整系数多项式的有理根定理及求解方法

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1、论文分类号O174.14密 级：无吉林师范大学博达学院毕业论文（设计） 整系数多项式的有理根的定理及求解措施 系别 & 专业： 数学系-数学与应用数学专业 姓名 & 学号： 刘玉丽 0934118 年级 & 班别： 级1班 教师 & 职称： 张洪刚 9月 1日摘 要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所结识。本文是有关整系数多项式有理根的求解的一种综述，但愿可以给对整系数多项式感爱好的朋友提供一定的参照。本文根据有关文献资料，给出了有关整系数多项式有理根的较为系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，一方面要鉴定整系数多项式与否存在有理根。若存在，则可运用求解有

2、理根的措施法将所有也许的有理根求出。为了简化求解过程，可以先运用本文中的有关定理，将也许的有理根的范畴尽量缩小，然后再用综合除法进行检查，进而求出整系数多项式的所有有理根。核心词：整系数多项式； 有理根的求法； 有理根的鉴定Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solv

3、ing of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure inte

4、gral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent.

5、And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章 整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理-高斯(Gauss)引理。定义11如果一种多项式，其所有系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式。定义2 如果一种非零的整系数多项式 的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一种本原多项式。 下面

6、的重要成果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基本。定理1.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。证明 设是两个本原多项式，而是它们的乘积.我们用反证法.如果不是本原的，也就是说，的系数有一异于的公因子，那么就有一种素数能整除的每一种系数.由于的本原的，因此不能同步整除的每一种系数.令是第一种不能被整除的系数，即.同样地，也是本原的，令是第一种不能被整除的系数，即我们来看的系数，由乘积定义由上面的假设，整除等式左端的，整除右端.这是不也许的.这就证明了，一定也是本原多项式.由此我们可以得到下面的定理及推论定理1.2 如果一非零的整系数多项式可以分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘

7、积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.2.1 设，是整系数多项式，且是本原的.如果=，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的.第二章 整系数多项式有理根的重要定理 在高等代数中，有关整系数有理根的问题，有如下定理：定理2.11设是一种整系数多项式,而是的一种有理根,其中r,s互素,那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，并且是的因子。证明：由于是的一种有理根,因此在有理数领域上，从而,由于r,s互素，因此是一种本原多项式.根据上述推论1.2.1，式中都是整数.令，比较两边系数，即得因此 。将代入上式得, 由定理2.1的证明过程可得如下定理： 定理2.

8、2 若是一种次数不小于的整系数多项式,如果是的一种有理根,其中是互素的整数,那么定理2.3 若为整系数多项式的整数根,则为常数项的约数,且对于.证明：由于q是整系数多项式的整数根,因此,其中是整系数多项式.,则有.又,故,因此.当时, .由于是常数项,故为常数项的约数,因此.定理2.4 若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则不是的有理根.证明：（反证法）设是的有理根,则,其中是整系数多项式,于是有设,令,则有又由于是奇数, 是偶数.在上式中,等号左边是奇数,等号右边是偶数,矛盾.故假设不成立.因此不是的有理根. 定理2.5（有关整根的牛顿法）【2】 如果d是整系数方程（）的整根,那么可以整

9、除, ,并且.反之,如果,那么是的根.由以上定理可得下面推论：推论 整系数多项式,当(互素)是有理数时,若,则是的根. 证明：由于,在上式两边同步乘以,则有即 . 因此是的根.第三章 整系数多项式有理根的求法 3.1 整系数多项式有理根的鉴定7存在性的鉴定一般可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的协助是很难实现的. 如果先鉴别多项式的不可约,或者将多项式分解成几种多项式的积后再作判断. 这在理论上是可行的,但实际要将一种多项式分解因式时却不是一件容易的事情. 因此,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还是从

10、系数开始。整系数多项式无有理根的鉴别法：定理3.1.11(Eisenstein鉴别法)：设是一种整系数多项式。如果有一种素数，使得1、；2、；3、.那么在有理数域上是不可约的.证明 如果在有理数域上可约，那么由定理2.2，可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：= .因此 ，由于，因此能整除或.但是，因此不能同步整除及.因此不妨假定但.另一方面，由于，因此.假设中第一种不能被整除的是.比较中的系数，得等式.式中都能被整除，因此也必须能被整除.但是是一种素数，因此与中至少有一种被整除.这是一种矛盾.定理3.1.2【3】设是一种整系数多项式，若能找到一种素数和整数,使得 (1) (2) ,但；

