初二数学竞赛辅导资料共12讲

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1、 目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未

2、装订在内，另发）第九讲 竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：绝对值最小的实数是0若a与b互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则ab对任意实数a，则|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则0（n为自然数），当

3、n1时，0（3）算术平方根是非负数，即 0，其中a0. 算术平方根的性质： （a0） 2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；4、推广到的化简；5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。【例题精讲】 专题一：利用非负数的性质解题：【例1】已知实数x、y、z满足，求xyz的平方根。【巩固】1、已知，则的值为_；2、若，的值【拓展】设a、b、c是实数，若，求a、b、c的值专题二：对于 的应用【例2】已知x、y是

4、实数，且 ；【例3】已知、适合关系式：，求的值。【巩固】1、已知b，且的算术平方根是，的立方根是，试求的平方根和立方根。2、已知，则 ；【拓展】在实数范围内，设，求的个位数字。专题三：，的化简及应用常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例4】化简：【例5】若实数x满足方程 ，那么 ；【巩固】1、若，且，则 ；2、已知实数a满足a0，那么 ；3、设（1）求y的最小值（2）求使6y7的x的取值范围。【拓展】若，求的值。【课后练习】1、如果a 0 ，那么 。2、已知和是数的平方根，则求的值 。3、设a、b、c是ABC的三边的长，则 。4、已知x、y是实数，且则 。5、若0 a 0）

5、 D、S30t（t4）ABCDyx图12、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离与时间之间的函数图象若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）3、函数自变量的取值范围为_；4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中，htOhtOhtOhtO甲乙丙丁（1）（2）（3）（4）下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象：A（1）甲，（2）乙，（3）丁，（4）丙 B（1）乙，（2）甲，（3）丁，（4）丙C（1）乙，（2）甲，（3）丙，（4）丁 D（1）丁，（2）甲，（3）乙，（4）丙5、平面直角坐标系内，点A（n，1n）一定

6、不在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、若P(ab，5)与Q(1，3ab)关于原点对称，则（ab）(ab)的值为 ；6、已知点P（3p15，3p）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点M的坐标。第4讲 一次函数（一） 姓名： 【知识梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b0时，称y是x的正比例函数.二、一次函数的图象：由于一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb由于两点确定一条直线，因此在今

7、后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的性质：（1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；

8、当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b0时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图1118（1）所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图1118（2）所示，当k0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图1118（3）所示，当kO，b0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图1118（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移

9、的角度也可以分析，例如：直线yx1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的四、正比例函数ykx（k0）的性质：（1）正比例函数ykx的图象必经过原点；（2）当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小五、用函数的观点看方程与不等式：（1）方程2x200与函数y2x20观察思考、二者之间有什么联系？从数上看：方程2x200的解，是函数y2x20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y2x20与x轴交点的横坐标即为方程2x200的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kxb0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转

10、化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线ykxb确定它与x轴交点的横坐标值（2）解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb与ymxn的交点坐标。两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围解关于x的不等式kxbmxn可以转化为：当自变量x取何值时，直线y（km）xbn上的点在x轴的上方，或（2）求当x取何值时，直线ykxb上的

11、点在直线ymxn上相应的点的上方（不等号为“0（k0）的解集是x3，则直线ykx2与x轴的交点是_2、如右图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 例5：一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则线段AB上（包括端点A、B），横坐标、纵坐标都是整数的点有几个？【巩固】如图一次函数的图象经过点和，则的值为 。例6：如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C。（1）求直线的解析式。（2）求ADC的面积；（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得ADP与ADC的 面积相等，请直接写出点P的坐标。【课

12、后练习】1、点A为直线上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为_。xy022、直线经过一、二、四象限，那么直线经过 象限。3、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD4、如图一直线L经过不同三点A（a，b），B(b，a)，C，那么直线L经过（ ）A第二、四象限 B第一、三象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限5、设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(1，2，3，2000).则1232000的值为 ( )A. B. C. D. 6、如图直线与轴、轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC90，如果在第二象限内有

