鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

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1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）三（每只兔的脚数-每只鸡的脚数） 二兔数；总头数-兔数二鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）三（每只兔脚数-每只鸡脚数） 二鸡数；总头数-鸡数二兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2X36）三（4-2） =14 （只）兔；36-14=22 （只）鸡。解二 （4X36T00）三（4-2） =22 （只） 鸡；36-22=14 （只）兔。（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚 数多时，可用公式

2、（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）三（每只鸡的脚数F每只兔的 脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只免的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式。（每只鸡的脚数X总头数+鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公 式：（1只合格品得分数X产品总数-实得总分数）三（每只合格

3、品得 分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数。或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）三（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数）二不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4X1000-3525）三（4+15）=475219=25（个）解二 1000- （15X1000+3525）三（4+15）= 1000-18525219=1000-975=25 （个）（答略）“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”

4、运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元。它的 解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔 各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）2 （每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）2（每只鸡兔脚数之差）22=鸡数；（两次总脚数之和）2（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）2（每只鸡兔脚数之差）22=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解 (52+44) 2 (4+2) + (52-44) 2 (4-2)22=20三2=10 （只）（52+44）三（4+

5、2） - （52-44）三（4-2）三2兔（答略）=12三2=6（只）鸡兔同笼目录 1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 详细解法基本问题 特殊算法 习题8 鸡兔同笼公式1 总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500年前，孙子算经 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有 94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数X鸡的脚数）三（兔的脚数-鸡的脚

6、数）=兔的只数（9435X2）三2=12（兔子数）总头数（35）兔子数（12）二鸡数23)解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X2 只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2 假设法假设全是鸡：2X35=70 （只）鸡脚比总脚数少： 9470=24 （只）兔：242（4-2）=12 （只）鸡： 3512=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两 只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：2422=12

7、（只） 鸡： 35-12=23（只）3 方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24 三 2 x=1235-12=23(只)或 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只) 答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡 兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35) X 2=2x+2y=70(2x+2y=70)-

8、(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入( x+y=35)x+12=35 x=35-12 （只） x=23 （只）。答：兔子有12只，鸡有23只4 抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2 只脚，还有 94 除以 2=47 只脚。笼 子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就 是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下9435X2=24只脚,这时鸡 是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上， 所以有24三2=12只兔子，就有35 12=23只鸡5 列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6 详解中国古代孙子算经共三卷，成书大

9、约在公元5 世纪。这本书浅显 易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35X2=70 （只）比题中所说的94只要少94-70=24 （只） 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即 70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2， 2, 2,一直继续下去，直至增加24,因此兔子数：24三2=12

10、（只）， 从而鸡有 35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡,于 是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚 数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1 只 兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解 鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总 数）三（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x,鸡的数量为y 那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12 只, 鸡有 23 只。7 详细解法基本问题鸡兔同

11、笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经 中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型 解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头, 244只脚,鸡和兔 各有多少只解：我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用 两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244三2=122 （只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。 因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有34只兔子.当然鸡就有54只。答：有兔子34只,鸡54只。 上面的计

12、算，可以归结为下面算式：总脚数三2-总头数=兔子数.总头数-兔子数二鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上 能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时， 脚 数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类 问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚，比244只脚多了88X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244）三（4-2）= 54 （只）.说明我们设想的88只兔子中，有54只不

13、是兔子。而是鸡.因此可以 列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）三（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2 X 88=176 （只）， 比 244 只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34 （只）.说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）三（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去 减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设 法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支

14、0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了2.80 元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子 有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公 式，就有蓝笔数=(19 X 16-280)三(19-11)=24 三 8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13 支红铅笔和3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚 数19与11 之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是 鸡,根据这一设想，脚数是8X（11+19）=240 （支）比 280 少

15、 40.402（19-11）=5 （支）就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡（蓝铅笔）数是3.30 X 8比19 X 16或1 1 X 16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠 心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔数为 10,鸡数为 6，就有脚数19X 10+11X 6=256.比 280 少 24.242（19-11）=3,就知道设想6只鸡,要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例 3 一份稿件，甲单独打字需6 小时完成.乙单独打字需10小时完成， 现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完

