52边界层换热微分与积分方程

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1、Heat Transfer传热学传热学 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future!5 对流换热分析对流换热分析 建筑环境与设备工程专业主干课程之一建筑环境与设备工程专业主干课程之一!Chapter5 The Analysis of Convection Heat TransferL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering本章内容要求：本章内容要求：v重点内容：对流换热及其影响因素；牛顿冷却重点内容：对流换热及其影响因素；牛顿冷却公式；用分析方法求解对

2、流换热问题的实质；公式；用分析方法求解对流换热问题的实质；边界层概念及其应用；相似原理；无相变换热边界层概念及其应用；相似原理；无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。的表面传热系数及换热量的计算。v掌握内容：对流换热及其影响因素；用分析方掌握内容：对流换热及其影响因素；用分析方法求解对流换热问题的实质。法求解对流换热问题的实质。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5-2 边界层换热微分与积分方程边界层换热微分与积分方程一、边界层概念一、边界层概念层流底层层流底层过渡层过渡层u湍流湍流过渡流过渡流层流层流c

3、xyx L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering1.1.物理现象物理现象 当粘性流体在壁面上流动时，由当粘性流体在壁面上流动时，由于粘性的作用，在贴附于壁面的流体速度实际于粘性的作用，在贴附于壁面的流体速度实际上等于零，在流体力学中称为贴壁处的无滑移上等于零，在流体力学中称为贴壁处的无滑移边界条件。边界条件。2.2.实验测定实验测定 若用仪器测出壁面法向（若用仪器测出壁面法向（y y向）的速向）的速度分布，如上图所示。在度分布，如上图所示。在y=0y=0处，处，u=0u=0；此后随；此后随增大，也增大。经过一个

4、薄层后接近主增大，也增大。经过一个薄层后接近主流速度。流速度。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3.3.定义定义 这一薄层称为流动边界层（速度边这一薄层称为流动边界层（速度边界层），通常规定：界层），通常规定：（主流速度）（主流速度）处的距离处的距离 为流动边界层厚度，记为为流动边界层厚度，记为 。0.99uuy 4.4.数量级数量级 流动边界层很薄，如空气，以流动边界层很薄，如空气，以 掠过平板，在离前缘掠过平板，在离前缘 处的边处的边界层厚度约为界层厚度约为 。16/um s1m5mmL o g oL

5、 o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5mm3200/m s16/m s5.5.物理意义物理意义 在这样薄的一层流体内，其在这样薄的一层流体内，其速度梯度是很大的。在速度梯度是很大的。在 的薄层中，气的薄层中，气流速度从流速度从 0 0 变到变到 ，其法向平均变，其法向平均变化率高达化率高达 。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineeringxuy 根据根据牛顿粘性定律牛顿粘性定律，流体的剪应力与流体的剪应力与垂直运动方向的速度梯度成正比垂直运动方向

6、的速度梯度成正比，即：，即：式中：式中：向的粘滞应力；向的粘滞应力；动力粘度动力粘度 。x x2N mkg m s L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering6.6.掠过平板时边界层的形成和发展掠过平板时边界层的形成和发展cxu(1)(1)流体以速度流体以速度 流进平板前缘后，边界层逐渐增厚，但流进平板前缘后，边界层逐渐增厚，但在某一距离在某一距离 以前会保持以前会保持层流层流。(2)(2)但是随着边界层厚度的增加，必然导致壁面粘滞力对但是随着边界层厚度的增加，必然导致壁面粘滞力对边界层外缘影响的减弱。自边界层外

7、缘影响的减弱。自 处起，层流向湍流过渡（处起，层流向湍流过渡（过过渡区渡区），进而达到旺盛湍流，故称），进而达到旺盛湍流，故称湍流边界层湍流边界层。cxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering (3)(3)湍流边界层包括湍流边界层包括湍流核心湍流核心、缓冲层缓冲层、层流底层层流底层。在层。在层流底层中具有较大的速度梯度。流底层中具有较大的速度梯度。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering7.7.临界雷诺数临界雷诺数 运动粘度运动

8、粘度 ；动力粘度动力粘度Reccu x 2ms v采用临界雷诺数采用临界雷诺数 来判别层流和湍流。来判别层流和湍流。v对管内流动：对管内流动：为层流为层流 反之反之 为湍流为湍流v对纵掠平板：对纵掠平板：一般取一般取 Re2300c5Re5 10cRecL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering8.8.小结小结 综上所述，流动边界层具有下列重要特性综上所述，流动边界层具有下列重要特性(1)(1)流场可以划分为两个区：流场可以划分为两个区：NS (b)(b)主流区主流区边界层外，流速维持边界层外，流速维持 不变，流

