概率论与数理统计教程第二版魏宗舒第一章

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1、第一章 事件与概率1.1 写出下列随机实验的样本空间及表达下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一种口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。(3) 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后均有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。解 (1)记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则(2)记2个白球分别为，3个黑球分别为，4个红球分别为，。则，() ， () ，（3）表达白，表达黑白，表达黑黑白，则样本空间，当b被奇数时：当b为偶数时：1.2 在数学系的学生中

2、任选一名学生，令事件A表达被选学生是男生，事件B表达被选学生是三年级学生，事件C表达该生是运动员。(1) 论述的意义。(2)在什么条件下成立？(3)什么时候关系式是对的的？(4) 什么时候成立？解 (1)事件表达该是三年级男生，但不是运动员。(2) 等价于，表达全系运动员均有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一种工人生产了个零件，以事件表达她生产的第个零件是合格品（）。用表达下列事件：(1)没有一种零件是不合格品；(2)至少有一种零件是不合格品；(3)仅仅只有一种零件是不合格品；(4)至少有两个零件是合格品。解 (1

3、) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表达为；1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字构成一种分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一种和7、11、13中的一种组合，因此事件“所得分数为既约分数”涉及个样本点。于是。1.5 一种小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的多种排列是随机的（等也许的），问“正好构成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“正好构成“MATHEMAT

4、ICIAN”涉及个样本点。因此1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等也许的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，既有7位乘客，因此样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相称于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。因此涉及个样本点，于是。1.7 某都市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶尔遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用表达“牌照号码中有数字8”，显然，因此-1

5、.8 有5双不同的鞋子，从中任取4只，问没有一双配对的概率。解：鞋子都不同，因此样本点总数为.A表达“没有一双配对”，则有利样本空间为.因此1.9 袋中装有个黑球与个白球，把球随机一只一只地摸出来（不放回），求第k次（）摸出黑球的概率。方略一:把a只黑球和b只白球都当作是不同的,将所有的球一一摸出来依次放在排成始终线的个位置上,则所有不同的排法有,作为基本领件全体;而其中第k个位置排黑球的措施有,故所求概率为方略二:把a只黑球和b只白球都当作是不同的,前k次摸出球的所有不同也许为,将其作为基本领件全体;而第k个位置排黑球的措施有,故所求概率为1.10 任取一种正数，求下列事件的概率：(1)该数

6、的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 (1)考虑一种数的平方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、9之一时，事件A“该数平方的末位数是1”。即。(2) 考虑一种数的四次方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、3、7、9之一时，事件B“该数四次方的末位数是1”。即。 (3)一种正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，因此样本空间涉及个样本点。用事件C表达“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最

7、后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此C所涉及的样本点只有71这一点，于是.1.11 一种人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一种人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手后来6根草正好连成一种环的概率。并把上述成果推广到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一种头，它可以与其他的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其他未接过的3个之一相接，最后将剩余的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，因此样本点总数为。用表达“6根草正好连成一种环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它

8、的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其他的尾连接成环，故尾的连接法为。因此涉及的样本点数为，于是(2) 根草的情形和(1)类似得 1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车达到，乘客达到汽车站的时刻是任意的，求一种乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：以x，y分别表达汽车和乘客达到车站的时间，则事件A“若乘客在候车时间不超过三分钟能坐上车”时，满足如下条件，在平面上建立直角坐标系，则（x，y）的所有也许成果是边长为5的正方形，而满足事件A的状况由阴影部分所示，这是一种几何概率问题，由等也许性知 所求概率为。1.13 在中任取一点，证明的面积之

9、比不小于的概率为。解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比不小于，因此所求概率为。1.14 在线段上任取三点，求：(1) 位于之间的概率。(2) 能构成一种三角形的概率。解 (1) (2) 1.15 己知不也许事件的概率为零，目前问概率为零的事件与否一定为不也许事件？试举例阐明之。解 概率为零的事件不一定是不也许事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不也许事件。1.16 设、为两个随机事件，证明：(1) ;(2) .证明 (1) =(2) 由(1)和得第一种不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.17 对于任意的随机事件、，证明：

10、证明 1.18设A,B,C是三个随机事件，且 , .求。解：由于，因此。则1.19 在某都市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个都市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同步订甲、乙两报的有10%，同步订甲、丙两报的有8%，同步订乙、丙两报的有5%，同步订三种报纸的有3%，求下述比例：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件表达订甲报，事件表达订乙报，事件表达订丙报。(1) =30%(2) (3) +=+=73%(4) (5) (6) 1,20设为n个随机事件，证明：

