睛”，不仅有助于学生理清知识结构，沟通内在联系，巩固理解知识，强加 技能方法，还可首尾呼应，保持教学结构的完整性，促进教学过程更完美，余味 课外。课后反思：曾看到一位个老师发表了把数学教的简单些的文章，原文这样写道：我 认识的一位数学老师，每次听他的课，总觉得时间过

27、的很快，问起他的学生，学 生也有这种感觉，而且都说，老师讲的很简单，很好懂。尽管如此，他教的班级 数学成绩却总是最好的。于是，我向这位老师讨教上课的诀窍，这位老师说的很 简单：“数学本身是复杂的，老师应该讲的简单一些。”这段话引起我强烈的 共鸣：学生缺少生活问题的处理经验，他们很难把数学学习与生活问题联系沟通 起来，脱离具体的实例情景研究问题，无异于“隔山打牛”难上加难！数学本身就 是抽象、深奥的，若不把它讲的简明一些，自然一些，我们的学生怎能明白和理 解？这个观点深深的影响着我，并一直促使我在教学中换位思考着、探索着、改 进着教学方法。抽屉原理一课，几年来我自己讲过也曾听其他老师讲过，可 教

28、学效果一直不如想象中的完美。经过多次的思考和尝试我认为：以“有余数的 除法”作为新知教学的生长点，从小数据“分铅笔”开始，引导学生充分实践操作， 通过观察、发现、交流、描述、总结等活动，把“抽屉原理”问题转化为一般的“数 量问题”，把发现的方法和规律形成一个明确的关系、公式，对学生而言，在解 决此类问题时“有据可依”，似乎简单一些。经历了这一次教学思考，我深切感受到：要想收获理想的教学效果，教师首 先必须在课前做到“博览群书”，装满自己的“一桶水”，对所教知识理清“来龙去脉”； 其次，必须充分研究学情，清楚学生的已知和未知，估计他们学习的 “障碍点”， 并依此思考探究新知的“切入点”，为他们解决“障碍”找到最有效的途径；再次， 必须采用操作验证、合作交流、发现总结多种学习方式、方法，和多媒体手段辅 助教学，让学生充分经历知识的构建过程；最后，必须关注和巧妙处理课堂教学 中的细节，才能收获成功；如：关键点、重难点的简明板书，要在恰当时机快速 出现；学生交流中的关键字、词，要认真倾听，启发联想；不同的观点、重要的 发现、精要的总结等等，都应让不同的学生重复、转述、用自己的话表达，依次 巩固理解、体现主体这一些的教学活动都需要教师细心发现，灵活处理。 上好一节课是不容易的，但是只要我们不断的思考，不断的改进，我相信能把课 上的更好！