9、动可以作为理想流体的无旋流动，不变，流动可以作为理想流体的无旋流动，用描述理想流体的运动微分方程求解。用描述理想流体的运动微分方程求解。u (a)(a)边界层区边界层区必须考虑粘性对流动的必须考虑粘性对流动的影响，要用影响，要用 方程求解。方程求解。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering(2)(2)边界层厚度与壁面尺度相比，是一个很边界层厚度与壁面尺度相比，是一个很 小的量小的量 。l 0.5/1.13um slmcm 0.4/1.13um slmcm L o g oL o g o建筑工程系 The Depa

10、rtment of Construction Engineering(3)(3)边界层分：边界层分：v 层流边界层层流边界层速度梯度较均匀地分布于全层。速度梯度较均匀地分布于全层。v 湍流边界层湍流边界层在紧贴壁面处，仍有一层极薄层保持层在紧贴壁面处，仍有一层极薄层保持层流状态，称为层流流状态，称为层流 底层。底层。v 速度梯度主要集中在速度梯度主要集中在层流底层层流底层。(4)(4)在边界层内，粘滞力与惯性力数量级相同。在边界层内，粘滞力与惯性力数量级相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering9.热边界层

11、热边界层 yx等温流动区等温流动区温度边界层温度边界层 t ,0wtt,utL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 由于速度在壁面法线方向的变化出现了流动由于速度在壁面法线方向的变化出现了流动边界层，同样，当流体与壁面之间存在温度差时，边界层，同样，当流体与壁面之间存在温度差时，将会产生将会产生热边界层热边界层，如上图所示如上图所示。在在 处，流体温度等于壁温处，流体温度等于壁温 ，0ywt t 0wtt L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction E

12、ngineering 当流体流过平板而平板的温度当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度与来流流体的温度t不不相等时，在相等时，在壁面上方形成的温度发生显著变化的薄层，壁面上方形成的温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层常称为热边界层。称为称为热边界层的厚度热边界层的厚度。v热边界层以外可视为等温流动区（主流区）。热边界层以外可视为等温流动区（主流区）。t L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering边界层边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化概念的引入可使换热微分方程组得以简化:1.数量级分析数量级分析

13、：比较方程中各量或各项的量级比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化。那些量级小的项，方程大大简化。二二.边界层换热微分方程组边界层换热微分方程组例：二维、稳态、例：二维、稳态、层流、层流、忽略重力忽略重力L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering2.52.5个基本量的数量级：个基本量的数量级：主流速度：主流速度：温度：温度：壁面特征长度：壁面特征长度：边界层厚度：边界层厚度：x x 与与 l l 相当，即：相当，即：);1

14、(0u);1(0t);1(0l)(0 );(0t);1(0 lx)(0 0yyL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3.边界层中二维稳态能量方程式的各项边界层中二维稳态能量方程式的各项数量数量级级可分析如下：可分析如下：ttttuvaxyxxyy数量级数量级1111111 111121L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering2222ttxy由于由于 因而可以把主流方向的二阶导因而可以把主流方向的二阶导数项数项 略去于是得到略去

15、于是得到二维、稳态、无内二维、稳态、无内热源的边界层能量方程热源的边界层能量方程为：为：22tx22tttuvaxyyL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 于是得到二维、稳态、无内热源的边界层换热微分于是得到二维、稳态、无内热源的边界层换热微分方程组：方程组：连续性方程连续性方程动量守恒方程动量守恒方程能量守恒方程能量守恒方程0yvxu22tttuvaxyy221ttdpuuvxydxy L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineeri

16、ng4.上述方程的上述方程的定解条件：定解条件：00,0,wyuvttyuutt时对于平板，分析求解上述方程组（此时对于平板，分析求解上述方程组（此时 )可得可得局部表面传热系数的表达式局部表面传热系数的表达式（层流范围）：（层流范围）：0dpdxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering11230.332xu xhxa 3121332.0axuxhx3121PrRe332.0 xxNu特征数方程特征数方程或准则方程或准则方程L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Constr

17、uction Engineering式中：式中：xhNuxx努塞尔努塞尔(Nusselt)数数xuxRe雷诺雷诺(Reynolds)数数aPr普朗特数普朗特数一定要注意上面准则方程的适用条件：一定要注意上面准则方程的适用条件：外掠等温平板、无内热源、层流！外掠等温平板、无内热源、层流！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5.5.与与 t t 之间的关系之间的关系对于外掠平板的层流流动对于外掠平板的层流流动:22ytaytvxtu此时动量方程与能量方程的形式完全一致此时动量方程与能量方程的形式完全一致:0 ,