13、一点P，且ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值。 第5讲 一次函数（二）【知识梳理】一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系，构建一次函数模型，再利用一次函数的性质求出问题的解。【例题精讲】例1：我市一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元件）分别近似满足下列函数关系式：y1x60，y22x36；需求量为时，即停止供应。当y1 y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量；（2）价格在什么范围，该商品的需求量低于供应量？yxO（第22题图）（3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高

14、供应量，现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？【巩固】图1130表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？甲乙（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？例2：在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为（张），总费用为（元）现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；1000014000100150Ox(张)y(元)（总费用广告赞助费门票费）方案二：购买门票方式如图所示

15、解答下列问题：（1）方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ；当时，与的函数关系式为 ；（2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张【巩固】我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费。即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费。设一户居民月用水吨，

16、应收水费元，与之间的函数关系如图13所示：（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？例3：抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与

17、（吨）的函数关系式；（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【巩固】我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元（1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式；收地运地总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元在这种

18、情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值例4：我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象请根据图中信息，解答下列问题：（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_h，点B的纵坐标300的意义是_； （2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象；（3）

19、若普通快车的速度为100 km/h，求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； 求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇； 0.5ABCO123100200300s/kmt/h直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间【巩固】某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟。图中表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时（1）请在图中画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图

20、象；（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？ 【课后练习】1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口（1）求的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；143124030078ax/

21、分y/人OOO（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？2、如图，工地上有A、B两个土墩，洼地E和河滨F，两个土墩的土方数分别是781方，1584方，洼地E填上1025方，河滨F可填上1390方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地E，余下的图填入河滨F（填入F实际只有1340方），如何安排运土方案，才能使劳力最省？（提示：把土方米作为运土花费劳力的单位）第6讲：全等三角形【知

22、识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式

23、是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答【例题精讲】例1：已知，如图ABC中，AB5，AC3，则中线AD的取值范围是_.【巩固】如图所示，已知在ABC中，AD是B

24、C边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证: AFEF.例2：已知等腰直角三角形ABC中，ACBC，BD平分ABC，求证：ABBCCD【巩固】1、已知ABC中，AD平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC2、如图所示，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120，求证: BCDCAC. 例3：如图，已知在ABC中，B60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O求证：OEOD例4：如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于N，PM AC于点M求证：BNCM例5：AD为ABC的角平分线，直线MNAD

25、于A，E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为。求证.【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数. 【课后练习】1、如图，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：ABBPBQAQ2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BECF与EF的大小. 3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BECF的理由；（2）如果AB，AC，求AE、BE的长.第7讲：直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角

26、形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余2、直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c25.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC中，(1)若c2a2b2，则C90；(2)若c2a2b2，则C90；(3)若c2a2b2，则C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用5、勾股定理逆定理

27、：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2那么这个三角形是直角三角形6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c满足等式a2b2c2，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。【典例精析】例1：在ABC中，BAD90，AB3，BC5，现将它们折叠，使B点与C点重合，求折痕DE的长。【巩固】1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm2、四边形ABCD中，

28、DAB60，BD90，BC1，CD2；求对角线AC的长？例2：如图所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求证：AB22FG2【巩固】已知ABC中，A90，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，MEMF求证：EF2BE2CF2例3：已知正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH求：的值例4：已知：P为ABC内一点，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数【巩固】如图，四边形ABCD中，ACBD，AC与BD交于O点，AB15，BC40，CD50，则AD_.例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直

29、角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_种可能，其中最大的值是_.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等？若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。【课外练习】ADBEC1、如图，在RtABC中，ACB90BC3,AC4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）A B CD22、如图，等腰中，是底边上的高，若，ACDB则 cm3、已知ABCD，ABD，BCE都是等腰三角形，CD8，BE3，则AC的长等于（ ）A.8 B.5 C.3 D. 4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正

30、方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A13 B26 C47 D945、如图，在矩形ABCD中，在DC上存在一点E，沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么折叠的AED的面积为_. 第9讲 竞赛中整数性质的运用【知识梳理】1、完全平方数的末位数若a是整数，则称为完全平方数。定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数一定不是完全平方数。定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。2、连