11、(3) (i)当时，。且；(ii)当时，其中为正整数， (注：当时 ，与(i)相似) ，那么 ，多项式无有理根 。 证明： (i)当时，假设多项式存在有理根，则在有理数域上从而。由于互素，因此是一种本原多项式，根据推论由，依次类推，即得，因此。1.2.1知式中都是整数，比较两边系数，即得 （） 由于是素数，且，由（）知 ，因此 或 ，同步，由于，因此 且 。 如果，那么由 ，及 ()中，因此 。即，故。又由于及 ，因此，即。又由于及 ,因此,即 ,因此,故。与矛盾。必有，则。由于 及由 ()式中 ，因此 ，但，必有 。 由()式依次类推知。 由及，得。又由前面所述知且，为素数。矛盾！故无有理根

12、。 (ii)当是正整数且时， (由于的状况为上述所证明)。此时，在中，令，得 令由定理的条件显然知，的系数均为整数 由于，是正整数，且由定理3.1.2的 (1) (2)知 ，但又由定理3.1.2中 (3) (ii)知，其中， 及 ，同步由(i)证明知无有理根， 故无有理根。 3.2 整系数多项式有理根的求法定理3.2.1【5】设既约分数，多项式除整系数多项式 所得的商式为 余式为常数，多项式除多项式所得的商式为，则()为的一种根的充要条件为的各系数都能被整除，并且； () 为的一种根的充要条件是为的一种根；()当为的一种根时，证明 () 充足性是很明显的.下面证必要性.因是多项式的一种根，故存

13、在整系数多项式使 从而这时，的各系数均能被整除()充足性：若为的一种根，则在上式两边同乘以，有故为的一种根.必要性：显然类似可证.() 若为的一种根，则，即 于是，在上式两边同除以得， ，从而有多项式恒等定理， 故多项式除多项式所得的商式为 证毕.由以上定理及有关推论得求整系数多项式有理根的措施：第一步：鉴定与否存在有理根；第二步：若有，求出和的所有因数；第三步：用的因数做分母,因数做分子,列出所有也许的既约分数；第四步：先判断出与否为的根,再对第二步求出的既约分数进行检查,如果与都是整数,那么的根也许是具有这个；如果两数不全为整数,那么的根一定没有这个；第五步：检查第三步选出来的既约分数也许

14、会是的根,用除（可用综合除法）,如果除得余数为零,那么是的根；反之,不是的根.3.3 应用举例 我们用如下例子简要阐明上述措施的应用。例1【3】判断多项式与否存在有理根.解：先分析系数的状况： ， ， ，取，有但。由定理3.1.2知无有理根。例2 求整系数多项式的所有有理根【6】.解：,的因数是；的因数是.于是也许的有理根是,.第一步：经计算,因此不是的有理根.第二步：由于,因此不是的有理根.第三步：由于不是整数，因此2不是的有理根.第四步：由于时，因此不是的有理根. 这样，通过上述四步，也许的有理根只也许是，下面用综合除法来检查： 这阐明是的根.同理可知：是的根经综合除法检查得知的有理根为和

15、.例3 求整系数多项式的所有有理根【6】解：,故的有理根都是整数,且都是常数项的因子,的因子有.因此也许的有理根是：.又因此是的根,不是的根.又 , , , , ,因此不是的有理根.故也许的有理根只有.下面用综合除法检查： 这阐明是的根.因此,多项式的有理根只有,.结束语求整系数多项式有理根是多项式理论中重要内容之一.在多项式理论中，有关整系数多项式的有理根的研究，始终是人们有爱好的问题，目前人们对整系数多项式的有理根已有诸多研究，也有不少成果。本文较为系统的综述了整系数多项式有理根方面的定理及求解措施。求整系数多项式有理根时一方面要鉴定多项式与否有有理根。如果整系数多项式有有理根,我们可以用

16、求解有理根的措施将有理根求出.为了简便求解过程,我们可以综合运用前面所讲述的有关定理,将也许的有理根的范畴尽量缩小,然后再用综合除法进行检查,进而求出整系数多项式的所有有理根.但在整系数多项式中理论知识的还不够完善，以及整系数多项式与否存在有理根的鉴定措施比较单一，这些方面均有待我们再次进一步研究参照文献1 王萼芳 石生明. 高等代数（第三版）第一章第九节. 北京：高等教育出版社，2 林国泰. 初等代数研究教程. 广州：暨南大学出版社,.3 罗永超.整系数多项式与否存在有理根的几种鉴别法及应用.第12卷第4期贵州师范大学学报(自然科学版)19944 邓勇.整系数多项式有理根检查法的简化 四川文理学院学报(自然科学) 第17卷第2期3月5 杨继明. 有关整系数多项式有理根的求法 抚州师专学报 第3期 1994年9月6 徐德余. 高等代数评估与测试题库. 成都：四川科学技术出版社,1990. 7 梅汉飞，樊启毅 整系数多项式的有理根鉴别法J江西教育学院学报，1995 (6) 9-10