灾区物资分配模型

《灾区物资分配模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灾区物资分配模型（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、I加另就彳M A A与Shenyang Aerospace University数学模型课程结业论文灾区物资分配模型任务书要求1、将所给的问题翻译成汉语；2、给论文起个题目(名字或标题)3、根据任务来完成数学模型论文；4、论文书写格式要求按给定要求书写；5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；6、论文上交时间：6月1日前(要求交纸质论文和电子文档)。7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。任务某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾 者。物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对 每种物资的急需程度和需求量不同。(1) 你作为一名物资分配者，请制定分

2、配原则并给出合理的分配方 法。(2) 试给出一个符合题意的数值算例。成绩评定单评语：成绩任课年月日摘要在各种各样的抢险救灾行动中，应急物资的合理分配在降低灾害的影响方面体 现出重要作用。我们通过对问题的深入理解和分析，将问题归结为非线性规划问题。我们首先确立了通过合理优化救灾物资的分配使其能最大限度降低灾害的影 响为根本分配原则。接着我们根据不同物资在维持灾民正常生活中所起到的作用大小不同划定了 各物资的优先级，给定了适当的权重；接着综合考虑各个灾民所缺物资的数量、种 类、供给量及物资的权重，确定了不同灾民受灾程度的判定标准；随后对受灾情况 和物质分配情况进行了矩阵描述。在此基础上我们用救灾效

3、果表示整个救灾过程使灾情降低的程度，并假设每分 配出一个最小单位的救灾物资就相应产生一定量的救灾效果，最终整体救灾效果为 它们之和。我们又进一步假设每个最小单位救灾物资产生的救灾效果与分配物资的 权重、分配给的灾民受灾程度正相关，得到了基本的数学模型：单位物资救灾效果二该物资权重X分配给灾民的受灾程度最终救灾效果二单位物资救灾效果求和模型的约束条件由各种物资的数量有限得到。我们以最大限度减小灾害影响为 分配原则，即最大限度增强最终救灾效果，在此抽象为求解最终救灾效果在约束条 件下的最大值。其对应的最优解即为最佳分配方案。在模型求解中，我们本着最大程度地发挥各种物资效用的原则，按照物资的优 先级

4、从高到低逐一对物资进行了分配。在具体分配某一物资时，首先求得分配结果 与产生的救灾效果的函数，继而简化为有约束的多元函数最值问题，并分别采用了 MATLAB程序解法和拉格朗日乘数法。紧接着我们给出了一个具体灾情，并用量化后的模型求出最优解，通过对结果 的分析研究讨论了模型的合理性。最后，我们对模型的优缺点进行了讨论，并提出了模型的改进方案，并且对模型的 实际应用做了推广。关键词：物资分配；灾情应急；应急物资；最优分配。目录一、问题提出1二、模型建设1三、模型建立1四、模型求解4五、结果8六、结果分析与检验9七、优缺点分析9参考文献10附录11一、问题提出某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资

5、要发放给这些受灾者。物资共 有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需 求量不同。(1) 你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。(2) 试给出一个符合题意的数值算例。二、模型建设(1) 所有物资对降低灾害的贡献取决于每单位物资贡献之和。(2) 每单位物资对降低灾害的贡献与该物资的作用大小正相关。(3) 每单位物资对降低灾害的贡献与得到该物资灾民的灾情大小正相关。(4) 每种物资的供给均小于需求。三、模型建立符号含义Pi第i位灾民M j第j种物资Si第j种物资总量t ij第i位灾民短缺第j种物资的数量xj第i位灾民分配到的第j种物资的数量j第j种

6、物资的权重pi第i位灾民的受灾程度3.1物资需求状况的描述：某地区遭受灾害的一种表现形式为该地区灾民的各 种生活物资出现了不同程度的短缺。为了描述灾情即各个灾民缺少各种物资的量， 我们建立了 NXM型矩阵A：t11tA =t121M ，其中表示灾民P.缺少物资M .的量。t1- N1tNMA中数据由物资分配者通过对灾情的调查得到，均为非负常数。其中A的行向量a表示灾民p.对不同物资的需求量。a的列向量b表示整个灾区对物资M的 iijj需求量情况。3.2物资权重的说明：由于不同物资在维持灾民正常生活中的作用不同，相同 量的不同物资在减轻灾害的效用上不同。为表征物资的这一特性，我们首先将物资 化分

7、为四大类，并为其评定了优先级。优先级物资大类举例最高优先 级关键物资应急食品：方便面、矿泉水等较高优先 级基础物资衣被、棉被等中等优先 级重要物资大米、面粉、豆油等较低优先 级可替代物 资其他生活物资：帐蓬等根据物资心了所属大类及其优先级，按优先级与权重正相关的原则，给于物资 M j合理的权重j，规定1气 0。3.3受灾程度的评定：为表征不同灾民受灾严重程度的大小不同，引入函数Ji 表示灾民p.的受灾程度。受灾程度取决于短缺物资的种类和数量，同时受灾程度也 与供给物资总量有关，当物资充足，受灾程度就相应较小。假设某一时刻灾民P.已分到各物资的量为七、七尤，ii1 i 2im我们定义这一时刻Ji

