中学《生活中的数学》校本课程教材

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1、生活中的数学校本课程目录第一讲：生活中的趣味数学 第二讲： 数学中的悖论 第三讲：对称自然美的基本第四讲：斐波那契数列第五讲：龟背上的学问第六讲：巧用数学看现实第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题第八讲：生活中的优化问题举例第一讲：生活中的趣味数学1“荡秋千”问题：国内明朝数学家程大位（153316）写过一本数学著作叫做直指算法统宗，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用西江月词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记； 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送1

2、0尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人同样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案：如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）在RtABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即绳索长为14.5尺2方程的应用：小青去植物园春游，回来后来爸爸问她春游花掉多少钱。小青并不直接回答，却淘气地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩余的元数是带出去角数的一半，剩余的角数与带出去元数相似。”爸爸踌躇一下，有些为难。你能否协助她把钱数算出来，小青究竟带了多少钱？花了多少

3、钱？还剩多少钱？措施一：设带出去x元,y角.根据剩余的元数是带出去角数的一半懂得y是偶数花了的钱分x为奇数与偶数状况（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩余=(x-1)/2元,(y/2+5)角根据背面两句话懂得,剩余=y/2元,x角有二元一次方程组:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩余=x/2元,(y/2+5)角剩余的同上面状况有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法 不符合实际（舍）答案是9元8角措施二：设带出去X元Y角，还剩a元b角 按照用掉一半还剩一半的等式： 10a + b =

4、 ( 10x + y)/ 2 又由于： a = y / 2 b = x 带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8 由于 y 只能是不不小于10的整数 因此，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！3工资的选择：假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：（A） 工资以年薪计，第一年为4000美元后来每年加800美元；（B） 工资以半年薪计，第一种半年为美元，后来每半年增长200美元。你选择哪一种方案？为什么？答案：第二种方案要比第一种方案好得多4我们人们一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。 经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满

5、；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出合计40元。 问题：我们该如何定价才干赚最多的钱？ 答案：日租金360元。 虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=元，每日净赚16000元。而客满时净利润160*80-40*80=9600元。 固然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。 第二讲 数学中的悖论 “悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它涉及一切与人的直觉和平常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无

6、比。悖论有三种重要形式。1一种论断看起来仿佛肯定错了，但事实上却是对的（佯谬）。2一种论断看起来仿佛肯定是对的，但事实上却错了（似是而非的理论）。3一系列推理看起来仿佛无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有个不惊讶得立即就想懂得：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉她时，她就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正由于如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一种构成部分，这一分支以“趣味数学”出名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫觉得大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对

7、bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基本。莱布尼茨也写到过她在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏生命是英国出名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架有关数学游戏和数学谜的书。悖论一览 1 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的商定；如果理发师不给自己理发，那么按照她的规定，又应当给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。

8、 2 芝诺悖论阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用她的无穷、持续以及部分和的知识，引起出如下出名的悖论：她提出让阿基里斯与乌龟之间举办一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯可以跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于她100米；当阿基里斯跑了下一种100米时，乌龟仍然前于她10米因此，阿基里斯永远追不上乌龟。 3 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与她的真话所有克里特人所说的每一句话都是谎话相悖；

9、如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 因此如何也难以自圆其说，这就是出名的说谎者悖论。公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一种悖论：“我目前正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！4 跟无限有关的悖论： 1，2，3，4，5，是自然数集： 1，4，9，16，25，是自然数平方的数集。 这两个数集可以很容易构成一一相应，那么，在每个集合中有同样多的元素吗？ 5 伽利略悖论：我们都懂得整体不小于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC同样

10、长，与图矛盾。为什么？ 6 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； 7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。 法官并且声明说： 绞刑的具体日期将是完全出人意料的。 这个囚犯非常聪颖 (也许此前是逻辑学专家)， 她由此推断出她主线不会被绞死，为什么？ 她由此推断出绞刑一定不会安排在周五， 由于否则的话， 前四天一过她就懂得绞刑的具体日期了， 但法官说过具体日期会是完全出人意料的。 法官是不会撒谎的， 因此绞刑不也许在周五