16、，共用了7 小时。甲 打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30 份（30是 6 和10的最小公倍数），甲每小时打30三6=5 （份）乙每小时打30三10=3 （份）.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总 头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是3 ，总脚数是30，就把问题转 化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔数=（30-3X7）三（5-3）=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。 答：甲打字用了4小时30分.例 4 今年是1998 年，父母年龄（整数）和是78 岁，兄弟的年龄和 是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟

17、的年龄的4倍，母的年龄是 兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一 年？解：4 年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父 母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄 看作兔头数。25 是总头数.86 是总脚数.根据公式，兄的年龄是(25X4-86)2(4-3)=14 (岁).1998 年，兄年龄是14-4=10(岁) .父年龄是(25-14)X4-4=40 (岁). 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 (40-10)2(3-1)=15(岁) .这是 2003 年。答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍

18、.例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1 对翅 膀。现在这三种小虫共18 只，有118 条腿和20 对翅膀.每种小虫各 几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫 分成8条腿与6条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-6X 18)2(8-6)=5(只) .因此就知道6条腿的小虫共18-5=13 (只) .也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式 蝉数=(13X2-20)2(2-1)=6 (只).因此蜻蜓数是 13-6=7(只) .答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉。例 6 某次数学考试考五道题，全班52人参加

19、，共做对181 道题，已 知每人至少做对1 道题，做对1道的有7 人，5 道全对的有6 人，做 对 2 道和3 道的人数一样多，那么做对4 道的人数有多少人？ 解：对2道，3道，4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-1X7-5X6=144 （道）.由于对2道和3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（2+3）三2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5, 总脚数=144，总头数=39.对4道题的有（144-2.5X39）（4-2.5）=31 （人）.答：做对4道题的有31 人。以例1 为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和 兔各有

20、多少只？以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X,那么也就是设 兔为X,那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。 解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。4X+2X（ 88-X） =244上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。 4X就是兔子的脚数，2X(88-X)就是鸡的脚数。4X+2X88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X22=68 三 2X=34即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。 答：兔子有34只，鸡有54只。习题一1龟鹤共有100 个头， 350只脚.龟，鹤各多少只 ？ 2学校有象棋

21、，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。 象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？ 3一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分 硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个 ？4某人领得工资240元，有2元， 5元， 10元三种人民币，共50张， 其中2元与5元的张数一样多。那么2元， 5元， 10元各有多少张？ 5一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18 天完成，现在甲做 了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16 天.甲先做了多少天 ？6摩托车赛全程长 281 千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段 中，有的是由一段上坡路（3 千米）

22、，一段平路（4 千米），一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的；有的是由一段上坡路（3 千米）， 一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的。已知摩托车跑完 全程后，共跑了25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？ 7用1元钱买4分，8分，1 角的邮票共15张，问最多可以买1 角 的邮票多少张？ 二、两数之差的问题 鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应 该怎样去解呢例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角。已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多40 张，那么两种邮票各买了多少张？ 解一：如果拿出40张8 分的邮票，余下的邮票中8 分

23、与4分的张数 就一样多.（680-8X40）2（8+4）=30 （张）这就知道，余下的邮票中，8 分和4分的各有30张。 因此8分邮票有40+30=70（张） .答：买了8分的邮票70张， 4分的邮票30张。 也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张,那么 应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是4X 20+8X 60=560. 比 680 少，因此还要增加邮票。为了保持 差 是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加1 张8 分，每种要增加的张数是（680-4X20-8X60）2（4+8）=10 （张）. 因此4分有20+10=30（张）

24、，8分有60+10=70（张）.例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可以完成。倘若下雨，雨天比 晴天多 3 天，工程要多少天才能完成 解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成 10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8X3）2（10+8）= 7（天） .雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天） .答：这项工程17 天完成。请注意，如果把雨天比晴天多3 天去掉，而换成已知工程是17 天 完成，由此又回到上一节的问题.差是 3，与和是 17，知道其一，就 能推算出另一个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条

25、件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少28 .问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 2822=14（只），鸡与 兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4 2 2=2 （倍），于是鸡的只数是兔的 只数的2倍。兔的只数是（100+2822）2（2+1）=38 （只）.鸡是 100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只。当然也可以去掉兔2824=7 （只） .兔的只数是 （100-2824）2（2+1）+7=38（只） .也可以用任意假设一个数的办法。 解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只） .此时脚数之差是 4X50-