31、续自然数乘积的末位数定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。3、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即，其中a和b都是自然数利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。4、数的整除的判定法则（1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。（2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。（3）一个整数的奇数位数字

32、和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。5、带余除法两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。一般地，a、b为两个整数，则存在惟一的整数对q和r，使得abqr。这里，特别是当，则称当，则称b 不整除 a，q称为a被b除时所得的不完全商；r称为a被b除时所得的余数。【例题精讲】例1：求的末位数。 【巩固】求的末位数。例2：n为怎样的自然数时，能被10整除？【拓展】今天是星期六，从今天起天后的那一天是星期几？例3

33、：5个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。【巩固】n是自然数，如果n20和n21都是完全平方数，求n的值。例4：1999除以某自然数，其商为49，求除数和余数。【巩固】甲、乙、丙三个数分别是312，270，211，用自然数A分别去除这三个数，除甲所得余数是乙所得余数的2倍，除乙所得余数是除丙所得余数的2倍，求这个自然数A。例5：若N是一个能被17整除的四位数，求x。【巩固】已知一个七位自然数能被99整除，试求，例6：试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。(*) 【课后练习】1、的末三位数是（ ）A、025B、125C、625D、8252、小

34、于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（ ）A、658B、648C、686D、6883、已知两个三位数，和能被37整除，证明，六位数也能被37整除。4、设N23x92y为完全平方数，且N不超过2392，求满足上述条件的一切正整数对9（x，y）共有多少对？5、试找出由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复的七位数中，能被165整除的最大数和最小数。(*)第10讲 不定方程与应用【知识梳理】1、整系数方程有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c。这个结论告诉我们，若dc,则原方程有整数解，若d不c，则原方程没有整数解。2、若（a,b）1（即a与b互质）

35、，、为二元一次整系数不定方程的一组整数解（也称为特解），则的所有解（也称通解）为 其中t为任意整数。我们称这种解法为特解法。如 13x30y4 （13、30）1 则是整数，观察得整数解，其全部解其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解3、递推法。【例题精讲】例1：求方程的整数解。例2：希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有 个。【巩固】求方程的整数解。【拓展】1、三元一次方程的非负整数解的个数为 个。2、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得144

36、05，将前三位组成的数与后五位组成的数相加的16970，求此人家的电话号码。例3：求方程的整数解。【巩固】方程的正整数解的组数有多少？例4：有一个正整数，加上100，则为一完全平方数；如果加上168，则为另一个完全平方数，求此数。【巩固】一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，求这个自然数。例5：方程的整数解的个数为（ ）A.0个 B.3个 C.5个 D.无数个【巩固】方程的整数解的组数是（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9【拓展】1、求方程的整数解。 2、求方程的正整数解。【课后练习】1、已知满足及，则_2、满足方程的所有整数解为（）为_.3、方程的正

37、整数解的组数是（ ）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4、三元方程的非负整数解的个数是（ ）A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个5、方程的整数解的组数是_.6、求除以7余5，除以5余2，除以3余1的所有三位数中的最小正整数为_.7、求方程的整数解8、购买5种数学用品的件数和用钱总数列成下表：品名件数总钱数第一次购件数134561992（元）第二次购件数1579112984（元）则5种数学用品各买一件共需多少元？9、求满足且使最大的正整数。第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个

38、多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某

39、项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。配方法则是一种特殊的拆项、添项法。（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。（5）常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：； ； ； ；立方和（差）公式：； ；完全立方公式：； 。【例题精讲】例1：（1）4x（ab）（b2a2）；（2）（a2b2）24a2b2；（3）x42x23； （4）（xy）23（xy）2；（5）x32x23x； （6）4a2b26a3b；（7）a2c2+2ab+b2d22cd （8）a24b24c28bc例2：分解因式：（1） ；（2） ；（3） 。【巩固】分解因式：1、； 2、；3、； 4、【拓展】分解因式：；例3：把下列各式分解因式：1、； 2、。