11、。 排除了周五， 就只剩余四天了。 但是根据同样的推理， 周四也可以被排除掉，.， 以此类推， 最后每一天都可以排除掉。 于是她得出令人欣慰的结论： 她主线不会被绞死。 可是到了周二法官却忽然宣布执行绞刑， 大大出乎了她的意料！ 而这， 恰恰证明法官的确没有撒谎。” 1、小丁和小明、小红三个小朋友并排在有灰尘的楼梯上同步从顶上向下走。小明一步下2阶，小红一步下3阶，小丁一步下4阶，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一种人脚印的楼梯至少有几级？2、偶数的难题在好久此前，一种年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武招亲的措施。通过文试、武试，三个英俊的小伙子成

12、为最后的人选。要从这三个难分高下的小伙子中选出一种女婿来，可真难为了国王。她绞尽脑汁想出了一种措施。国王命人拿出一种4*4的方格，将16枚棋子依次放在16个方格中。国王对三个小伙子说：“目前你们从这枚棋子中随便拿去个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶数枚棋子。这三个小伙子犯难了，最后，其中一种小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公主。请问这个小伙子是如何解开这道难题的？第三讲： 对称自然美的基本在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们常常可以遇到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎

13、上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观测表白，对称性蕴含在上述多种事例之中，它从最简朴到最复杂的体现形式，是大自然形式的基本。 花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转合适位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣本来的位置，花朵就自相重叠。旋转时达到自相重叠的最小角称为元角。不同的花这个角不同样。例如梅花为72，水仙花为60。“对称”在生物学上指生物体在相应的部位上有相似的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。国内最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。 诸多植物是螺旋对称的，即旋转某一种角度后，沿轴平移可以和自己的初始位

14、置重叠。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四周八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种体现形式。 “晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交错着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第四讲： 斐波那契数列斐波那契数列在自然界中的浮现是如此地频繁，人们深信这不是偶尔的。（1）细察下列多种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察如下花的类似花瓣部分，它们也具有斐

15、波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数常常与花瓣的数目相结合：3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、 飞燕草 8翠雀花 13金盏草 21紫宛 34，55，84雏菊 （3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到达到与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一种位置达到下一种正对的位置称为一种循回。叶子在一种循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一种循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。（4）斐波那契数有时也称松果数，由于

16、持续的斐波那契数会出目前松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种状况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现某些持续的鲁卡斯数吗？（5）菠萝是又一种可以检查斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列： 它们交错地或不小于或不不小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（特别在自然现象中）在哪里浮现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会浮现斐波那契数，反之亦然。第五讲： 龟背上的学问传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一种数字方阵。

17、这个方阵，按孙子算经中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相称。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，如图2所示。 方阵涉及了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相似的性质。当时，人们觉得是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”)，属于组合数学范畴。使用整数19构成的33阶“拉丁方”唯一也许的和数是15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十945，要把这几种数分派到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为453150

18、组合数学是数学中的一种分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。5名待业青年，有7项可供她们挑选的工作，她们与否能找到自己合适的工作呢?由于每个人的文化水平、爱好爱好及性别等因素，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人均有一张志愿表，最后根据需求和志愿找到一种合适的工作。组合数学把每一种分派方案叫一种安排。固然第一种问题是考虑安排的存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排措施，这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最佳的方案，这就是所谓的“最优化问题”。存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了所有组合数学的内容。如果你想理解更多的组合数学问题，那就要

19、博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。第六讲：巧用数学看现实在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化但如何才干达到这样的目的呢？在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000元 1名，一等奖1000元 2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供应销费者的实惠大？面对问题我们并不能一目了然。于是我们一方面作了一种随机调查。把全组的16名学员作为调核对象，其中8人乐意去甲家，6人喜欢去乙家，尚有两人则觉得去两家