26、2X50=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） .为了保持总数是100 ，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是 （100-28）2（4+2）=12（只）. 兔只数是50-12=38（只） .另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差,总脚数也换成 两数之差.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四 句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？ 解一：如果去掉13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数

27、相差 13X5X4+20=280 （字）.每首字数相差 7X 4-5X 4=8（字） .因此，七言绝句有 2802 （28-20）=35（首） .五言绝句有 35+13=48（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首。解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是20X23=460 （字）28X10=280 （字）五言绝句的字 数，反而多了460-280=180（字）.与题目中少20字相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了。为了保持相差13 首，增加一首五言绝句， 也要增一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假

28、设增加20028=25 （首）.五言绝句有23+25=48 （首）.七言绝句有 10+25=35（首） .在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于 例 7，例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做 一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常 有趣的事.例7，假设都是8 分邮票， 4分邮票张数是（680-8X 40）2 （8+4）=30（张） .例 9，假设都是兔，鸡的只数是（100X4-28）2（4+2）=62 （只）.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是（20X13+20）2（28-20）=35 （首）.首先，请读者先弄明白上面三个

29、算式的由来，然后与鸡兔同笼公式 比较，这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢 当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白， 从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数 目计算，每只2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1 元.结果得到运费379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解：如果没有破损，运费应是 400 元。但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17 （只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。 请你想一想，这是

30、鸡兔同笼同一类型的问题吗 例 12 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包 含不答） 1 题倒扣1 分；第二次15 道题，答对1 题 8 分，答错或不 答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分 比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 解一：如果小明第一次测验24题全对，得5X24=120 （分）.那么第 二次只做对 30-24=6 （题）得分是 8X6-2X（15-6）=30 （分）.两次相差 120-30=90（分） . 比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多 了，要减少.第一次答对减少一题，

31、少得 5+1=6（分），而第二次答对 增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者 两差数就可减少 6+10=16（分） .（90-10）2（6+10）=5 （题）.因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5 题，也就是第一次答对19 题，第二次答对 30-19=11（题）.第一次得分 5X19-1X（24- 19）=90.第二次得分 8X 11-2X（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分。解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6（分），第二次答错一题， 要从满分中扣去 8+2=10（分）.答错

32、题互换一下，两次得分要相差 6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6 X 9 .但两次满分都是1 20分。比题目中条件第一次得分多10分，要少了 6X9+10.因此，第二 次答错题数是（6X9+10）2（6+10）=4 （题）第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5 X（24-5）-1X5=90 （分）.第二次得分 8X（15-4）-2X4=80 （分）.习题二1买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵 0.44 元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ？2甲茶叶每千克132 元，乙茶叶每千克96 元，共买这两种茶叶12 千克.甲茶叶所花的钱

33、比乙茶叶所花钱少 354 元。问每种茶叶各买多少千克？3一辆卡车运矿石，晴天每天可运16 次，雨天每天只能运11次.一 连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3 天，但运的 次数却比晴天运的次数少 27 次.问一连运了多少天 ？ 4某次数学测验共20 道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分， 不做得 0 分。小华得了76分.问小华做对了几道题？5甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5 分；若不中，甲失2 分，乙失 3 分。每人各射 10 发，共命中 14 发 . 结算分数时，甲比乙 多 10 分。问甲，乙各中几发 ？6甲，乙两地相距 12 千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，

34、又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40 分钟后，又 从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4 小时 后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5 千米，求两人的速度。？三、从三到二鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题. 在第一节例5 和例6 就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。例 13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60 元，圆珠笔每支2.7 元，

35、钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支解：从条件铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔，四支 铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作(0.60X4+2.7)三5=1.02 (元).现在转化成价格为1 .02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢 笔支数是(300-1.02X232)三(6.3-1.02)=12 (支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支) .其中圆珠笔2202(4+1)=44 (支).铅笔220-44=176(支) .答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。例 14 商店出售大，中，小气球，大球每个3 元，中球每个 1.5 元， 小球每个1 元。

36、张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与 买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的 钱数是整数，而且还是3 的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出 3元.就可买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种， 每个价钱是(1.5X2+1X3)三(2+3)=1.2 (元).从公式可算出，大球个数是(120-1.2X55)2(3-1.2)=30 (个).买中，小球钱数各是（120-30X3）三2=15 （元）.可买 10 个中球，15 个小球。答：买大球30个，中球10个，小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是