8、为：J =费 X (t x )(k =K /S )1 j i i ， j j j j=13.4分配方案的描述：为了说明某一时刻分配出去物资的情况，建立了 NXM型 矩阵B：XXX11121MXB =21XijXXL N1NMX这里ij表示该时刻已分配给灾民P i物资Mj的数量。_ 其中B的行向量日表示该时刻灾民Pt已分配到各种物资的数量，B的列向量 d j表示该时刻已分配出物资Mj的情况。3.5目标函数说明：设函数y表示最终救灾效果，则目标函数为 ma X，设物资Mj的第k个单位量分配给灾民 之后产生的救灾效果为则由假设2和3可得七,j,k=1xxj乂 J (k-1)(2)当物资Mj分配该灾民

9、Pj的数量为j时，物资Mj在灾民P. 上产生的救灾X.z 效果之和为yi,j, yi,j,k。k =1(3) 物资M .全部分完后在所有灾民中产生的救灾效果之和为=Z=z Zi=1i=1 k=1=Z Z 1* J (k )i=1 k=1(4) 所有种物资分配完后，得到最终救灾效果为：y = yjj=1*N()从而 y 41XX7 x J (k-1)j=1 i=1 k=1目标函数进一步表示为：maA i j X J (k-) 1j=1 i = 1 k = 13.6约束条件：本题约束条件为：各种物资的数量有限，即物资M的分配总 量不大于其给供给总量七，通过3.4中矩阵B的列向量d，可将约束条件表述

10、为:廿si=1同时附加一约束条件：灾民Pi得到物资Mj的量不大于其需求总量，即:四、模型求解根据不同物资的优先级，对物资进行排序。考虑到实际救灾中必须优先对关键 性物资进行分配，我们按物资的优先级从大到小进行排序，之后再逐一对每种物资 进行分配。不妨设排序后物资先后顺序为MM2Mm按排序后的物资M . M2Mm的顺序逐种进行分配，假设已分配了 jT 种，现给出第种j物资的分配方法：（1）设前jT种物资分配情况为矩阵B：B=x11 x21x1, j-1x2, j-100000 0用A表示此时彳A = A - B =各利t1t2x x0 L N1N, j-1灾民物资短缺情况则有-x t -x-x2

11、10 Jt1, -1 t2, j-1-x1, j-1 -x2, j -1t1, jt2, jt1, j+1t2, j +1!_（2）设对Mj的分配方案为dj = xijx2jxJ，即灾民Pi分到物资xMj的数量为ij未分Mj时，灾民Pi的受灾程度为：7J(0)=(t x:)X +(t2 -x:方人 +C - x x +1人+1 人 +1 人i,j-1i,j-1 j-1 i,j j i,j+1 j+1i,M Mi,kk=1=a+1 人r ，a =i,ki,k kk=1i，j j=2(t -x 1 + Et x+1 xi,k ki,k kk=j+1必-x + lLt i,k k k=j+1当灾民P

12、i得到1个单位物资Mj时，产生救灾效果为：y = 1x J (0)xk =k (a +1 兀)=an + 兀 2ti,j,1i j j ij j j j ij此时，由于4得到一个单位Mj，J .发生变化；当Pj再得到一个单位Mj时， 产生救灾效果为：y= 1x J (1)xk =n a + (t 一 1)n = an +n 2(t 1)i,j ,2ij jij jj j ij以此类推，当得到第Xij个单位M时，产生救灾效果为：jy= an +n2(t 一x +1)i, j, xijj j i, ji, j综上，当p j分到Mj的数量为*时，产生的救灾效果之和为：y =2y =2 an +n 2

13、(t +1 -k)k =1k=1=x (aX +X2t +X2)-X2x (x +1)/2- . .IJJJ IJJjjj_2所以最终七七盘。i=1即当只针对Mj进行分配时目标函数为：y ij i=1约束条件为:淡ijji=1（3） MATLAB程序直接求解在分物资M .时，目标函数为关于气广X x % 的N元二次函数， j1,j 2, JIk,j I, J约束条件为 W -Sj。此时可直接利用MATLAB程序求出最优解。i=（4）利用拉个朗日乘数法继续化简 引入变量人，对方程x (ak +X2t + 人2)-X2x (x +1)/2 + 人(x -S ) = 0 , jjjjj jjjij八

14、 L. , , X , X X X , k一 ，., 、 L,、两边分力别对i,j 2,Ji-1,J i,J求导，得到由i+1个一次方程组成的方程组。求解该方程组得到可疑点。将可疑点回带到目标函数，取其中使函数值 最大的一组解即为最优解。为了对问题进行进一步说明，并讨论和证明该模型的合理性，我们假设了一个 具体情景，给出了具体的数据对模型进行了量化。在此基础上我们使用 MATLAB 程序求解了最优解并对其进行了分析。数值算例：2008年春节期间，南方发生了几十年不遇的特大雪灾。假设某山区 十几位居民遭雪灾围困，与外界失去短暂联系，灾民的各种生活物资出现程度不同 的短缺。现已将紧急抽调的一批救灾