18、dxdpconstu22 yuyuvxuu动量方程：L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering表明：表明：此情况下动量传递与热量传递规律此情况下动量传递与热量传递规律相似。相似。特别地：特别地：对于对于 =a a 的流体（的流体（Pr=1Pr=1），），速度场与无量纲温度场将完全相似，这是速度场与无量纲温度场将完全相似，这是Pr=1Pr=1的另一层物理意义：的另一层物理意义：表示流动边界层表示流动边界层和温度边界层的厚度相同。和温度边界层的厚度相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Departme

19、nt of Construction Engineering三、三、边界层积分方程组的求解边界层积分方程组的求解1.1.边界层积分方程边界层积分方程v19211921年，冯年，冯卡门提出了边界层动量积分卡门提出了边界层动量积分方程。方程。v19361936年，克鲁齐林求解了边界层能量积年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。分方程。v近似解，简单容易。近似解，简单容易。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 用边界层积分方程求解对流换热问题的基用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想本思想:(1)(1)建立边

20、界层积分方程建立边界层积分方程 针对包括固体边界针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；积；(2)(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；常用的函数形式为多项式；L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering(3)(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，积分方程，解出解出 和和 的计算式；的计算式

21、；(4)(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的：体边界上的：Nucytyufyy和及00tL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering2.2.边界层积分方程的推导边界层积分方程的推导将边界层能量微分方程式对将边界层能量微分方程式对如图如图5-155-15所示所示的任意截面做的任意截面做 到到 的积分：的积分：0y y 22000tttudyvdyadyxyy（a a）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction E

22、ngineering根据边界层的概念，根据边界层的概念，时时 ，因而在该处因而在该处 ，tytt0tx0ty，则有：则有：220ty22000ttttttudyvdyadyxyy（b）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering其中：其中：0000ttttttvvvdyvttdyv ttdyyyy（c c）为了导出仅包括速度的方程，把（为了导出仅包括速度的方程，把（c c）式中）式中的的 项及项及 项通过连续性方程进行转换项通过连续性方程进行转换vytv00ttvudydyyx 00tttvuvdydyyx（d d

23、）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering将（将（d d）式代入（）式代入（c c）式：）式：000ttttuuvdytdytdyyxx（e e）对式（对式（b b）中的扩散项积分：）中的扩散项积分：220000tttyyytttttadyaaayyyyy（f）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering将式（将式（e e）（）（f f）代入式（）代入式（b b），得：），得：0000tttytuutudytdytdyaxxxy 等

24、号左端的三项可进一步简化为：等号左端的三项可进一步简化为：000()tttuttuutdydyututdyxxxx0()tdu ttdydxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering最后的最后的边界层能量积分方程边界层能量积分方程为：为：00()tydtu ttdyadxy 用类似的方法可以导出用类似的方法可以导出边界层动量积分方程为：边界层动量积分方程为：00()tyduu uu dydxy 两个方程，两个方程，4 4个未知量：个未知量：u,t,u,t,t t。要使方程组封闭，。要使方程组封闭，还必须补充两个有

25、关这还必须补充两个有关这4 4个未知量的方程。这就是关于个未知量的方程。这就是关于u u 和和 t t 的分布方程。的分布方程。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3.3.边界层积分方程组求解：边界层积分方程组求解：边界层中的速度分布为：边界层中的速度分布为：33122uyyu上式微分：上式微分：032yududy代入动量积分方程：代入动量积分方程：00)(yyudyuuudxd00()tyduu uu dydxy L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construc

26、tion EngineeringxxoruxRe64.464.4X X处的局部壁面切应力为：处的局部壁面切应力为：xywuxuudyduRe323.064.412320L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering在工程中常使用局部切应力与流体动压头之比这个无量在工程中常使用局部切应力与流体动压头之比这个无量纲量，并称之为范宁摩擦系数，简称纲量，并称之为范宁摩擦系数，简称摩擦系数。摩擦系数。212Re646.021xwfuc21Re292.1xfmc平均摩擦系数：平均摩擦系数：L o g oL o g o建筑工程系

27、The Department of Construction Engineering上面求解动量积分方程获得的是近似解，而求解上面求解动量积分方程获得的是近似解，而求解动量微分方程可以获得动量微分方程可以获得 的精确解，的精确解，分别为：分别为：fcandxxxRe0.521Re664.0 xfc21Re646.0 xfcxxRe64.4可见二者非常接近！可见二者非常接近！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering求解能量积分方程，可得求解能量积分方程，可得无量纲过余温度分布无量纲过余温度分布：32123ttww