37、从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把三转化成二了。例15是为例16作准备.例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米，回来时下坡速度为每小时走 6 千米，求他的平均速度是多少解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离三所用时间去时走1 千米，要用20分钟；回来时走1 千米，要用10分钟。来回 共走 2 千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4 千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）三2=4.5 千米。例 16 从甲地至乙地全长 45 千米，有上坡

38、路，平路，下坡路.李强上 坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度是每 小时 6 千米。从甲地到乙地，李强行走了10 小时；从乙地到甲地， 李强行走了 11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米解：把来回路程45X2=90 （千米）算作全程。去时上坡，回来是下 坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程，根据例 15，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼 问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路 所用时间是（90-4X21）2（5-4）=6 （小时）.单程平路行走时间是622=3 （小时）. 从甲地至乙地，

39、上坡和下坡用了 10-3=7（小时）行走路程是： 45-5X 3=30（千米） .又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：（6X 7-30）2（6-3）=4（小时） .行走路程是3X4=12 （千米）.下坡行走的时间是7-4=3 （小时）.行走路程是6X3=18 （千米）. 答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题.例 16 是非 常典型的例题。例 17 某种考试已举行了24次，共出了426 题.每次出的题数，有25 题，或者16 题，或者20 题。那么，其中考25 题的有多少次 解：如果每次都考16题，16X24

40、=384，比426少42道题.每次考 25 道题，就要多25-16=9（道）.每次考 20 道题，就要多20-16=4（道）.就有9 X考25题的次数+4 X考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9X考25题次数也必须是偶数，因此， 考25题的次数是偶数，由9X6=54比42大，考25题的次数，只能 是0,2,4这三个数。由于42不能被4整除， 0和 4都不合适.只能是考 25 题有2次（考20题有6次）.答：其中考25 题有2次。例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每 人4元，乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问 其中乘小巴的同学有多少

41、位解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电 车前往的人数一定是5 的整数倍.如果有30人乘电车，110-1.2X 30=74（元）.还余下 50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少 了.如果有40人乘电车110-1.2X40=62 (元).还余下50-40=10 (人)都乘地下铁路前往，钱还有多(626X10).说明假设的乘电车人数又多了。30至40之间，只有35 是5的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了：总头数 50-35=15,总脚数 110-1.2X35=68.因此，乘小巴前往的人数是(6X15-68)2(6-4)=11.答：乘小巴前往的同学

42、有 11 位。在“三转化为二时，例13，例14，例16是一种类型.利用题目中 数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类 型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能 是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件 .确定了一个 个数，也就变成二的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类 型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数 方法去求解。习题三1 有 100 枚硬币，把其中 2 分硬币全换成等值的 5 分硬币，硬币总 数变成79个，然后又把其中的1 分硬币换成等值的5 分硬币，硬币 总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱 ？

43、 2京剧公演共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每 张30 元，丙票每张18 元.其中丙票张数是乙票张数的2 倍。问其中 甲票有多少张？ 3小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已知做一题得5 分，不答 得 2 分，做错一题倒扣 3 分。又知道他做错的题和没答的题一样多. 问小明共做对几题 ？41分，2 分和 5分硬币共100 枚，价值2 元，如果其中2 分硬币的 价值比 1 分硬币的价值多13 分。问三种硬币各多少枚？ 注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.5甲地与乙地相距 24 千米。某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度 每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时

44、6 千米。 去时行走了4 小时50 分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡， 平路，下坡各多少千米？6某学校有 12 间宿舍，住着 80 个学生。宿舍的大小有三种：大的 住 8 个学生，不大不小的住 7 个学生，小的住 5 人 .其中不大不小的 宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？测验题1松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12个。 它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个. 问这几天当中有几 天有雨？2有一水池，只打开甲水龙头要24 分钟注满水池，只打开乙水龙头 要 36 分钟才注满水池。现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲， 打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙

45、头比甲水龙头多开26 分钟。问 注满水池总共用了多少分钟 ？3某工程甲队独做50 天可以完成，乙队独做75 天可以完成.现在两 队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后 40 天才 把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？4小华从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟 600， 跑步速度是每分钟 140 米.虽然步行时间比跑步时间多 4 分钟，但步 行的距离却比跑步的距离少 400 米。问从家到学校多远？5有16 位教授，有人带1 个研究生，有人带2 个研究生，也有人带3 个研究生. 他们共带了 27 位研究生。其中带 1 个研究生的教授人数 与带 2,3 个研究生的教授

