小学数学竞赛等积变换

《小学数学竞赛等积变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学竞赛等积变换（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十三讲 三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）这阐明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一种要发生变化但是，当三角形的底和高同步发生变化时，三角形的面积不一定变化例如当高变为本来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同步也告诉我们：一种三角形在面积不变化的状况下，可以有无数多种不同的形状本讲即研究面积相似的三角形的多种形状以及它们之间的关系为便于实

2、际问题的研究，我们还会常常用到如下结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一种点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等同步也可以懂得ABC的面积是ABD或AEC面积的3倍例如在右图中，ABC与DBC的底相似（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等例如右图中，ABC与DBC的底相

3、似（它们的底都是BC），ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则ABC的面积是DBC面积的2倍上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要根据例1 用四种不同的措施，把任意一种三角形提成四个面积相等的三角形措施2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即ABD与ADC等积然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积例2 用三种不同的措施将任意一种三角形提成三个小三角形，使它们的面积比为及134措施 1：如下左图，将BC边八等分，取134的分点D、E，连结AD、AE，从而得到ABD

4、、ADE、AEC的面积比为134DE，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积比为134固然本题尚有许多种其她分法，同窗们可以自己寻找解决例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相等证明：ABC与DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD例4 如右图，把四边形ABCD改成一种等积的三角形分析 本题有两点规定，一是把四边形改成一种三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以运用三角形等积变形的措施，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面积相等，从而A

5、DC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC问题是A位置的选择是根据三角形等积变形原则过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点解：连结BD；过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A连结AD，则ACD与四边形ABCD等积例5 如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积解法1：连结BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）解法2：连结CE，如右图所示，在ACE中， CD=2AD， SACE=3SADE

6、=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）例6 如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在ABG中， SADG+SBDE+SCFG 例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积解：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形EFGH的面积解：连结BD，将四边形ABCD提成两个部分

7、S1与S2连结FD，有SFBD=SDBC=S1 因此SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2因此四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE=1，求BEF的面积解：连结AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEFSABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1习题十三一、选择题（有且只有一种对的答案）：1

8、如下左图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有_个（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个2如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有_个（A）0个 （B）1个（C）2个 （D）3个3如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有_对（A）0对 （B）1对（C）2对 （D）3对4如上右图，是一种长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是_（A）11 （B）11.1（C）11.2 （D）11.45如右图，长方形AEGK四周上共

9、有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有_个（A） 24个 （B） 25个（C） 26个 （D） 27个二、填空题：1如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的_2如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是_3如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，SBEGSCEG=21，SCFGSDFG=11，那么这四个小三角形面积之和_4如上右图，在ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是_三、解答题：1如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知SABC=27平方厘米，求SDEF3如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求SBEF4如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至 A、B、C、D连接这些点得到一种新的四边形 A B C D如果四边形ABCD的面积是1，求四边形ABCD的面积5如右图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是1，求EFG的面积？