子空间的运算

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1、辽东学院教案纸课程：高等代数第6.5.1页5子空间的运算教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直 和的刻画定理及初步应用.教学内容为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子 空间和的重要特况：直和.5.1交与和命题6.5.1设W，W2都是数域F上向量空间V的子空间，则Win W2也是V的子空间， 叫做W1与W2的交.证 因为 OeW n W，所以 W n W 尹。.设a，B e W n W，则a，B W，i=1，2.因121212i为 W.是子空间，所以 a+B eWk a e W.，VkeF； i=1,2.于是 a+

2、B e W1 n W，k a e W1 nW2，VkeF.因此，W1 n W2是V的子空间.口由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则：1) 交换律 W1nW2= w2 n w1；2) 结合律 (叫 n W2) n W3= w1 n(w2n W3).由结合律，我们得到多个子空间的交：tw 1 n w2 n n w = n w.，i = 1且由归纳法易见，nw,也是v的子空间.i = 1注 类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若Vi ei，W.是V的子空间，则 n W. = 4 |a G W., V i G /也是V的子空间.ze I向量空间V的两个子空间W1与W2的并集一

3、般不是V的子空间.例如，在V3中，取W， W2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V3的子空间.W1UW2对加法一般不封闭，因此W1u W2不是V3的子空间.若我们想构造一个包含W1UW2的子空间，则这个子空间应当包含W1中的任 一向量a与W2中的任一向量a2的和a1+a2 .由此受到启发.我们来证明命题6.5.2设咯，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，则集合a +a |a e W ,a e W (1)是v的一个子空间，叫做w1和w2的和，记作w1+w，.2 11 22证 把集合(1)记作W.显然Oe W(因为0 =6 + 6 ).在W中任取两个向量a，B，可设a = a + a ，& =

4、 &+ & ，其中 a，B e W，a，B e W，贝寸212111222a + p = (a + p ) + (a + p )由于 W，W2是V的子空间，所以a+B拦 W: a2+B 2e W2，从而a+B e W.课程：高等代数第6.5.2页类似可证任取kVF,空间.口a=a1+a2 g W, a 1 G W1, a 2 G W 2,则 k a e W .因此 W 是 V 的一个子对于W中任一向量a，有a=a +。.因此WgW+W.同理，WW+W.从而W U JLJLJLJLJLJL乙乙JL乙JLW2C W1+W2.所以W1+W2是包含 W1U W2的子空间.设U是V的子空间，且W1 UW

5、2CU,则对于任意a. e %，i=1，2，有a. e U.从而a1+a 2eu.由此看出W1+咋U.这表明W1+W2是V中含WU W2的最小的子空间.由命题6.5.2知道W1+W2= (a +a |a e V , a e V .(2)从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则：1211221) 交换律 W1+W2= W2+W12) 结合律 (W+W2)+ W3=W1+(W2+ W3).由结合律，我们可以定义t(E)个子空间的和：W 1 + W2 + . + Wt =丈 W.， i=1 用归纳法易证，iWt仍是v的子空间，并且 i=1W. + W + W =(a +a +a |a. e W

6、., i = 1,t .(3)命题6.5.3设a.,ar与P.,P、是数域F上向量空间V的两个向量组，则L(a ,a )+ L(p ,P )= L(a ,a，p， p ).1r1t1r 1 t证从(2)式得出L(a，a )+ L(P，P ) = L,a, + + k a )+0,，+ l P )k.,l. e F1 r1t1 1r r 11r t i j=L (a 1,-, a, P1,.Pt).口在V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，它们相交于一条直线L.则 W1，W2,L都是V3的子空间，并且W1n W=L.由于V3中每个向量a可以表示成W1中一个向量与 W2中一个

7、向量的和(注意表法不唯一)，所以W+W2=V3.由于dimW1=dim W2=2， dimL=1,dim V3=3，因此在本例中，有dim W + dim W = dim (W + W )+ dim (W A W ) .这个公式对于任一向量空间的任意两个有限1维子空间都成立，血有定理6.5.1 (维数公式)若W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则W1n W,与W1+W2也都是有限维的，并且dim W. + dim W = dim(W + W )+ dim W. A W ) .(5)证 因为W1是有限维的，而W1n w2是W1的子空就所以w； nW2也是有限维的.设W1, W2 的