46、人数一样多 .问带 2 个研究生的教授有几 人？6某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖1000 元， 二等奖 250 元，三等奖50 元.共有100 人中奖，奖金总额为9500 元。 问二等奖有多少名？7有一堆硬币，面值为1 分，2 分，5 分三种，其中1 分硬币个数是2 分硬币个数的 11 倍 .已知这堆硬币面值总和是 1 元，问 5 分的硬币 有多少个？四、 答案习题一1龟75 只，鹤25 只。2象棋9副，跳棋17 副.32分硬币92个，5 分硬币23个。应将总钱数2.99元分成2X4+5=13 （份）其中2分钱数占2X4=8 （份）， 5 分钱数占 5 份。42元与5元各20

47、张， 10元有10张.2 元与 5 元的张数之和是(10X50-240)三10-(2+5)三2=40 (张).5甲先做了4 天。提示：把这件工程设为36份，甲每天做3 份，乙每天做2 份.6第一种路段有 14 段，第二种路段有 11 段。第一种路段全长13 千米，第二种路段全长9 千米，全赛程 281 千米， 共 25 段，是标准的 鸡兔同笼.7最多可买1 角邮票6 张。假设都买4分邮票，共用4X15=60 （分）就多余100-60=40 （分）. 买一张1角邮票，可以认为4分换1角，要多6分。40三6=64, 最多买 6 张.最后多余 4 分，加在一张 4分邮票上，恰好买一张8分 邮票。习题

48、二1语文书1 .74元，数学书1 .30元。设想语文书每本便宜 0.44 元，因此数学书的单价是(83.4-0.44X30)(30+24).2买甲茶 3.5 千克，乙茶 8.5 千克。甲茶数=（96 X 12-354）三（132+96）=3.5 （千克）3一连运了27 天。晴天数=（11X3+27）三（16-11）=12 （天）4小华做对了16题.76 分比满分 100 分少 24 分。做错一题少 6 分，不做少 5 分.24 分只 能是 6X 4.5 甲中 8 发，乙中 6 发。假设甲中10发，乙就中14-10=4 （发）.甲得4X10=40 （分），乙得5X4-3X6= 2（分）.比题目条

49、件甲比乙多10分相差（40-2）-10=28（分） 甲少中 1 发，少 4+2=6（分），乙可增 5+3=8（分） .282(6+8)=2.甲中 10-2=8（发）.习题三1295 分解：每2.5个2 分可换1 个5 分，即每换1 个5 分，个数就减少1.5 个。已知减少了 100-79=21 个，所以换成的 5 分的个数=212 1.5=14 个。也就是说，是用5X14=70分钱换成了 5分，所以2分币是70三 2=35 个。同理，每5 个 1 分可换1 个5 分，即每换1 个5 分，个数 就减少 4 个。已知减少了 79-63=16 个，所以换成的 5 分的个数=16 24=4 个。也就是

50、说，用 5X4=20 分换成了 5 分，所以 1 分币是 20 21=20个。原有2分及5分硬币共价值：35X2+45X5=295分。8 鸡兔同笼公式公式1：（兔的脚数X总只数一总脚数）2（兔的脚数一鸡的脚数）= 鸡的只数总只数鸡的只数=兔的只数 公式2：（总脚数一鸡的脚数X总只数）三（兔的脚数一鸡的脚数） =兔的只数总只数兔的只数=鸡的只数公式3：总脚数三2总头数二兔的只数总只数兔的只数=鸡的只数公式4：鸡的只数=（4X鸡兔总只数-鸡兔总脚数）三2兔的只数=鸡兔 总只数-鸡的只数公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2X鸡兔总只数）三2鸡的只数二鸡 兔总只数-兔总只数公式6：（头数x4-实际脚数）三2=鸡公式7 : 4X+2 （总数一x）=总脚数 &=兔，总数一x二鸡数，用于方程）公式8：鸡的只数：兔子的只数=兔子的脚数-（总脚数三总只数）（总脚数三总只数）-鸡的脚数