11、（1）(2) 证明：（1）应用数学归纳法当n=1,2时等式成立，假设当n=k时，等式成立，即当n=k+1时，而则上式=因此当n=k+1时也成立。综上所述，（1）式成立。同理可得（2）。1.21 某班有个学生参与口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用表达“第张考签没有被抽到”， 。规定。，因此1.22 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项涉及主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表达为，当且仅当的排列中存在使时这一项涉及主对角线元素。用表达事件“排列中”即第个主对角线元素浮现于展开式的某项中。则

12、，因此1.23 已知一种家庭中有三个小孩，且其中一种是女孩，求至少有一种男孩的概率（假设一种小孩是男孩或是女孩是等也许的）。解 用分别表达男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表达“有女孩”， 表达“有男孩”，则1.24 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设表达“所取产品中至少有一件是不合格品”， 表达“所取产品都是不合格品”，则 (2)设表达“所取产品中至少有一件合格品”， 表达“所取产品中有一件合格品，一件不合格品

13、”。则 1,25 设，已知。证明：。证明：1.26 设,试证，且当时，求。解：由于因此而当时，则.1.27 举例阐明：对任意两个事件A,B，无条件概率与条件概率之间没有固定的大小关系。解：设，则且因此1.28 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，她们依次摸彩，求：(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解 设表达“第个人摸到”， 。(1) (2) 1.29 袋中装有1个黑球和n-1个白球，每次从中随机摸出一球，并放入白球，持续进行，问第k次摸到白球的概率是多少？解：设A为第k次摸到白球，则表达第k次摸到的不是白球，即黑球，那么前k-1次摸到的全为白球。那么1.30

14、 已知一种母鸡生个蛋的概率为，而每一种蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一种母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。解 用表达“母鸡生个蛋”， 表达“母鸡恰有个下一代”，则 1.31 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用表达“任选一名射手为级”， ，表达“任选一名射手能进入决赛”，则1.32 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定期间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机

15、床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 设分别表达车床、钻床、磨床、刨床，B表达有一种机床需要修理，则 ， ，由贝时叶斯公式得 1.33 设,，求，问事件A与事件B与否独立，为什么？解：由，知,知由于，因此即A与B不互相独立。1.34 若A,B互相独立，证明: 中的任何一种事件与中的任何一种事件是互相独立的。证明：由于，对于任意的一种事件C，由于,即因此与任何事件都独立；由于，即因此与任何事件都独立；由于A,B独立，因此,因此互相独立。同理互相独立，证毕.1.35 证明：若三个事件、独立，则、及都与独立。证明 （1）= （2） （3）=1.36，设A,B为两个互相独立的随机事件，,证明

16、：。证：由于，因此（当时，等号成立），又由于A,B星湖独立，因此，则.1.37 已知事件互相独立且互不相容，求（注：表达中小的一种数）。解：由于A,B互相独立，因此，A,B不相容，即，因此，即中至少有一种等于0，因此1.38 试举例阐明由不能推出一定成立。解 设， ， 则 ， 但是.1.39 设两两互相独立的三个事件A,B,C满足条件,，且已知，求。解：由A,B,C互相独立且相等，有由有，因此,解得(舍去)或1.40 一种人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，目前任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为型，其他三个人分别为其他三种血型；(2)三个人为型，两个人为

17、型；(3)没有一人为。解 (1)从5个人任选2人为型，共有种也许，在其他3人中任选一人为型，共有三种也许，在余下的2人中任选一人为型，共有2种也许，另一人为型，顺此所求概率为： (2) (3) 1.41（司法证明问题）某银行发生一起抢劫案，既有两个互相独立的证据，每个证据均以0.7的证明力可以证明为某一犯罪团伙所为，求这一起抢劫案为这一犯罪团伙所为的概率。若要以99%以上的概率拟定这起抢劫案为这一犯罪团伙所为，问至少需要多少互相独立的证据.解：用表达第k个证据证明某犯罪团伙所为，k=1,2，则(1) (2) 因此1.42 求下列系统的可靠性，设第个元件正常工作的概率为（）解：（1） （2）（3）将5分为两种状况，一种是不正常工作，如（A）图；一种是正常工作，如（B）图。则,因此1.43 做一系列独立的实验，每次实验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。解 用表达“在成功次之前已失败了次”， 表达“在前次实验中失败了次”， 表达“第次实验成功”则