20、都可以。调查成果表白：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实与否如此呢？在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参与抽奖的人数都没有限制。因此我们觉得这个问题应当有几种答案。一、苦甲商厦拟定每组设奖，当参与人数较少时，少于213（1十210200=213人）人，人们会觉得获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。由于甲商厦提供的优惠金额是固定的，共 14000元（10000 10001000=14000）。假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为 280000元（ 14000 5=280000）。因此由此可得：（l

21、）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。（2）当两商厦的营业额都局限性 280000元时，乙商厦的优惠则不不小于 14000元，因此这时甲商厦提供的优惠仍是 14000元，优惠较大。（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则不小于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。像这样的问题，我们在平常生活中随处可见。例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相似，开始定的价也相似。为了争取更多的顾客，两站分别推出优惠政策。甲站的措施是实行七五折错售，乙站的措施是对客户自第二次换气后来以7折销售。两站的优惠期限都是一年。你作为

22、顾客，应当选哪家好？这个问题与前面的问题有很大相似之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。随着市场经济的逐渐完善，人们平常生活中的经济活动越来越丰富多彩。买与卖，存款与保险，股票与债券，都已进入我们的生活同步与这一系列经济活动有关的数学，利比和比例，利息与利率，记录与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，并且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题这样才干更好地适应社会的发展和需要。看票价问题：某音乐厅五月决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团队票和零售票，其中团队票占总票数的。若

23、提前购票，则予以不同限度的优惠。在五月份内，团队票每张12元，共售出团队票的；零售票每张16元，共售出零售票的一半。如果在六月份内，团队票按每张16元发售，并筹划在六月份内售出所有余票，那么零售票应按每张多少元定价才干使这两个月的票款收入持平？解析：本题中数量较多，关系复杂，为了便于弄清它们之间的关系一方面要分别列出五、六月份售出的团队票、零售票的张数及票款的代数式。设总票数为a张，六月份零售票应按每张x元定价，则五月份团队票售出数为：，票款收入为：（元）零售票售出数为：，票款收入为： （元）六月份团队票所剩票数为：，票款收入为： （元）零售票所剩票数为：，票款收入为： （元）根据题意，得 解

24、之，得：答：六月份零售票应按每张19.2元定价第七讲 运用数学函数方程解决生活中的问题以现实社会的生产、生活问题为背景的数学应用题愈来愈受到关注。由于此类问题波及的背景材料十分广泛，波及社会生活方方面面，因此规定解题者具有丰富的社会常识和较强的阅读理解能力，再加之有些题目中名词、术语专业性太强，使许多同窗望而生畏。为此，本文就列一元一次方程解决生活中的某些数学问题举几例进行解析，供同窗们参照。一、纳税问题例1 依法纳税是公民应尽的义务。根据国内税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过929元不必纳税，超过929元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：全月应纳税所得额税率不超过500元

25、部分5超过500元至元的部分10超过元至5000元的部分15 某人本月纳税150.1元。则她本月工资收入为 。解析：解答本题一方面要弄清题意读懂图表，从中应理解税款是分段计算累加求和而得的。由于5005150.110，因此可以判断此人的全月纳税应按表中第一档和第二档累加计算。设此人的本月工资为x元。根据题意得：5005（929500）10=150.1解得，=2680即此人的本月工资是2680元。二、销售利润问题例2 某公司生产一种产品，每件成本400元，销售价为510元，本季度销售m件。为了进一步扩大市场，该公司决定下季度销售价减少4，估计销售量将提高10。要使销售利润（销售价成本价）保持不变

26、，该产品每件的成本价应减少多少元？解析：解答本题的核心是要弄清减少、提高的百分数的含义。设该产品每件的成本价应减少x元，则每件减少后的成本是（）元，销售价为510（14）元，根据题意得，510（14）（）（1+10）m=（510-400）m解之，得x=10.4答：该产品每件得成本价应减少10.4元 三、方案设计问题例3 某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润元。该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨；但受人员限制，两种加工方式不可同步进行，又受气温条件限制，这批

