方波的傅里叶分解与合成

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1、注意事项1、分解时，观测各谐波相位关系，可用本机提供的1KH2正弦波。2、合成方波时，当发现调节5KH2或7KH2正弦波相位无法调节至同相 位时，可以改变1KH2或3KH2正弦波相位，重新调节最终达到各谐 波同相位。方波的傅里叶分解与合成一.目的1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的 振幅与相位关系。2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。3、了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。二原理任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：+ 产(a cos nt + b sin nt)n=1其中：t为周期，“为角频率。“=齐第一项a为直流分

2、量。所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成：(h(0t T)2-h(- T t0)2此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为：f (t)=箜(sin t + ! sin 3 t + 上 sin 5 t + 上 sin 7t +兀3574h1=芝()sin(2n 1)t兀2n 1n =1同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：,4h(T t3T)44f (t )= 4、2h(1-2)Tf (t)=竺(sin t 一 3- sin 3 t + 5- sin 5 t 一 -7- sin 7 t +)_ 8h x

3、 ,1 产 (-1) n-1sin(2n 一 1)wr兀 2(2n -1)2n=1(a )周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在 示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正 弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。本仪器具有1KHZ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输 出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。实验线路图如图3所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的。L 般取0.1H1H范围。当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐

4、振频率为：_ 1这个响应的频带宽度以Q值来表示：Q=哽R当Q值较大时，在附近的频带宽度较狭窄，所以 实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各 次谐波分离出来。V (t) = b sin nw t图3波形分解的RLC串联电路n0这时电阻R两端电压为:如果我们调节可变电容C，在n频率谐振，我们 将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：匕(t) = I o R sin( nwt + 甲)此式中,=tg =1X , X为串联电路感抗和容抗之和 R7 =七，Z为串联电路的总阻抗。 。Z在谐振状态X=0此时，阻抗 Z=r+R+RL+RC=r+R+RL其中，r方波（或三角波）电源的内阻；R为取样

5、电阻；Rl为电感的损耗电 阻；RC为标准电容的损耗电阻。（RC值常因较小而忽略）由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，Rl的数个将随频率的增加而增 加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz7KHz范围内，阻值不随频率变 化。（b）傅里叶级数的合成本仪器提供振幅和相位连续可调的1KHz , 3KHz , 5KHz , 7KHz四组正弦波。 如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠 加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。三实验内容和使用方法A.方波的傅里叶分解1KHz sin t3KHz sin 3twwwwwy5KHz sin t1、求RLC串联电路对1K

6、Hz , 3KHz , 5KHz正弦波谐振时的电容值q、C3、 C5，并与理论值进行比较。实验中，要求学生观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。 学生可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性。表1谐振频率fi1000Hz3000Hz5000Hz实验值理论值0.253 Mf0.0280 叶0.0101 nf测量以上数据时所用电感、电容为:电感：L=0.1H00（标准电感）电容：RX7/0型十进式电容箱理论值：C =上i2、将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位。将1KHz方波输入到RLC串联电路。如图3所示。然后调节电容值至C1，C3, c5值附近，可

7、以从示波器上读出只有可变电容调在c1, C3 , C5时产生谐振，且可 测得振幅分别为b ,b ,b ；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。135实验数据如下：（供用户参考）（一）取方波频率f =1000Hz ,取样电阻R=27。，信号源内阻测量得r=6.0。电感L=0.100H。表2实验数据谐振时电容值C（吁）0.253C1和C3之间0.028C3和C5之间0.010谐振频率（KHz）1无谐振3无谐振5相对振幅（cm）6.001.800.090李萨如图与参考正弦波位相差兀N 兀vy 兀（二）取方波频率f =1000Hz，取样电阻R=500q，测得信号源内阻r=6.0q , L=1.00H。

8、从上述数据中可以看出：（1）方波傅里叶分解时只能得到1KHz、3KHz、5KHz正弦波而2KHz、4KHz、 6KHz等正弦波是不存在的。（2）电感用铜线缠绕，由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率升高而增加，因此 使3KHz、5KHz谐波振幅数值比理论值偏小，此系统误差应进行校正。表3实验数据二谐振时电容值q( R/)0.253C1和C3之间0.028C3和C5之间0.010谐振频率(KHz)1无谐振3无谐振5相对振幅(cm)6.001.600.50李萨如图Nw与参考正弦波位相差兀丸丸(3)基波和各次谐波与同一参数正弦波(1KHz)初相位关系均为兀，说明方波分解为基波和各次谐波初相位相同。3、不

9、同频率电流通过电感损耗电阻的测定。图4对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R。自己接一个如图4的串联谐振电路。测量在谐振状态时，信号源输出电压VAB和取样电阻R两端的电压VR，可计算出R广RL+RC的值。RC为标准电容的损耗电 阻，一般较小可忽略。使用频率f (KHz)损耗电阻RL1.0026。3.0034。5.0053。测量Vab、Vr电压可用示波器，也可用其它交流伏特表。4、相对振幅测量时，系统误差的校正。可用分压原理校正。若：b3为3KHZ谐波校正后振幅b，为3KHz谐波未被校正时振幅。 3RL1为1KHz使用频率时损耗电阻。Rl3为3KHz使用频率时损耗电阻。则：b : b -

10、RRl 3 + R + r对5KHz ,谐波也可作类似的校正。例：基波 1KHz,b=6.00cm谐波 3KHz，b =1.80x 34. + 22. + 6.0 = 2 07cm126.0 + 22.0 + 6.0谐波 5KHz， b =0.90 53.0 + 22.0 + 6.0 = 1 3cm526.0 + 22.0 + 6.0经校正后，基波和谐波的振幅为1： 1 ：1，与理论值符合较好。3 5B、傅里叶级数合成：1、对方波f =（sin伽 +sin 3仞 +上sin 5仞 +上sin 7仞）兀357以上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函数）合成。这一系列正弦波振幅比为1：1：1：1，它

11、们的初相位为同相。3 5 7abca、1KHz正弦波；b、1KHz、3KHz正弦波迭加;c、1KHz、3KHz、5KHz、正弦波迭加。实验步骤如下：(1) 用李萨如图形反复调节各组移相器1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波同 位相。调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波 而Y轴输入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波在示波器上显示如下波形时： /V W /VWY 输入 1KHz 3KHz 5KHz 7 KHz图5此时，基波和各阶谐波初相位相同。也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。(2) 调节 1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波

12、振幅比为 1:1:!:!。3 5 7(3) 将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，最后可看到近似方波图形。方波合成过程如图6所示。从傅里叶级数迭加过程可以得出：(1) 合成的方波的振幅与它的基波振幅比为1:1 ；兀(2) 基波上迭加谐波越多，越趋近于方波。(3) 可观察迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。思考习题：1、可有意识增加串联电路中的电阻R的值，将Q值减小，观察电路的选频效 果，从中理解Q值的物理意义。2、良导体的趋肤效应是怎样产生的？如何测量不同频率时，电感的损耗电阻？ 如何校正傅里叶分解中各次谐波振幅测量的系统误差？3、用傅里叶合成方波过程证明，方波的振幅与它的基波振幅之比为1：仕。兀