8、维数分别是，n2,W1nW2的维数是m.取W1nW2的一个基a ；,.,a，并将它分别扩充成W1 的一个基 a,.,a ， P 1, .，P，扩充成 W2 的一个基 a , .,a， y ；,.，y.据(4)式，我们有11W +W=L( a .a ，P，-，P)+L( a .a ，y，y )n； -m第6.5.3页课程：高等代数=L(a ,a ，&, &，y，y )(6)1m 1n m1n m于是此+吧是有限维的.若能证明a ,. ,a , p ,., &, ； ,. y线性无关，则它就是12, .1m11 m1n mW, +W 的一个基，从而有 dim( W + W) = m+(n m)+(

9、n m)= n + n m=dim W +dimW dim( W,HW2)，即维数公式成立.于是，设221221k 1a 1 + + kma m + P1 P 1 + + PnA m P nm $ J 1 + + m m =0， 则1122a = k a + + k a + p p + , + p p=q y q y .(7)因此a可由(8)由的第一个等式知道a e W由第二个等式知道a E W2 .于是a e W1 n W2 . a 1? .,a线性表出，令a = l a + + l a .由(7)的第二式以及(8)式得1 1 m m+ +% my n2-m=q = 0 .l a + l a

10、 + q y1 1m m 1 1因为 a广,a，y 1? y .线性无关，所以l1 =lm = q1 从而a=6 .再由(7)的第一式便得到k a + + k a + p p + + p p = 0 .1 1m m 1 1n m n m因为a 1? .,a皿，p ,.，p n m线性无关，所以11k =k = p =p = 0，这证明了 a ,.,a，p.,，p 1，y.,.my线性无关:口推论6.5.1设W，1 W2是数域 F上向量空间V的两个有限维子空间，则 dim( W1+W2)= dim W1+dim W2=oW n W2=0，这里0表示V的零子空间.下面举一个例子说明在Fn中如何具体

11、求两个子空间的和与交的基及维数.例 1 设 V=F4，W1=L(a1，a2，a3)，W=L(P 1，6 2)，其中a1=(1，2，1，0)，a2=(1，1，1，1)，a3=(0，3，2，1)，6 =(2，1，0，1)，6 2=(1，1，3，7).分别求W1与W2的和与交的基及维数.解因为W +W = L(a ,a ,a )+ L(6 ,6 )= L( a ,a ,a ,6 ,6 )， , D,，/,1j_ 匕j_ 匕 。j_ 匕j_ 匕 。 j_ 匕所以向量组a1, a2, a3,6,6 2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W1+W2的维数.按照第 三章的方法，把a1,a2,a3,6 1,6

12、 2写成列向量，构成矩阵1对A作一系列初等行变换，化成 阶梯形矩阵：f 11021 )f 10101 2131101104A=11203-00013、01117 /、00000 /由此得出a ,，a，6，是W + W的一个基，故dim( W, + W )=3.同时也知道，6 可经a第6.5.4页课程：高等代数乃1线性表示，其系数应当是线性方程组X, a +x a +xB、=B 11223 1 L 2的解，且从上述A及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2, 4，5列可以看出，此方程组的解是(- 1, 4，3).因而B广一a +4 a +3 B 1，故3B B产 C W .又由维数公式易得 匕J.匕J

13、_J.匕J.匕dim( WC 吧)=2+2 - 3=1.所以aj4a2=(5，- 2，3，4 )是 吧C吧的一个基.5.2直和考察推论6.5.1成立的情形，下面引入定义1设此，吧是数域F上向量空间V的子空间.若和吗+吧中每个向量a都能唯一 地表示为a = a + a ， a e W， a e W，(10)121122v 7则称w1+w2为直和，记作WW2.定理6.5.2设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间，则下列陈述彼此等价：1) 和w1+w是直和；2) 和W +W中零向量的表法唯一，即若a + a =0， a e W， a e W，则a = a =0 ；八 12 ，y，t士i八 j I1

14、2112123) WC W=0.证 1) n2)显然.2) n3)设VaEWjC W，则零向量可表为0 = a+( a)， a e W1， a e W2.故由2)得a=0.因此 W1 C W2=0.3) n1)任取aEW1+ W2，假设a有两种表法：a = a. + a ， a. e w,， a e W a=B 1+B 2, B e w，B 2e w2 则aB=Ba e W C W .因为W C W =0，所以a=B， a=B.因此，和 W + W是直八 1 L j l 2212121十 12212和.口定理6.5.3设咯，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价：1)