15、物资运送到该灾区，但由于时间仓促运抵的物 资不能完全满足需求。我们利用模型求解最佳分配方案。（1）不妨设灾民的物资短缺情况（受灾情况）经调查如下表所示：灾民需求表物资-灾民一123456789方便面（袋）1011789101289羽绒服（件）111011001大米（斤）202518262020162922帐篷(件)100110111物资灾民101112131415161718方便面（袋）121412918810158羽绒服（件）011101100大米（斤）183016222518241625帐篷（件）011000110由该表我们就得到了模型所需矩阵A。对应于我们研究的物资分配问题，其中 M=4

16、, N=18。（2）对四种物资：方便面，羽绒服，大米，帐篷，考虑到方便面能立即解决 暂时的吃饭问题，羽绒服对于抗寒作用重大，而大米发挥作用较慢但是基础物资， 帐篷作用最小。据此我们规定方便面优先级最高，其次分别为羽绒服，大米，帐篷。用兀，兀，兀，兀分别表示方便面，羽绒服，大米，帐篷的权重。不妨设 1234冗广0.9,冗2 = 07，冗3 = 05，冗4 = 0.3我们假设方便面，羽绒服，大米，帐篷的供应量分别为160，8, 320，6。则各 物资需求总量，供应总量和权重如下表所示：方便面（袋）羽绒服（件）大米（斤）帐篷（件）总量16083206需求2001139010物资权重0.90.70.5

17、0.3对四种物资分配的最初计算结果与最终优化结果如下表所示:灾民方便面近似取整羽绒服近似取整大米近似取整帐篷近似取整110.2066100.0766020.8736201.3792129.5655100.5892121.8321220037.090570.4009018.1233180.2217047.100470.1819022.8159230.7562159.348291.0901113.8273140.2033068.948290.5018119.2436190078.945880016.1611160.6413087.716280.1667022.8209230.2033197.815

18、791.0495115.2732150.6340105.962660016.980717011112.9582130.6558114.4821140.743101211.8363120.9414112.3423120.14190138.794590.737120.241520001412.3157120013.3102130.0760158.24980.4009018.5424180.576201610.4937101.0855119.2578190.17260178.191580.3867015.9735160.79311184.831450021.23092100则最终分配方案为：物资分配

19、表灾民123456789方便面（袋）10107799889羽绒服（件）010011001大米（斤）202218231419162315帐篷（件）100100101灾民101112131415161718方便面（袋）6131291281085羽绒服（件）011100100大米（斤）171412201318191621帐篷（件）010000010最后我们用*Uj表示最终每位灾民分到所有物资的总救灾效果。计算出 j=1各个灾民所分物资总救灾效果和最初受灾程度，如下表所示：灾民123456789最初受灾程度20.123.11620.619.119.719.12220.1分配物资总救灾效果19.3211

20、5.318.115.818.315.518.716.6灾民101112131415161718最初受灾程度19.828.619.820.128.716.92221.819.7分配物资总救灾效果13.919.717.518.820.316.219.215.515五、结果因为非离散的最优解问题处理起来过于困难，我们在此将其近似为连续的最优 解问题，但这使求解出的结果可能不为整数。我们对求解出的结果按实际情况进行 了合理调整之后得到了最终分配方案。六、结果分析与检验我考虑四种救灾物资的权重时，根据优先级的划分，并且考虑到问题的简化， 我人为的确定了关键物资权重系数为0.9,基础物资的权重系数为0.7

21、，重要物资 的权重系数0.5,可替代物资的权重系数为0.3。这样的权重没有牢固的理论背影 及依据。因此结果会有一定的误差。七、优缺点分析优点：1、建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型 具有很好的通用性和推广性；2、模型的最终计算方法简便，计算过程简单；3、对模型中涉及到的众多影响因素进行了量化分析。缺点：1、规划模型的约束条件简单，未能对问题要求进行完全的表述；2、对离散的最优解问题向连续的最优解问题近似，误差大改进：在本文中，我们考虑四种救灾物资的权重时，根据优先级的划分，并且考虑到 问题的简化，我们人为的确定了关键物资权重系数为0.9,基础物资的权重系数为 0.7，重要物资的权重系数0.5，可替代物资的权重系数为0.3。这样的权重没有牢固的理论背影及依据。因此，基于受灾地区灾民对物资的急 需程度，调查数据，建立一个有效的回归模型，实现四种物资的急需程度与物资权重 的合理匹配,对于合理分配物资，提高物资分配的救灾效果具有十分重要的意义。参考文献【1】蔡惠平、陈黎敏编，物资分配问题的一个逐次最优解法数学的实践与认识 1996年10月，第26卷4期；【2】朱道立、龚国华，罗齐编，物流和供应链管理，复旦大学出版社，2005年1 月；【3】常巍、谢光军、黄朝峰编，MATLAB 2007基础与提高，电子工业出版社。附录程序参考网址：