27、牛奶必须在4天内所有销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种可行性方案：方案一：尽量多的制成奶片，其他直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其他制成酸奶销售，并正好4天完毕。你觉得选择哪种方案获利最多，为什么？解析：本题看似很复杂，限制条件较多，但如将此题分解为分别求出方案一、方案二的总利润就很容易解答。若选择方案一，总利润=4+（94）500=10500（元）若选择方案二，设4天内加工酸奶x吨，则加工奶片（9x）吨，根据题意，得 解之，得x=7.5总利润12007.5+1.5=1（元）比较方案一、方案二所获得的总利润可知，选择方案二获利多。四、节省用水问题例4 （1）据北京日报报道：北京市人

28、均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的，是世界人均占有量的。问全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米？（2）北京市一年漏掉的水相称于新建一种自来水厂全年的产量。据不完全记录，全市至少有 6105个水龙头和2105个抽水马桶漏水，如果一种关不紧的水龙头，一种月能漏掉a立方米的水；一种漏水马桶，一种月漏掉b立方米水，那么一种月导致的水流失量至少多少立方米（用含a、b的代数式表达）；（3）水资源透支令人担忧，节省用水迫在眉睫。针对居民用水挥霍现象，北京市制定居民用水新原则，规定三口之家每月原则用水量，超标部分加价受费。假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标

29、部分每立方米水费2.9元，某三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家每月原则用水量为多少立方米？解析：（1）2400立方米、9600立方米（2）立方米（3）由于121.322，因此12立方米水中有超标部分。设北京市规定三口之家每月原则用水量为x立方米，根据题意，得解之，得 x=8答北京市规定三口之家每月原则用水量为8立方米， 五、与家长做的游戏：54张扑克牌，两个人拿，每次只能拿1至4只，拿到最后1只的输，先拿的人怎么样拿才会赢？先拿3张，在后来的那牌中，都与对方凑5，即可获胜。这是一道凑数题，最大的数加最小的数等于要凑的数（本题为1+4=5）。总数/凑的

30、数=商.余数（本题即54/5=104），有余数必须先拿余数，然后和对方凑数。（如果没有余数就让对方先拿，然后和对方凑数）第八讲：生活中的优化问题举例 生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题一般称为优化问题通过前面的学习，我们懂得，导数是求函数最大（小）值的强有力工具这一节，我们运用导数，解决某些生活中的优化问题问题1:面积问题例1、学校或班级举办活动，一般需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，规定版心面积为 128 dm2，上、下两边各空2dm左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才干使四周空白的面积最小？ 解：设版心的高为x dm，则版心的宽为

31、 dm 此时四周空白面积为 求导数，得 令，解得 。于是宽为 当 时， ；当 时， 。因此，x=16是S(x)函数的极小值，也是最小值点。因此，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 练：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一种无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱自的容积最大？最大容积是多少？ 问题2:利润问题饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你与否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上懂得它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润

32、越大?下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例： 某制造商制造并发售球形瓶装饮料.瓶子制导致本是0.8r2分.已知每发售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：每个瓶的容积为 每瓶饮料的利润 令r(0，2)2(2，6f (r) -0 +f (r) 减函数-1.07增函数f (r)在(2，6上只有一种极值点由上表可知，f (2)=-1.

33、07为利润的最小值当 而f (6)=28.8，故f (6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.2、圆柱形金属饮料罐的容积一定期，它的高与底面半径应如何选用，才干使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2 令+4R=0, 解得，R=， 从而h=2即h=2R S(R)只有一种极值，因此它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应如何选用，才干使饮料罐的容积最大? 提示： + V(R)= 令=0 解决优化问题的措施：通过收集大量的记录数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一种有利的工具，其基本思路如如下流程图所示:优化问题 建立数学模型 用函数表达数学问题 解决数学问题优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题