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1、卓越考研内部资料（绝密）卓而优 越则成卓越考研教研组汇编1.3 连续A 基本内容一函数连续的概念1、连续的定义定义(1)：设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋近于时，相应的函数改变量也趋近于，即 或 则称函数在点处连续。 定义(2)：设函数在点的某个领域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数在点处连续。 2、左右连续的定义如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。 由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。3、函数在区间内（上）连续的定义 如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。 如果在开区间内连续，在区间端
2、点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1、函数的间断点的定义 如果函数在点不连续，则称为的间断点。 2、函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点 设是函数的间断点。如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 例如 是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的连续性1在区间连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间仍是连续的。2由连续函
3、数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质定理1（有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理3（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得 推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得 这个推论也称为零点定理 思考题：什么情况下能保证推论中的是唯一的？B 典型例题一、讨论函数的连续性例1、讨论函数在点处的连续性。解： 因 即有，故在点连续。例2、讨论函数 ，在点的连续性。 例3设在内连续 求常数和解：， 由的连续性可知得 由的连续性可知得 所以二、判断函数间断点的类型例1、求函数的间断点，并确定其类型 例2求函数的间断点，并确定其类型。 例3求函数 的间断点，并确定其类型。三利用介值定理的推论判断以及用零点定理证明方程根的存在性例1、证明五次代数方程在区间内至少有一个根。例2设在上连续,.试证对任意的正数,至少存在一个,使.
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