15、和w+w2是直和；2) dim( W+W2 )=dim W, +dim W2 ；3) 咯的一个基与W2的一个基合并起来是W+W2的一个基.证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1)0 2).3)n2)是显然的.现在证2)n3):设,气是W,的一个基，&,，&,是W2的一个基，则 W+W=L( a , .,a )+L( p , ., & )=L(a ,.&,& ,，& ) 1s1r1ts 1r因为 dim( W, + W2)=dim W,+dim W2=s+ r，所以向量组 a , .,a，p , ., p 的秩等于 s+r，从而是线 12 一12 一1s 1r性无关的，因此它是W+W2的

16、一个基.口推论6.5.2 设V是数域F上的有限维向量空间，U是V的一个子空间，则存在V的一个 子空间W，使得第6.5.5页课程：高等代数V=UW.把它扩充成V的一个基证因为V是有限维的，所以子空间U是有限维的.若U=0,则W=V.若U尹0,取U的 一个基气,.,a，令 W=L（气+1，.,a)，则U+W=L( a , .,a )+L( a ,., a )=L( a , .,a , a , .,a )=V由于U的一个基与W的一个基合并起 1来是nU+ W的一个基:1因 此和U+ W是直和.故 V=UW.口定义2 设V是数域F上的向量空间，U是V的一个子空间，若存在V的一个子空间W, 使得V=UW

17、，则称W是U在V里的补空间.这时U也称为W在V里的补空间.从推论6.5.2知道，若V是有限维的，则它的每一个子空间都有补空间.注意，一个子空 间的补空间未必唯一.例如，在V3中，设W是过原点0的一个平面，则任意一条经过点0但 不在W上的直线都是W的补空间.显然，子空间U在V里的补空间的概念与子集U在V里的补集的概念是不同的概念， 不要混淆.例2设V=M(F)，其中F是数域.用W1表示F上所有n阶对称矩阵组成的子空间， W2表示所有n阶反对称矩阵组成的子空间，证明V=咯W2.证 先证V=W+W2. W1+W2cV是显然的.注意到V A e V=M(F)，有易验证具土亶 w 具=篁 W .因此 A

18、 e W + W .故 Vu W + W .因此 V= W +W .21， 221 21 21 2又任取 B ew1n W2，贝 0 B =B，并且 B= B .于是 B= B，从而 2B=0 .故 B=0.是 w1n W2=0.所以 V= W1 W2. 口子空间直和的概念可以推广到s(s32)个子空间的情形.定义3 设W1，W2，Ws都是数域F上向量空间V的子空间，若和W1+W2+ -+W中 每个向量a可唯一地表示成SSa = a 1 + a 2 + . + a $, a. e W (i = 1,2, ., s )，则称这个和为直和，记作w1W2W或亩w .i = 1定理6.5.4 设W1，

19、W2，W、是数域F上向量空间V的子空间，则下列命题彼此等价:1) 和W1，W2，Ws是直和；2) 和 W,中零向量的表法唯一；i=13) W. n w, = 0，i=1,2,s.证 1)与2) 显然.第6.5.6页课程：高等代数2)n3)任取 a W. A Z w 则一a W,且 a Z W -于j丰ij丰i是以=Za.，其中a卢W因此零向量可以表成j丰i0=( _ a)+ a=( -a)+ Z ajj丰i故由2)得一a=0，所以a = 0.于是W. A Zw.=。j丰i3) nl)任取a Zw.假设a有两种表法：2,，s),2,，s).i 二 1a = ai+a2+as，aie W, (i

20、=1, a=6 +6 2+乃 s，6 i 吗(i=1， 任取i1, 2,，s,由上两式可得S 1P. a = Z (x . p .)g W. Z W .j丰ij丰i因为 W. A Z W =0，所以6 i a i= 9，即6 i = a, i=1,2,* 口j壬i定理6.5.5设W(, W2,，W是数域F上向量空间V的有限维子空间，则下列命题互相 等价：1) 和Z W.是直和；i=12) dim(W+W2+W)= Z dim w,;i=13) W.的一个基，i=1, 2,，s，合并起来是Zw,的一个基.i=1证1)n2)因为和Zw,是直和，据定理6.5.4得，W.A z W.i =1j i=0, i=1, 2,，s.于是dim( Z W )=dim( W1+ Z W )=dim W1+dim( Z W ).=1j 壬 1j 壬 1注意到W, A Z W W. A Z W =0.因此对s用归纳法，则得j丰,1j丰.dim( Z W . )= Z dim W .，j壬1j壬1从而得到dim( Z W. )= Z dim W. .i=1i=12)n3)类似于定理6.5.3证明中的2) n3).第6.5.7页课程：高等代数3）n1）易证和中零向量的表法唯一，从而l W是直和.i -1i -1课外作业：P328： 1、2）； 2； 3； 8.