28、yyttttxt213131RePr52.4026.1Pr热边界层厚度：热边界层厚度：强调：强调：以上结果都是在以上结果都是在 Pr Pr 1 1 的前提下得到的！的前提下得到的！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering局部对流换热系数：局部对流换热系数：31210PrRe332.023xtywxxyttth111133220.332Re Pr0.664Re Prxxxh xhlNuNu平均努塞尔数：平均努塞尔数：32123ttwwyyttttL o g oL o g o建筑工程系 The Department

29、 of Construction Engineering4.4.计算时，计算时，注意四点注意四点：a Pr a Pr 1 1；b b ，两对变量的差别；两对变量的差别；c cd d 定性温度：定性温度：NuNu 与hhx与5105Re2wtttL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering本节小结：本节小结：一、边界层概念：流动边界层与热边界层一、边界层概念：流动边界层与热边界层二二.边界层换热微分方程组与层流边界层对流换热的解；边界层换热微分方程组与层流边界层对流换热的解；三、三、边界层积分方程组与层流边界层对流换

30、热的积分近似解；边界层积分方程组与层流边界层对流换热的积分近似解；L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering二维、稳态、层流、无内热源的边界层换热微分方程组：二维、稳态、层流、无内热源的边界层换热微分方程组：连续性方程连续性方程动量守恒方程动量守恒方程能量守恒方程能量守恒方程0yvxu22tttuvaxyy221ttdpuuvxydxy L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering式中：式中：xhNuxx努塞尔努塞尔(Nusselt)

31、数数xuxRe雷诺雷诺(Reynolds)数数aPr普朗特数普朗特数一定要注意上面准则方程的适用条件：一定要注意上面准则方程的适用条件：稳态、无内热源、层流！稳态、无内热源、层流！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5.5.与与 t t 之间的关系之间的关系对于外掠平板的层流流动对于外掠平板的层流流动:22ytaytvxtu此时动量方程与能量方程的形式完全一致此时动量方程与能量方程的形式完全一致:0 ,dxdpconstu22 yuyuvxuu动量方程：L o g oL o g o建筑工程系 The Dep

32、artment of Construction Engineering表明：表明：此情况下动量传递与热量传递规律此情况下动量传递与热量传递规律相似。相似。特别地：特别地：对于对于 =a a 的流体（的流体（Pr=1Pr=1），），速度场与无量纲温度场将完全相似，这是速度场与无量纲温度场将完全相似，这是Pr=1Pr=1的另一层物理意义：的另一层物理意义：表示流动边界层表示流动边界层和温度边界层的厚度相同。和温度边界层的厚度相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction EngineeringxxRe0.521,Re332.0 xxfcv

33、 外掠平板，边界层厚度及局部摩擦系数Cf，x：111133220.332Re Pr0.664Re Prxxxh xhlNuNu31Pr/xtL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering边界层能量积分方程边界层能量积分方程为：为：00()tydtu ttdyadxy 用类似的方法可以导出用类似的方法可以导出边界层动量积分方程为：边界层动量积分方程为：00()tyduu uu dydxy 两个方程，两个方程，4 4个未知量：个未知量：u,t,u,t,t t。要使方程组封闭，。要使方程组封闭，还必须补充两个有关这还必须补

34、充两个有关这4 4个未知量的方程。这就是关于个未知量的方程。这就是关于u u 和和 t t 的分布方程。的分布方程。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction EngineeringxxoruxRe64.464.4X X处的局部壁面切应力为：处的局部壁面切应力为：xywuxuudyduRe323.064.412320L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering在工程中常使用局部切应力与流体动压头之比这个无量在工程中常使用局部切应力与流体动压头之比这个无量纲量

35、，并称之为范宁摩擦系数，简称纲量，并称之为范宁摩擦系数，简称摩擦系数。摩擦系数。212Re646.021xwfuc21Re292.1xfmc平均摩擦系数：平均摩擦系数：L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering上面求解动量积分方程获得的是近似解，而求解上面求解动量积分方程获得的是近似解，而求解动量微分方程可以获得动量微分方程可以获得 的精确解，的精确解，分别为：分别为：fcandxxxRe0.521Re664.0 xfc21Re646.0 xfcxxRe64.4可见二者非常接近！可见二者非常接近！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering111133220.332Re Pr0.664Re Prxxxh xhlNuNu平均努塞尔数：平均努塞尔数：感谢所有资料原始持有人的辛勤劳动！感谢所有资料原始持有人的辛勤劳动！部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！